离散数学 图论复习

离散数学11春图论部分综合练习辅导
大家好！本学期的第二次教学辅导活动现在开始，本次活动主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式同样是通过讲解一些典型的综合练习作业题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法．
图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法．教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等．
本次综合练习主要是复习这一单元的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题．这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习．
下面是本学期第4，5次形考作业中的部分题目．
一、单项选择题
单项选择题主要是第4次形考作业的部分题目．
第4次作业同样也是由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分．在每次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩．需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目．
1．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( ) ．
A ．deg(v )=2∣E ∣
B ． deg(v )=∣E ∣
C ．E v V v 2)deg(=∑∈
D ．
E v V
v =∑∈)deg(
该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况．复习握手定理：
定理3.1.1 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则
∑∈=V
v E v ||2)deg(
也就是说，无向图G 的结点的度数之和等于边数的两倍．
正确答案：C
2．设无向图G 的邻接矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******
000011100100110， 则G 的边数为( )．
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
主要是检查对邻接矩阵的概念理解是否到位．大家要复习邻接矩阵的定义，
要记住当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有10÷2=5条边．
正确答案：B
3．如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ．
A ．{(a, e )}是割边
B ．{(a, e )}是边割集
C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集
D ．{(d , e )}是边割集
先复习割边、边割集的定义： 定义3.2.9 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1⊂E ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）
因为删除答案A 或B 或C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案A 、
B 、
C 是错误的．
正确答案：D
4．图G 如由图所示，以下说法正确的是 ( )．
A ．a 是割点
B ．{b, c }是点割集
C ．{b , d }是点割集
D ．{c }是点割集
主要是检查对点割集、割点的概念理解的情况．
定义3.2.7 设无向图G =<V , E >为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．
从图二中删除结点b, c ，得到的子图是由不连通图，而只删除结点b 或结点c ，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c }是点割集．所以 正确答案：B
5．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( )．
A ．（a ）是强连通的
B ．（b ）是强连通的 ο ο ο ο a b c d
ο e ο
ο ο a b d ο
C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的
我们先复习强连通的概念：
定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；
若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的．
正确答案：A
问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？
请大家要复习“弱连通”的概念．
6．设完全图K
n 有n个结点(n 2)，m条边，当（）时，K
n
中存在欧拉
回路．
A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数我们先复习完全图的概念：
定义3.1.6简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．
由定义可知，完全图K n中的任一结点v到其它结点都有一条边，共有n-1条边，即每个结点的度数是n-1，当n为奇数时，n-1为偶数．
由定理4.1.1的推论
一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．
所以，正确答案应该是C．
7．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．
A．平面图B．对偶图C．欧拉图D．连通图
我们先复习汉密尔顿图的概念：
定义4.2.1 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；
具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．
由定义可知，汉密尔顿图是连通图．
所以，正确答案应该是D．
问：汉密尔顿图为什么不一定是欧拉图吗？
8．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．
A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2 本题主要检查大家是否掌握了欧拉定理．
定理4.3.2（欧拉定理）设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则欧拉公式v-e+r =2成立．
由欧拉公式v-e+r =2，得到r = e- v+2．
所以，答案A是正确的．
9．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．
A ．G 连通且边数比结点数少1
B ．G 连通且结点数比边数少1
C ．G 的边数比结点数少1
D ．G 中没有回路．
可以运用教材中的定理5.1.1，可以作出正确选择．因为定理5.1.1中给出的图T 为树的等价定义之一是图T 连通且e=v -1，其中e 是边数，v 是结点数．也就是说：无向简单图G 是棵树，当且仅当G 连通且边数比结点数少1． 正确答案：A
注：由上面的树的等价定义可知，结点数v 与边数e 满足e=v -1关系的无向连通图就是树．
10．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（ ）．
A ．8
B ．5
C ．4
D ．3 正确答案：B
设无向树T 的树叶数为x ，因为树叶是度数为1的结点．
那么，由定理3.1.1（握手定理） 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则
∑∈=V
v E v ||2)deg(
得 4+3+2+x =2（8-1），即x =5．应选择B ．
下面的内容主要是第5次形考作业的部分题目．
二、填空题
1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ．
也是检查大家对握手定理掌握的情况．
因为图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，即∑∈=⨯+⨯+⨯+⨯=V
v v 3044332211)deg(，根据握手定理，边数有
152/30==E ．
应该填写：15
2．设给定图G (如右图所示)，则图G 的点割集是
． 本题还是检查大家对点割集、割点的概念理解的情 况．
点割集、割点的定义前面已经复习了，从图G 中删除结点f ，得到的子图是不连通图，即结点集{f }是点割集；同样，从图G 中删除结点c ，e ，得到的子图也是不连通图，那么结点集{c , e }也是点割集．而删除其他结点集都没有满足点割集、定义的集合，所以
应该填写：{f }、{c , e } ο ο ο ο a b
c
d ο
e ο f
3．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且．由定理4.1.1的推论
一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．
应该填写：结点度数都是偶数
4．设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于，则在G中存在一条汉密尔顿路．
定理4.2.2设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．
应该填写：n-1
5．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去条边后使之变成树．（……边后，可以确定图G的一棵生成树）由握手定理（定理3.1.1）知道图G有18÷2=9 条边，又由定理5.1.1中给出的图T为树的等价定义之一是“图T连通且e=v-1”，可以知道：
应该填写：4．
6．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = ．
定理5.2.1 设有正则m叉树，其树叶数为t，分枝数为i，则(m-1)i=t-1．
其中m=5，t=17，由(5-1)i=17-1，得i =4．
应该填写：4
三、判断说明题
1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．分析：先复习欧拉图的判别定理：
定理4.1.1的推论：一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．
解：不正确．
因为题中的图G没有“连通”的条件．
2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．
解：不正确．
因为图G中结点b和c的度数是奇数．
注：这是一个汉密尔顿图，但不是欧拉图，它可以作为单向选择题7解答之后提出的问题的一个解答．
3．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．
分析：定理4.3.3设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．
利用该定理判断本题．
解：不正确．
因为题中的连通简单平面图有v =7个结点，e =16条边，那么16≥3⨯7-6=15，由定理4.3.3知道，图G 不是平面图．
4．设G 是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G 有7个面．
分析：可以用平面图中的欧拉公式：v-e+r =2来判断，其中v 为结点数，e 为边数，r 为面数．
解：正确．
因为连通平面图G 有v =6个结点，e =11条边，那么由欧拉公式计算得：r =2+ 11- 6 = 7个面．
四、计算题
1．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试
(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；
(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．
解：(1) 因为V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}， E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，
(v 4,v 5) }，所以G 的图形表示为： (2) 分析：本题给定的简单图是无向图， 因此邻接矩阵为对称的．即当结点v i 与v j 相
邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和 第j 行第i 列处各写一个1；当结点v i 与v j 没
有边连接时，邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各写一个0．
邻接矩阵： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110010110110110110000100 (3) 由G 的图形可知，v 1，v 2，v 3，v 4，v 5结点的度数依次为1，2，4，3，2
(4) 由关于补图的定义3.1.9可知，先画出完全图（见图1），然后去掉原图，可得补图（见图2）如下：
图1 图2
注意：补图中，如果没有标出结点v 3，则是错的．
2．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试 ο ο ο ο v 1 ο v 5 v 2 v 3
v 4 ο ο ο ο v 1 ο v 5
v 2 v 3
v 4 ο ο ο ο v 1 ο v 5 v 2 v 3 v 4
（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；
（3）求出G 权最小的生成树及其权值．
解 （1）因为V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，所以G 的图形表示为：
（2）由图得图G 的邻接矩阵为：
011011
0011100110
110111110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（3）图G 有5个结点，其生成树有4条边，用Kruskal 算法（避圈法）求其权最小的生成树T ：
第1步，取具最小权1的边(a , c )；
第2步，取剩余边中具最小权1的边(c , e )；
第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权2的边(a , b )； 第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权3的边(b , d )． 所求最小生成树T 如右下图，其权为()11237W T =+++=．
注意：在用避圈法求最小的生成树的关键是：“取图中权数最小的边，且与前面取到的边不构成圈”，很多学生只注意到取权数最小的边了，而忽略了“不构成圈”的要求．
如果结点数少一个，边数也少些，大家应该会做了吧．
3．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．
解：方法（Huffman ）：从2, 3, 5, 7, 17, 31中选2, 3为最低层结点，并从权数中删去，再添上他们的和数，即5, 5, 7, 17, 31；
再从5, 5, 7, 17, 31中选5, 5为倒数第2层结点，并从 上述数列中删去，再添上他们的和数，即7, 10, 17, 31；
然后，从7, 10, 17, 31中选7, 10为倒数第3层结点， 并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即17, 17, 31； …… 最优二叉树如右图所示． 最优二叉树权值为：2⨯5+3⨯5+5⨯4+7⨯3+17⨯2+31⨯1 =10+15+20+21+34+31=131 讲评：作业中最优二叉树往往都能画对了，但计算总权值时
可能会把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误，大家一定要细心． 注意：这3个计算题大家一定要掌握．
五、证明题
证明题同学一般都做不好，原因是对证明题方法没有掌握，也是对一些概念不清楚所造成的．因此，希望大家认真学习教材和老师讲课中的证明方法，并通过作业逐步掌握做证明题的方法．
1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．
证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的
（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．
2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k 条边才能使其成为欧拉图．
证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． 故最少要加2
k 条边到图G 才能使其成为欧拉图．
ο ο ο ο ο 3 2 7 5 5 17 34 10 ο ο ο ο 17 31 ο ο 65。