线性方程组解题方法技巧与题型归纳

线性方程组解题方法技巧与题型归纳

题型一 线性方程组解的基本概念

【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104

x x ax x x x ax x --=⎧⎪

-=⎨⎪-++=⎩

的两个不同的解向量，则a 的取值如何？

解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，

对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭

易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。

【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T

, 3α1+α2= （2，4，6，8）T

,求方程组Ax=b 的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T

, 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T

,

由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解，

故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42T

T k ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T

是方程组

1223441

1223441

234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d

+++=⎧⎪

+++=⎨⎪+++=⎩的三个解，求此方程组的通解。 分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。

解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为

η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T

, η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T

是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。 总结：

不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。

题型2 线性方程组求解

【例题4】矩阵B 121001201

0001101232

0-⎛⎫

⎪

-

⎪= ⎪-

⎪--⎝⎭的各行向量都是方程组1234512345

2345123450

3230226054330

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系？若不能，这4个行向量是多了还是少了？若多了如何去掉，少了如何补充？

解：将方程组的系数矩阵A 化为行最简形阵11

111

110115321130

1226012260

00005

43310

0000A A ---⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

- ⎪ ⎪

=→

= ⎪ ⎪

⎪

⎪

-⎝⎭⎝⎭

r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量

α1=（1，-2，1，0，0）T , α2=(1,-2,0,1,0)T , α3=(5,-6,0,0,1)T

,

B 矩阵的r 3=r 1-r 2，r 4=3r 1-2r 2， B 中线性无关的行向量只有1，2行，故B 中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。

题型3 含参数的线性方程组解的讨论

1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解；

2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论 （1）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n ，方程组有无穷多解； （2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n ，方程组有唯一解。

一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解； 二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解： 1.初等行变换法

2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。

【例题5】设线性方程组2311213123122232

23

1

3233323

1

42434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1） 证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解；

（2）设a1= a3 =k ，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T

，β2=（1，1，-1）T

是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。

解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。

（2）当a1=a3=k ，a2=a4=-k 时，原方程组化为23

12323

123x kx k x k

x kx k x k

++=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩ 系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T

,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为

X=c(β2-β1)+β1。（c 为任意常数。） 题型4 线性方程组的公共解、同解问题

情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组0A x B ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

的所有非零解，即为所求。

【例题6】设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ） ，求： （1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系； （2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。

123122423400

:;()00

x x x x x x x x x x -+=+=⎧⎧⎨⎨

-=-+=⎩⎩ⅠⅡ 解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T

，α2=（0，0，1，0）T

；

同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T

，α4=(-1,0,1,1)T

(2)将方程组Ⅰ和 Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：1224

1232340

000

x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩

将其系数矩阵进行初等行变换

11001

00

1010101011110001201110

000⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

-- ⎪ ⎪

→ ⎪ ⎪

-- ⎪ ⎪

-⎝⎭⎝⎭

得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T

于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为 X=k （-1，1，2，1）T

, k 取全体实数。

情况2 . 仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。 【例题7】已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是

α1=（1，2，5，7）T

,α2=(3,-1,1,7)T

，α3=（2，3，4，20）T

， Β1=（1，4，7，1）T

， β2=（1，-3，-4，2） T

。 求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。