北邮数理方程

2
教材与参考书

教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉 翠，大连理工大学出版社 《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，2002年 《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯 曼，机械工业出版社，2005年


学时

32学时
3
对大家的要求


按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业
u ( x, t) t
2
a
u ( x, t) x
2
（**）
方程（*）和方程（**）的差别在于方程（ ** ）的右端多了一个与未 知函数u无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。 包括有非零自由项的方程称为非齐次方程。 自由项恒等于零的方程称为齐次方程。 方程（*）为一维齐次波动方程， 方程（**）为一维非齐次波动方程。

ds
M

gds
T
N
在弦上任取一弧段 M M ，其长度为ds，
'
弧段两端所受张力为 T 和 T
'
O
x
N' x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
14

现在考虑弧段 M M 在t时刻的受力和运动情况。 根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的 质量乘以该方向上的运动加速度。
x
在u方向弧段 M M 受力总和为
T s in T s in g d s ,
' '
' 其中， g d s 是 M M 的重力。
16
当 0,
s in
0
'
时，
ta n
2
ta n 1 ta n
u x, t x
2
a
2
u ( x, t)
2
x
2
f (x,t)
（**）
其中， f ( x , t )
F ( x, t) /
，表示t时刻单位质量的弦在x点所受的外力。
式（**）称为弦的受迫振动方程。
19
u ( x, t)
2
t
2
2
a
2
u ( x, t)
2
x
2 2
2
（*）
f (x,t)
,
u
T'
,
M'
'
s in ta n
' '
u x dx, t x
2
ds
M

gds
T
N
ds
u x, t 1 d x d x. x
2
O
x
N' x dx
x
小弧段在时刻t沿u方向的加速度近似为 小弧段的质量为 d s
u ( x, t) t
20
2.
均匀弹性杆的微小纵振动
一根弹性杆中任意小段受外界影响发生纵振动，必使其相邻部分发生伸 长或缩短。最终，杆上任意小段的纵振动必然传播到整根杆。这种振动 的传播就是波。
杆的质量密度为 ，横截面为S（常数），长度为 x
外力密度为F(x,t)， x点在t时刻的纵向位移为u(x,t) 。 弹性模量E：杆伸长单位长度所需的 力 应力 ：杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力 ( x , t ) ：杆上x点在t时刻的应力。 应变：杆的相对伸长
12


§1.1.1 波动方程
1.
均匀弦的微小横振动
设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变 化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。 下面研究弦作微小横振动的规律。 所谓“横向”是指全部运动出现在一个 平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方 向运动。 所谓“微小”是指运动的幅度及弦在任 意位置处切线的倾角都很小，以致它们 的高于一次方的项可以忽略不计。 弦是均匀的，设其线密度为 ；
受迫振动
如果均匀弦上沿位移方向还经受外力场作用，单位长度弦上所受之力， 即力密度为F(x,t)。则在方程左端还应加上一项外力 F ( x , t ) d x 。 则方程组
T cos T cos 0
' '
T s in T s in g d s d s
'
15
由 cos 1
'

2


4

2!
4!
略去 和 的所有高于一次方的项时，就有
c o s 1,
cos 1
'
' '
u
T'
M'
代入式 T c o s T c o s 0
便可近似得到： T T
'
M
'
ds

gds
T
N

O
'
x
N' x dx
行波法与积分变换法 一维波动方程的D’Alember(达朗贝尔)公式 三维波动方程的Poisson公式 Fourier积分变换法求定解问题 Laplace变换法解定解问题
8



第七章 §7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5
Green函数法 引言 函数的定义与性质 Poisson方程的边值问题 Green函数的一般求法 用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函数
2
u ( x, t) x
u x,t u x, t dx dx 2 x x x
2
2
所以式（*）变为 或
u x, t u x,t g dx dx T 2 2 x t
T u x, t
x 1 x

x 0
P ( x, t ) A' u ( x, t )
P( x x, t ) B' u ( x x, t )

22
S x
u ( , t )
2
t
2
( x x, t)S ( x, t)S F ( x 2x, t)S x
AB
A
u ( x, t) x
B
x
由于振动是微小的，可认为不超过杆的弹性限度 虎克（Hooke）定律：应力=弹性模量*应变
(x,t) E
u ( x, t) x
由牛顿第二定律，可得[x,x+△x]段的运动方程为：
S x
u ( , t )
2
t
2
( x x, t)S ( x, t)S F ( x 2x, t)S x




7



第五章 Legendre 多项式 §5.1 Legendre 方程及Legendre 多项式的引出 §5.2 Legendre 多项式的性质 §5.3 Legendre多项式的应用 *§5.4 关联Legendre 多项式及其应用

第六章 §6.1 §6.2 §6.3 §6.4
21
A
B
P( x x, t ) B' u ( x x, t )
x
P ( x, t ) A' u ( x, t )


如图，AB段的相对伸长是： x点的应变为：
lim u ( x x, t) u ( x, t) x
A B AB
——
—— ' '
——

u (x x,t) u (x,t) x
成绩评定

平时成绩：30%

考勤 作业

期末考试：70%
4
数学物理方法：
数学物理方程+特殊函数

数学物理方程 从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中 导出的，反映物理量之间关系的偏微分方程和 积分方程。
特殊函数



与初等函数相对； 初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数和反三角函数
数学物理方法
信息与通信工程学院 李莉 lili66@bupt.edu.cn
1
教学目的

通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导 方程和Laplace方程等典型数学物理方程的常用解法：分 离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法等等。熟 悉和掌握Bessel函数和Legendre函数等两类特殊函数的 性质和应用。 通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运用数学 的思想和方法来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为 电磁场、微波理论等后续课程的学习及培养初步的科研能 力打下基础。
6




第三章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 §3.1 二阶常微分方程的级数解法 §3.2 Legendre（勒让德）方程的级数解 §3.3 Bessel（贝塞尔）方程的级数解 §3.4 Sturm-Liouville（斯特姆--刘维尔）本征值问题 第四章 Bessel函数的性质及其应用 §4.1 Bessel方程的引出 §4.2 Bessel函数的性质 §4.3 Bessel函数的应用 *§4.4 修正Bessel函数 *§4.5 可化为Bessel方程的方程
' '
u x,t
2
t
2
应该变为：
T cos T cos 0
' '
F d s T s in T s in g d s d s
' '
u x,t
2
t
2
重复以上的推导过程，可得有外力作用时弦的振动方程为：
u ( x, t)
2
t
O
u
T'
M'
'
ds
M

gds
T
N
x
N' x dx
x
13
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置为M，其位移MN记为u。 显然，在振动过程中，位移u是变量x和t的函数，即
u u ( x, t)
采用微元法来建立位移u满足的方程：
u
T'
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
17
u x,t u x dx, t u x, t T gdx d x （*） 2 x x t
2
上式左端方括号的部分是由于x产生 d x 的变化引起的 的改变量，可以用微分近似代替：
u x dx, t x u x, t x
——典型方程和定解条件的导出
11
§1-1 基本方程的建立




基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的 数学表达 任务：将物理规律“翻译”为数学语言，即列出某 类物理现象所满足的数学物理方程 常用的方法：
微元法：在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这 一小部分的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到 所研究问题满足的数学物理方程 规律法：将物理规律（比如Maxwell方程组）用（容易求解 的）数学物理方程表示出来 统计法：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理 方程，常用于经济、社会科学等领域。
2

x
2

u x, t
2
t
2
g
u ( x, t)
2
一般来说，张力较大时弦振动的速度变化很快，即 所以可以把g略去。 可得：
u ( x, t)
2
t
2
要比g大得多，
t
2
a
2
u ( x, t)
2
其中，
a
2
T /
x
2
这就是均匀弦的横振动所满足的泛定方程。它是一种波动方程。由于在 18 空间上是一维的，故称一维波动方程。
5
主要内容



第一章 §1.1 §1.2 §1.3 §1.4
数学物理方程及其定解条件 基本方程的建立 定解条件 定解问题的提法 二阶线性偏微分方程的分类与化简

第二章 分离变量法 §2.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法 §2.2 二维Laplace方程的定解问题 §2.3 非齐次方程的解法 §2.4 非齐次边界条件的处理
2
，
u x,t
2
由牛顿第二定律有 T s in T s in g d s d s
' '
t
2
2
将近似式代入，T u x d x , t u x , t g d x u x , t d x 2 x x t
9
教学基本要求



掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的 物理背景及其定解问题的提法； 熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量 法，行波法、积分变换法等； 熟悉Bessel函数和Legendre函数的性质及其 应用。
学习方法
物理过程 数学模型 数学解 物理解 物理现象
第1章 数学物理方程及其 定解条件
u

'
T'
'
在x方向弧段 M M 受力总和为
M'
'
T cos T cos
'
'
M
ds

由于弦只做横向运动，所以
T
gds
T cos T cos 0
' '
N
O
x
N' x dx
百度文库
x
按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上M和M’点处切线 的倾角都很小，即：
0, 0
x 1 x