初中数学中的数形结合思想方法

数形结合思想方法
［知识要点］
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

数形结合的思想方法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

［典型应用］
在初中数学教材中，数形结合问题占有不小比例，代数中学过的代数式、方程、不等式、函数，几何中己经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，都是密切联系，互相统一的，不论用代数方法研究几何问题，还是用几何图形研究数或式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想，其中比较典型的有：
1、数轴
数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，它的建立，不仅使最简单的形——直线上的点与实数间建立一一对应关系，还揭示了数形间的内在联系，使实数的许多性质，可由数轴上相应点的位置关系得到形象生动的说明，也为学习具有相反意义的量、相反数、绝对值、有理数运算等作好了准备。

不等式的解集可以在数轴上直观、形象地表示出来，不等式组的解更要借助数轴来求解。

圆与圆的位置关系也可以用数轴来直观表示，设圆心距为d，两圆半径为R、r（R＞r），则五种位置关系表示为：
2、平面直角坐标系与函数
平面直角坐标系把“点”和“有序实数对”
对应起来，使抽象的“数”与直观的“形”有
了统一，开创了研究数学问题的新途径。

函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点。

同时又是“数形结合”的思想方法体现得最充分的一个章节。

如，一次函数y＝kx＋b的图象中，k与直线的倾斜程度有关，b与直线和y轴的交点有关；又比如，二次函数中抛物线的开口、对称轴、顶点及与坐标轴交点更是与系数a 、b、 c 关系密切。

3、几何的本身就可以看作是数与形的结合
如：锐角三角函数的定义是借助于几何图形：直角三角形来定义的；圆是到定点的距离等于定长的点的集合，借助代数来定义的等等。

［典例解析］
一、以形助数
例1、已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有（）。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
分析：画出数轴如图，当点A
在＋2时，离A点距离是3的点有
点B或C；当点A在－2时，离A
点距离是3的点有D或E，所以有4个，选（D）。

例2、求｜x－1｜＋｜x－2｜＋｜x－3｜的最小值是（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
分析：构造数轴如图，P （x ）为数轴上任一点，
则｜x －1｜＋｜x －2｜＋｜x －3｜值即等于PA ＋PB ＋PC 的长，易知P 与B 重合时，PA ＋PB ＋PC 的值最小，最小值为2。

所以选（B ）。

例3、代数式9)12(422+-++x x 的最小值是＿＿＿＿ 分析：构造图形，如图作线段AB ＝12，在AB 上取点C ，
使AC ＝x ，则BC ＝12－x ，作AD ⊥AB ，BE ⊥AB ，并截取
AD ＝2，BE ＝3，连结CD 、CE 、DE ，则由勾股定理得
CD ＝42+x ，CE ＝9)12(2+-x ，
因此，42+x ＋9)12(2+-x ＝CD ＋CE ，当D 、C 、E 不在一条直线上时，有 CD ＋CE ＞DE ，当D 、C 、E 在同一条直线上时，CD ＋CE ＝DE ＝22512+＝13，
故原式的最小值为13。

例4、在直角坐标系中，已知直线l 经过点（4，0），且与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8，若一个二次函数的图象经过直线l 与两坐标轴的交点，以x ＝3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求最大值。

分析：如果不画出图象，本题很难理解。

由三角形的面积来确定点B 的坐标时，就需要把几何问题化为代数问题，确定OB 的长度后，由绝对值的双值
性来决定点B 的纵坐标。

设直线l 与x 轴交点A （4，0），与y 轴交点为B （0，m ），
则OA=4，OB=|m|。

如右图，
S △AOB ＝21•OA •OB ＝2
1×4×|m|＝8， ∴|m|=4。

因此，B （0，4）或B′(0，-4)。

由二次函数图像的对称轴为x=3,可知点A 的对称点为A′(2，0)，则图象经过A 、A′、B ，或A 、A′、B′。

设抛物线的解析式为 y=a(x －2)(x －4)。

把点B 或B′坐标代入，得a ＝
21或a ＝－21，因为开口向下，所以，a ＝2
1不符合题意，故y ＝－21 (x －2)(x －4) ，即 y ＝－21 (x －3)2＋2
1， ∴当x ＝3时，y 最大＝21. 二、以数辅形
例5、已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，下列
结论：（1）a b c ++<0；（2）a b c -+>0；（3）abc >0（4）
b a =2。

其中正确的结论有：( )
（A ） 4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个
分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线经过原点，故c ＝0，
由对称轴a
b x 2-=＝－1＜0，而a ＜0，故b ＜0，
由前面可知，abc ＝0，b ＝2a ，因此，（3）是错的，（4）是对的；
另外，x ＝1时，抛物线上的点B （1，y1）在第四象限，
x ＝－1时，抛物线上的点A （－1，y2）在第二象限，
y1＜0，y2＞0，由点A 、B 在抛物线上，得：
y1＝a ＋b ＋c ＜0，y2＝a －b ＋c ＞0，所以（1）、（2）都是正确的。

因此，选（B ）。

例6、如图，矩形ABCD 中，AB =12cm ， BC =6cm ， 点P 从A 往B 以2cm /秒的速度移动，点Q 从D 往A 以1cm /秒的速度移动，它们同时出发，用t 秒时间完成运动（0≤t ≤6）
（1）当⊿QAP 是等腰直角三角形时，求t 的值.
（2）设⊿PQC 面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式. （3）当以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与⊿ABC 相似时，求
t 的值.
分析：第（1）题由“形”到“数”，第（2）题即函数问题，第（3）题又由“形”到“数”，第（4）题“形”到
“数”相结合，整个问题数形密切结合，知识点涉及了代数和几何两个方面。

解：（1）根据题意，设DQ =t AQ =6－t AP =2t.,
当⊿APQ 为等腰直角三角形时，∠A =90° ∴AP =AQ.
∴6－t =2t ∴当t =2秒时，⊿QAP 为等腰直角三角形.
（2）S ABCQ =
21(6－t ＋6)×12=72－6t ， S ⊿APQ =2
1×2t ×(6－t)=6t －t 2 S ⊿PBC =21×6×(12－2t )=36－6t ， ∴y=S ABCQ － S ⊿APQ －S ⊿PBC =t 2－6t ＋36. (0≤t ≤6)
(3) 当⊿QAP ∽⊿ABC 时，AQ AP =AB
BC ， 即t t -62=21 ∴ t =5
6； 当 ⊿PAQ ∽⊿ABC 时，
AQ AP =BC AB ， 即
t t -62=1
2 ∴t =3. 当t =56或3时，⊿QAP 与⊿ABC 相似. ［强化训练］
1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 2”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
（A ）代入法 （B ）换元法
（C ）数形结合 （D ）分类讨论
2、如图，若数轴上的两点A 、B 表示的数分别为a 、b ，则下列结论正确的是（ ）
C B A D
Q
（A ）12
b －a >0 （B ）a-b >0 （C ）2a+b >0 （D ）a+b >0 3、二次函数y =ax 2+bx+
c 的图象如图所示，
则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）
A 、ab ＜0
B 、bc ＜0
C 、.a+b+c ＞0
D 、a －b+c ＜0
4、已知：a 、b 均为负数，c 为正数，且|b|>|a|>|c|，化简
＝＿＿＿＿＿。

5、在ABC ∆中，︒=∠90C ，sinA=13
，则cosA ＝＿＿＿＿，tanA ＝＿＿＿ 6、函数22922+-++=x x x y 的最小值是＿＿＿＿＿。

7、已知y ＝｜x －1｜＋｜x －2｜，则y 的最小值是＿＿＿＿
8、将平行四边形、矩形、菱形和正方形填入右图的圆圈中。

9、一次函数b x y +=，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，若△OAB
的周长为22+（O 为坐标原点），求b 的值。

10、如图，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合）设PC=x ，点P 到AB 的
距离为y 。

（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围。

11、如图已知抛物线y=x 2和直线y=(m 2－1)x+m 2
（1）当m 为何实数时，抛物线与直线有两个交点？
（2）设坐标原点为o ，抛物线与直线的交点从左到右分别
为AB ，当直线与抛物线两交点的横坐标之差为3时，求
△AOB 中OB 边上的高。

12、如图，矩形ABCD 的边AB 平行于y 轴，点A 在直x y
O A
B
A B
P
线y=kx －2上，点C 在抛物线y 1=2x 2＋bx －b 上，点B 、D 在抛物线y 2=x 2－3x+3上（点B 在点C 的右方），已知抛物线y 1的对称轴为直线x ＝45.点D 的横坐标为x D =2。

（1）求b 的值； （2）求k 的值；
（3）一平行于y 轴的直线分别交抛物线y 1、y 2及直线于M 、N 、P 三点，若NP=2MN ，求线段MN 的长
参考答案
1、C
2、解：由数轴可知a ＜0，b ＞0，且b a >
根据有理数加法法则可得：a －b ＜0,2a ＋b ＜0，a ＋b ＜0，排除（B ）、（C ）、（D ），应选择（A ）。

3、抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的
交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。

对称轴a
b x 2-=＜0， 而a ＜0，故b ＜0，因此，可排除A 、B 、C ，选（D ）。

4、解：依题意，画数轴、标出各数。

得b<a<0<c, 且b+c<0 , a-c<0, b-a<0,
∴
5、解：画出直角三角形，如图，由sinA=13
，可设a ＝k ，c ＝3k ，由勾股定理，得：b ＝22k ，所以，cosA ＝322，tanA ＝4
2 6、解：22922+-++=x x x y ＝223+x ＋221)1(+-x
构造图形，如图作线段AB ＝1，在AB 上取点C ，
使AC ＝x ，则BC ＝1－x ，作AD ⊥AB ，BE ⊥AB ，并截取
AD ＝3，BE ＝1，连结CD 、CE 、DE ，则由勾股定理得
CD ＝92+x ，CE ＝1)1(2
+-x ，
因此，22922+-++=x x x y ＝CD ＋CE ，当D 、C 、E 不在一条直线上时，有CD ＋CE ＞DE ，当D 、C 、E 在同一条直线上时，CD ＋CE ＝DE ＝2241+＝17，
故原式的最小值为17。

7、1
8、解：最大的圆代表平行四边形，里面两个小圆代表矩形和菱形，而两个小圆相交的部分为正方形。

9、解：画出草图如右，依题意，有A （b -，0），B （0，b ），
∴b OA =，b OB =，b AB 2=。

∴22)22(+=+b 。

∴1=b ，1±=b 。

10、解：（1）过P 作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ=y
∵∠A=∠A ，∠ACB=∠AQP=90°
∴Rt ΔAQP ≌ΔRt ΔACB ， ∴PQ ∶BC=AP ∶AB
依题意可得：BC=3，AP=4－x ∴ 435y x -= 化简得：312(04)55
y x x =-+<< （2）令x ≤y ，得：31255x x ≤-+，解得：32
x ≤ ∴当302
x <<时，圆P 与AB 所在直线相离； 32
x =时，圆P 与AB 所在直线相切； 342
x <<时，圆P 与AB 所在直线相交。

11、解：（1）抛物线与直线的交点坐标是方程组：⎪⎩⎪⎨⎧+-==222)1(m
x m y x y 的解， 将方程组转化为关于x 的一元二次方程0)1(2
22=---m x m x ，求出△＝(m 2＋1)2＞0， ∴无论m 取何实数，抛物线与x 轴总有两个不同的交点。

（2）方程x 2－(m 2－1)x － m 2＝0的两个根为－1、m 2，由|m 2－（－1）|=3，求出m ＝±2 此时直线y=x ＋2，A(－1,1)，B(2，4)，则OA=2，OB=25，AB=32 ∴△AOB 为直角三角形，OB 边上的高h ＝OB
AB OA ⨯＝553。

Q
12、解：（1）由对称轴x ＝4
5 ，a=2 ，得b=－5 ∴y 1=2x 2－5x+5 （2）CD ∥y 轴 x D =2 得x c =2 设c 点坐标为（2，y ）代入y 1,得c 点坐标为（2，
3）同理可得B(3,3)由A （3，1）在y=kx －2上，得k=1
（3）设P （x,x －2）M(x,，2x 2－5x+5) N(x,，x 2－3x ＋3)
得NP=|x 2－4x+5 | ，NP= | x 2-2x+2| ，由NP=2MN 得x ＝±1， ∴MN=1或5
-4。