数理方程课件 第一章

2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x =0 = 0,
或： u (a, t ) = 0
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
∂u T ∂x
=0
x=a
∂u ∂x
=0
x=a
u x ( a, t ) = 0
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
⎧ u |t =0 = ϕ ( x) ⎪ ⎨ ∂u = ψ ( x) ⎪ ∂t ⎩ t =0
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u ( M , t ) |t =0 = ϕ ( M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立 1.2 定解条件的推导 1.3 定解问题的概念
1.1 基本方程的建立
例1 有界弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。 研究对象： 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移 u ( x, t )。
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律：
3、线性偏微分方程的分类
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程。 多自变量的线性二阶偏微分方程表示为:
∑ ∑ aij u x x + ∑ bi u x + cu + f = 0
j =1 i =1
i j
n
n
n
i =1
i
其中aij，bi， c，f均为x的函数 该方程为非齐次的
f ≡0
该方程为齐次的
f ≠0
思考
2
判断下列方程的类型
2
∂u 2 ∂ u =a 2 −x 2 ∂t ∂ x ∂ 2u ∂u = a2 + xu 2 ∂x ∂t
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 + u ∂x 2 ∂t 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u =0 ⎜ρ ⎟+ 2 2 ρ ∂ρ ⎝ ∂ρ ⎠ ρ ∂θ
4、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性。
∂2 E 1 2 同理可得： 2 = ∇ E µε ∂t
——电场的三维波动方程
例3 热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 所要研究的物理量： 温度 u ( x, y , z , t ) 根据热学中的傅立叶试验定律:
∆S
V S
n
M
在dt 时间内从dS 流入V 的热量为： ∂u 热场 ˆ ˆ dQ = k dSdt = k (∇u ⋅ n )dSdt = k∇u ⋅ dSdt ∂n 从时刻t1到t2通过S 流入V 的热量为 t2 ⎡ ˆ ⎤dt Q1 = ∫ ⎢ ∫∫ k∇u ⋅ dS ⎥ t1 ⎣S ⎦ 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
第三类边界条件
2.3 定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条 件结合在一起，就构成了一个定解问题。 (1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 定解问题的检验（适定性）
⎡ ∂u 2 ( x, t ) ⎤ ∂ 2 u ( x, t ) ⎢T ∂x 2 − ρ g ⎥ dx ≈ ρ ∂t 2 dx ⎣ ⎦
T ∂u 2 ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t ) −g ≈ 2 ρ ∂x ∂t 2
令： a =
2
T
ρ
∂ 2u ∂u 2 = a 2 2 − g ………一维波动方程 ∂t 2 ∂x
∂u ( x + dx, t ) ∂u ( x, t ) ∂ ⎡ ∂u ( x, t ) ⎤ ∂ 2 u ( x, t ) 其中： − ≈ ⎢ ⎥ dx = ∂x 2 dx ∂x ∂x ∂x ⎣ ∂x ⎦
⎡ ∂u 2 ( x, t ) ⎤ ∂ 2 u ( x, t ) ⎢T ∂x 2 − ρ g ⎥ dx ≈ ρ ∂t 2 dx ⎣ ⎦
2
热场
∫ ∫∫∫ k∇ udV dt = ∫
2 t1 V
t2
t2
t1
∂u ∫∫∫ cρ ∂t dVdt V
热传导方程
∂u k∇ u = cρ ∂t
∂u k 2 = ∇ u = a 2∇ 2u ∂t c ρ
∂u = a 2∇ 2u + f ∂t
若物体内存在热源
例4 静电场
确定所要研究的物理量： 电势 u 根据物理规律建立微分方程：
Lui = f i
∑f
i
=f
∑u ∑u
i
i
=u
Lu = f
Lui = 0
=u
Lu = 0
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因 单独产生的效果的累加。(物理上)
5、微分方程的解
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为 恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。 通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常 数的解。 特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
− ∇u = E
对方程进行化简：
∇ ⋅ E = ρ /ε
∇ ⋅ E = ∇ ⋅ ( −∇u ) = −∇ ⋅ ∇u = −∇ 2u = ρ / ε
∇ 2u = −ρ / ε
∇ 2u = 0
泊松方程 拉普拉斯方程
2.2 定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界 条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情 况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
(3)热交换状态
∂u =0 ∂n s
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流 到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
∂u dQ = k1 (u − u1 )dSdt = − k百度文库dSdt ∂n
k1 σ= k
k1交换系数；1周围介质的温度 u
∂u + σ u = σ u1 S ∂n S
6、求解方法
分离变量法、行波法、格林函数法
•解的存在性：定解问题是否有解； •解的唯一性：是否只有一解； •解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否只有相应的微 小变动。
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。
∂D ∂t
在自由空间：
D =ε E B = µH
J c = 0, ρ v = 0
∂E ∂t ∂H ∇ × E = −µ ∂t ∇⋅E = 0 ∇×H =ε ∇⋅H = 0
得 对第一方程两边取旋度， ： ∂ ∇ × ∇ × H = ε (∇ × E ) ∂t 根据矢量运算：
∇ × ∇ × H = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H = −∇ 2 H
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学物理方程定义 描述某种物理现象及其规律的数学微分方程。 ☆ 课程的内容 三种方程、 三种求解方法、 一个特殊函数 波动方程、 热传导方程、 拉普拉斯方程
分离变量法、 行波法、 格林函数法
贝赛尔函数
数学物理方程的导出
•确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度 •根据物理规律建立微分方程 •对方程进行化简，工程近似
Q1 = ∫
t2 t1
k∇ 2udV dt ∫∫∫
V
流入的热量： Q1 = ∫t
t2
1
k∇ 2udV dt ∫∫∫
V
流入的热量导致V 内的温度发生变化
∆S
V S
n
u ( x, y, z , t1 )
u ( x, y , z , t 2 )
M
温度发生变化需要的热量为：
Q2 = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t 2 ) − u ( x, y, z , t1 )]dV V t2 t 2 ∂u ∂u = ∫∫∫ cρ ∫ dtdV = ∫t ∫∫∫ cρ dVdt t1 ∂t 1 ∂t V V Q1 = Q2
横向： T cos α = T 'cos α ' 纵向： T sin α + T 'sin α '− ρ gds ≈ ma − 其中：cos α ≈ 1 cos α ' ≈ 1
y
M'
∂u ( x, t ) sin α ≈ tan α = ∂x ∂u ( x + dx, t ) sin α ' ≈ tan α ' = ∂x
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
∂u T ∂x
x=a
= −k u x=a
或
⎛ ∂u ⎞ +σu ⎟ =0 ⎜ ⎝ ∂x ⎠ x=a
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
u |s = f
(2) 绝热状态
S——给定区域v 的边界
第一类边界条件 第二类边界条件
T'
ds
α'
α
T
M
ρ gds
x x + dx x
T =T '
⎡ ∂u ( x + dx, t ) ∂u ( x, t ) ⎤ T⎢ − ⎥ − ρ gds ≈ ma ∂x ∂x ⎦ ⎣
其中：
m = ρ ds ∂ 2 u ( x, t ) a= ∂t 2
ds ≈ dx
∂ 2 u ( x, t ) ⎡ ∂u ( x + dx, t ) ∂u ( x, t ) ⎤ − T⎢ ⎥ − ρ gdx ≈ ρ ∂t 2 dx ∂x ∂x ⎦ ⎣
自由项 ------非齐次方程 忽略重力作用：
∂ 2u ∂u 2 = a2 2 2 ∂t ∂x
------齐次方程
例2 时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
∇ × H = Jc + ∂B ∇× E = − ∂t ∇ ⋅ D = ρv ∇⋅B = 0
∂E ∇×H =ε ∂t ∂H ∇ × E = −µ ∂t ∇⋅E = 0 ∇⋅H = 0
∇ 2 H = µε ∂2H ∂t 2
∂ ∂H −∇2 H = ε (−µ ) 由此得： ∂t ∂t
∂2 ∂2 ∂2 拉普拉斯算子： ∇ 2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
∂2 H 1 ∂2 H ∂2 H ∂2 H = ( 2 + 2 + 2 ) ——磁场的三维波动方程 2 ∂t ∂y ∂z µε ∂x