2015年北京数学中考总复习课件专题突破六：中考代数综合题

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专题四┃北京中考圆中档题分析与预测
(3)分两种情况： (ⅰ)当 t>0 时，则 0<t<1； 5 (ⅱ)当 t<0 时，则－ <t<0. 4 5 综上， 当－ <t<0 或 0<t<1 时， 反比例函数 G2 的图象与 4 直线 l 有两个公共点 M，N，且 DM＋ DN<3 2.
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热考一 求解含字母系数的一元二次方程
Ⅰ.根的判别式为完全平方数(式) 例 1 [2014· 东城二模 ] 已知关于 x 的一元二次方 程 mx2＋(m－ 3)x－ 3＝ 0. (1)求证： 无论 m 取何值， 此方程总有两个实数根； (2)设抛物线 y＝ mx2＋(m－ 3)x－ 3，证明：此函数 图象一定过 x 轴， y 轴上的两个定点 (设 x 轴上的定点 为 A，y 轴上的定点为 C)；
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解：∵直线 l：y＝ kx＋ 2(k≠ 0)经过点 (1， 1)， ∴k＝－ 1， ∴直线 l 对应的函数解析式为 y＝－ x＋2. m ∵直线 l 与反比例函数 G1：y1＝ (m≠ 0)的图 x 象交于点 A(－ 1，a)， B(b，－ 1)， ∴a＝b＝ 3. ∴A(－ 1，3)，B(3，－ 1)． ∴m＝－ 3. 3 ∴反比例函数 G1 的解析式为 y＝－ . x
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解：∵方程有实数根， ∴Δ ≥0，∴13－4k≥0. 13 ∴k≤ . 4 ∵k 为正整数，∴k 为 1， 2，3. (2)当 k＝1 时，Δ ＝9，方程的两个整数根为 3，0. 当 k＝ 2 时，Δ ＝5，方程无整数根． 当 k＝ 3 时，Δ ＝1，方程的两个整数根为 2，1， ∴k＝3，原抛物线的解析式为 y＝x2－3x＋2. ∴平移后的图象的解析式为 y＝x2－3x. (3)b 的取值范围为－ 16<b<1.
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(2)∵如图，EA＝EB，A(－1，3)，B(3，－1)， ∴点 E 在直线 y＝x 上． ∵△ AEB 的面积为 8，AB＝4 2， ∴ EH＝2 2. ∴△ AEB 是等腰直角三角形． ∴ E(3，3)． t ∵点 E 在 G2：y2＝ 的图象上， x ∴ t＝ 3×3＝9.
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热考三
函数图象变换
例 5 [2014· 房山二模] 已知关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋k－ 1 ＝0 有实数根，k 为正整数． (1)求 k 的值； (2)当此方程有两个不为 0 的整数根时，将关于 x 的二次函数 y＝ x2－3x＋ k－1 的图象向下平移 2 个单位，求平移后的函数图象的解析 式； (3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数图象位于 y 轴左侧的部分 沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 G.当直线 y＝5x＋b 与图象 G 有 3 个公共点时，请你直接写出 b 的取值范围．
专题六
北京中考代数综合题 分析与预测
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京 考 探 究
Biblioteka Baidu考 情 分 析
方程与函数是初中代数学习中极为重要的内 容，在北京中考试卷中，代数综合题出现在第 23 题 左右，分值为 7 分，主要以方程、函数这两部分为 考查重点，用到的数学思想方法有化归思想、分类 思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配 方法等．
当根的判别式是完全平方数(式)时， 学生只需准确识别出二次项系数、一次项系数和常数项， 接由求根公式求得方程的根.
如果根的判别式是完全平方数(式)时，我们还可以采用十字相乘法分解二次三项式求解．如例 中的方程 mx2＋(m－3)x－3＝0 可转化成(mx－3)( x＋1)＝0 求解．
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Ⅲ .一元二次方程的根为整数根 例 3 [2014· 朝阳一模 ] 已知关于 x 的一元二次方程 mx2－ 3(m＋ 1)x＋ 2m＋ 3＝ 0. (1)如果该方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (2)在 (1)的条件下，当关于 x 的抛物线 y＝ mx2－ 3(m＋ 1)x ＋ 2m＋ 3 与 x 轴交点的横坐标都是整数，且 |x|<4 时，求 m 的整 数值．
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方法点析
整数根问题解答： (1)用字母系数表达出方程的两根； (2) 字母系数的取值必须使得根的判别式的值是一个 完全平方数(式)； (3)在字母系数的取值范围内，用列举法检验方程两根 是否为整数，从而确定字母系数的值和方程的根．
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3 (3)由 (2)可知抛物线过点 A(－ 1， 0)， C(0，－ 3)和 B( ， 0)． m 观察图象，当 m＜ 0 时，△ ABC 为钝角三角形，不符合题意． 当 m＞ 0 时，可知若∠ ACB＝ 90°时， 可证△ AOC∽△ COB. AO CO ＝ . CO BO ∴ |OC|2＝ |OA|· |OB|. 2 ∴ 3 ＝ 1× |OB|. ∴ OB＝ 9.即 B(9， 0)． 3 ∴当 0< <9 时，△ ABC 为锐角三角形． m 1 即当 m> 时，△ ABC 为锐角三角形． 3 ∴
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Ⅱ .根的判别式不是完全平方数(式) 例 2 [2013· 西城一模] 已知关于 x 的一元二次方程 2x2＋ (a＋ 4)x＋ a＝ 0. (1)求证：无论 a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数 根； (2)抛物线 C1：y＝ 2x2＋ (a＋ 4)x＋ a 与 x 轴的一个交点的横坐 a 1 1 标为 ，其中 a≠ 0，将抛物线 C1 向右平移 个单位，再向上平移 2 4 8 个单位，得到抛物线 C2.求抛物线 C2 的解析式；
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解： (1)由题意得 m≠ 0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ >0. 即 [－ 3(m＋ 1)]2－ 4m(2m＋ 3)＝ (m＋ 3)2>0. 得 m≠－ 3. ∴ m 的取值范围为 m≠ 0 且 m≠－ 3. (2)设 y＝ 0，则 mx2－ 3(m＋ 1)x＋ 2m＋ 3＝ 0. 3m＋ 3± （m＋ 3） 2 ∵Δ ＝ (m＋ 3) ，∴ x＝ . 2m 2m＋ 3 ∴ x1＝ ， x2＝ 1. m 2m＋ 3 当 x1＝ 是整数时， m 可得 m＝ 1 或 m＝－ 1 或 m＝ 3. ∵ |x|<4，∴m 的值为－ 1 或 3.
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热考二
代数式变形
例 4 [2014· 西城一模 ] 经过点 (1，1)的直线 l： y＝kx＋2(k≠0)与反比例函数 G1： m y1＝ (m≠0)的图象交于点 A(－1，a)，B(b，－1)，与 y 轴交于点 D. x (1)求直线 l 对应的函数解析式及反比例函数 G1 的解析式； t (2)反比例函数 G2：y2＝ (t≠ 0)， x ①若点 E 在第一象限内，且在反比例函数 G2 的图象上，若 EA＝EB，且△AEB 的面积为 8，求点 E 的坐标及 t 的值； ②反比例函数 G2 的图象与直线 l 有两个公共点 M，N(点 M 在点 N 的左侧)，若 DM＋DN<3 2，直接写出 t 的取值范围．
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(3)设此函数的图象与 x 轴的另一交点为 B， 当△ABC 为锐角三角形时，求 m 的取值范围．
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解： (1)Δ＝(m－3)2＋ 12m＝ (m＋3)2， ∵ (m＋ 3)2≥ 0， ∴无论 m 取何值，此方程总有两个实数根． 3－ m± （ m－ 3）2＋ 12m (2) 由 公 式 法 ： x1 ， 2 ＝ ＝ 2m 3－ m± （m＋ 3） . 2m 3 ∴ x1＝－1， x2＝ . m ∴此函数图象一定过 x 轴， y 轴上的两个定点， 分别为 A(－ 1， 0)， C(0，－ 3)．
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(3)∵点 A(m， n)和 B(n， m)都在抛物线 C2 上， ∴ n＝2m2－ 3，且 m＝2n2－ 3. ∴ n－m＝2(m2－n2)．∴n－m＝ 2(m－n)(m＋n)． ∴ (m－n)[2(m＋ n)＋ 1]＝ 0. ∵ A， B 两点不重合，即 m≠n，∴ 2(m＋n)＋ 1＝ 0. 1 ∴ m＋ n＝－ . 2 ∵ 2m2＝n＋ 3， 2n2＝m＋ 3， ∴ 2m3－2mn＋ 2n3＝ 2m2·m－2mn＋ 2n2· n＝(n＋3)· m－ 3 2mn＋(m＋3)· n＝ 3(m＋ n)＝－ . 2
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(3)点 A(m， n)和 B(n，m)都在(2)中抛物线 C2 上， 且 A， B 两点不重合， 求代数式 2m3－2mn＋2n3 的值．
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解：(1)证明：∵Δ＝(a＋ 4)2－ 4× 2a＝ a2＋ 16， 而 a2≥ 0，∴ a2＋ 16>0，即 Δ>0. ∴无论 a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． a (2)∵当 x＝ 时， y＝ 0， 2 a 2 a ∴ 2× ＋(a＋4)× ＋a＝0. 2 2 ∴ a2＋ 3a＝ 0，即 a(a＋ 3)＝0. ∵ a≠ 0，∴a＝－ 3. 1 25 ∴抛物线 C1 的解析式为 y＝2x2＋ x－ 3＝ 2x＋ 2－ . 4 8 1 25 ∴抛物线 C1 的顶点坐标为－ ，－ . 8 4 ∴抛物线 C2 的顶点坐标为(0，－ 3)． ∴抛物线 C2 的解析式为 y＝2x2－ 3.
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方法点析
2
－b± b2－4ac 一元二次方程根的判别式 Δ＝b －4ac 以及求根公式 x＝ (Δ≥ 0)是一元二次方程 2a
二次函数的结合点．很多代数综合题中，一般都围绕一元二次方程的根展开讨论．而出现在代数综
题中的一元二次方程一般都会是含有字母系数的形式， 所以会求含有字母系数的一元二次方程的根 突破此类题的关键．