根轨迹典型习题
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1、已知单位反馈系统的开环传递函数)
1s 5.0)(1s 2.0(s k
)s (G ++=
，试概略绘出系统根轨迹。
解： )
2s )(5s (s K
10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++=
三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]
5,-∞-, []0,2-
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(3
73520a a
③ 分离点：
02
d 15d 1d 1=++++ 解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为
0k 10s 10s 7s )s (D 23=+++=
令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω0
10)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[3
2 解得⎩⎨⎧==ω7
k 10
与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图所示。
2、已知单位反馈系统的开环传递函数)
1s 2(s )
1s (k )s (G ++=
，试概略绘出系统根轨迹。
解： )
2
1s (s 2)
1s (K )
1s 2(s )1s (K )s (G ++=
++=
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：
1
d 15.0d 1d 1+=++ 解之得：707.1d ,293.0d -=-=。 根轨迹如图所示。
3、已知单位反馈系统的开环传递函数)
3s )(2s (s )
5s (k )s (G *+++=，试概略绘出系统根轨迹。
解：
① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2-
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02
)5(320ππϕσk a a
③ 分离点： 5
1
31211+=
++++d d d d 用试探法可得
886.0-=d 。
根轨迹如图所示。
4、已知单位反馈系统的开环传递函数)
1s (s )
2s )(1s (*k )s (G -++=，试概略绘出系统根轨迹。
解：
① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：
2
d 1
1d 11d 1d 1++
+=-+ 求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。 5、系统的开环传递函数为
)
4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *
+++=
试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*
K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件
π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件
=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0
=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(
ππ
π
π
-=-
-
-
6
3
2
满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件：
14
3j 123j 113j 1K s H )s (G *
11=++-⋅++-⋅++-=
）（
解出 ： 12K *
= ， 2
3
8K K *== 6、已知单位反馈系统的开环传递函数)
52()2()(2
+++=
s s s K s G ，试概略绘出系统根轨迹。
解：
① 开环零点,21-=-z 开环极点212,1j p ±-=-。 ② 实轴上的根轨迹区间为]2,(--∞ ③ 分离点
014)()()()(2=-+='-'s s s Q s P s Q s P 24.0,24.4522,1-=±-=s
24.41-=s 为分离点，24.02=s 不在根轨迹上，舍去。
分离点K 值 47.6)
()
(24
.4=-
=-=s s P s Q K
④ 出射角 ︒=+++-∠-++-∠+︒=-4.153)2121()221(1801j j j P θ ︒-=-+--∠-+--∠+︒=-4.153)2121()221(1802j j j P θ
⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于)0,2(j -、半径为5的圆周的一部分，解图所示。 7、已知单位反馈系统的开环传递函数)
136)(5)(1()(2++++=s s s s K
s G ，试概略绘出系统根轨
迹。
解：
① 四个极点23,5,14,321j p p p ±-=--=--=-。 ② 渐近线
)
3,2,1,0(315,225,135,454180)12(3
4
3
351=︒︒︒︒=︒⋅+=-=----=
-k k θσ
③ 实轴上的根轨迹区间为]1,5[--。 ④ 分离点
)136)(5)(1()(1)(2++++==s s s s s Q s P