3-4 向量空间的基、维数与坐标
3-3 向量空间的基、维数
线性表示 .
的一个基， 解 要证a1 , a2 , a3是R 3的一个基，只要证 a1 , a 2 , a 3 线性无关， 线性无关，即只要证 A ~ E .
设 即
b1 = x11a1 + x 21a 2 + x 31 a 3 , b2 = x12 a 1 + x 22 a 2 + x 32 a 3，
第三节 向量空间的基、维数 向量空间的基、
1、向量空间的概念
定义1 维向量的集合， 非空， 定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 对于加法及乘数两种运算封闭， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 为向量空间． 集合 V 为向量空间． 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 ． 若α ∈ V , β ∈ V , 则 α + β ∈ V ;
r2 2r1 r3 ~ r1 +
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2 2r1 r3 ~ r1 +
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2 ÷ ( 3)
r3
~3 ÷
1 1 1 1 3 0 1 0 2 1 3 5 5 0 1 1 3 3
x11 (b1 , b2 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B = AX .
x12 x 22 , x 32
施行初等行变换， 对矩阵( A B )施行初等行变换，若 A能变为 E， 的一个基， 则a1 , a 2 , a 3为R 3的一个基，且当 A变为E时，B变为 X = A 1 B .
2 3 2 (b1 , b2 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 ) 3 1 4 3 1 . 2 3
空间向量的基
1 , 2 , , r 是向量空间V的一个基，则 V 可表示为 （3）若向量组
V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
例如，在Rn中， (1 , 2 , n ) 是它的一组基 ，称为标准基，因此
Rn 是n维向量空间。
数理学院
设R n中的向量 在这两组基下的坐标分别为( x1 ,
xn )与( x '1 ,
x 'n )
则 (e1 , e2 ,
x1 x en ) 2 (e '1 , e '2 , xn
x '1 x' e 'n ) 2 (e1 , e2 , x 'n
4
2 0 2 1 1 1 1 3 (2)1 , 2 , 3 , 4 . 0 2 1 1 1 2 2 2 求基(1)到基(2)的过渡矩阵, 并求坐标变换公式.
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
由定义可知，向量空间的基不是惟一的，但其维数是确定
的。并且向量空间可以由它的任一组基 (1 , 2 , n ) 生成。因 此，任给 V ，有惟一的表达式 x11
xn n ，称 ( x1 ,
xn )
为 在基 (1 , 2 , n ) 下的坐标。
由于基不是惟一的，所以同一向量在不同的基下的坐标是 不同的。下面我们来讨论同一向量在不同基下坐标之间的关系。
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
设 (e1 , e2 , en ) 和 (e '1 , e '2 , 即可以相互表示。 e1 e 2 设 en
向量空间的基与维数
向量空间的基与维数结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.(i)零向量可由唯一地线性表示；(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；(iii).结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则，且.例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.域F是F上向量空间，基是{1}，.C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.1)1,线性无关：设，. 则(否则，,矛盾)，因此.2) 1,,线性无关：设，，i=1,2,3 . ( 1 ),两端平方得,由于1,线性无关，故假如，则，且，即. 矛盾.因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而将代入(1)，便得这说明1,,线性无关.3) 1,,,线性无关：设，，i=1,2,3,4 . 则有. ( 2 )假如不全为零，则得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关.故{1,,,}是F的一个基..例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.对任意的正整数n，可证得线性无关：设，使( 3 )取n+1个实数，使a b.由(3)知.即其中而. 用左乘(4)两端，得这说明线性无关.故C[a,b]是R上无限维向量空间.引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明证对s作数学归纳.当s=1 时，结论显然成立.设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在1) 当时，，故；2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在，使（否则，如果,,…,，, ,,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样，故例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基.证取V的一个基，令. 对任意从中删去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则由引理知, 故存在令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.对任意，有.这样的子空间共有个. 由引理知存在令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.另证：设是V的一个基，令令让,,…,F互不相同，则由于其行列式是Vandermonde行列式，即故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,…,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.证：对s作数学归纳.当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,…,r,设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间,由归纳假设知存在V的一个基，使1）如果，那么即满足要求;2）如果. 不妨设∈, , 由最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的之外，F 中有非零数，使同理有 F 中非零数，使显然易证线性无关，是V的基，且满足要求.例 5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明证令(j)是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.对, i≠t,对, (j) ∈W.(j)容易验证}是线性无关的（共个向量）故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故引理 设是向量空间V 的子空间，则(i)(ii)例 6 设是F 上向量空间V 的子空间.(i) 证明：(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立. 证(i)===(ii) 在中，令1w +2w +3w=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而1w ⋂2w =2w ⋂3w =1w ⋂3w ={0}, 1w ⋂2w ⋂3w =={0},此时∑=31dim i i w =2<3=∑=31dim i i w -()∑≤≤≤⋂nj i jiw w 1dim +dim(1w⋂2w ⋂3w ).例7 设A )(F M m s ⨯∈,B )(F M n m ⨯∈.令0w ={α∈n F ∣AB α=10⨯s },1w = {B α∣α∈0w }, 求证1w 是m F 的子空间,且dim 1w =秩B-秩(AB).证 显然10⨯n ∈0w ,故B 10⨯n =10⨯m ∈1w ,即1w ≠∅, ∀1α,2α∈ 0w ,B 1α,B 2α是1w 的任意向量,∀1α,2α∈F,AB(2211ααa a +)= 2211AB AB ααa a +=0,∴2211ααa a +∈ 0w ,∴B(2211ααa a +)∈1w ⇒2211B B ααa a +∈1w ,因而1w 是m F 的子空间 .01当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB 1⨯n X =10⨯s 与B 1⨯n X =10⨯m 同解.因此1w ={0},故dim 1w =0=秩B －秩(AB).02以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. 0w ≠{0},1w ≠{0}.)1秩B=n.此时0w ≠{0},设{1β，2β，…t β}为0w 的一个基,其中 t=n- 秩(AB) .则有1w =(B 1β，B 2β，…B t β). 设1b B 1β+2b B 2β+…+t b B t β=0,i b ∈F,i=1,2,…t. 则B(1b 1β+2b 2β+…+t b t β)=0,而BY=0只有零解,故1b 1β+2b 2β+…+t b t β=0, 又1β，2β，…t β线性无关.所以i b =0，i=1,2,…n. 这说明{B 1β，B 2β，…B t β}是1w 的一个基.dim 1w =t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB).)2秩B<n.令'0w ={γ∈n F B γ=10⨯m }，'0w 是B 1⨯n Y =10⨯m 的解空间，dim '0w =n- 秩B>0.显然'0w ⊆0w .由于我们事先假设了秩B ≠秩(AB),所以'0w ≠0w .设{1β，2β，…P β}是'0w 的一个基. P=n-秩B>0.扩充成0w 的一个基，1β，2β，…P β,1+p β，…,t β, t=n-秩(AB). 而1w =(B 1β，B 2β，…B P β,B 1+p β，…,B t β)= (B 1+p β，…,B t β). 设j j tp j B b β∑+=1=0， j b ∈F, j=p+1,…,t.则B(j j tp j b β∑+=1)=0.即j j tp j b β∑+=1∈'w 故存在1b ,p b b ,...,2∈F ，使j j tp j b β∑+=1=i i pi b β∑=1.i i pi b β∑=1+jjtp j b β)(1∑+=-=0.而1β，2β，…P β,1+p β，…,t β线性无关，所以k b =0，k=1,2,,…,t; 这说明B 1+p β,B 2+p β，…,B t β线性无关,是1w 的一个基. 因此 dim 1w =t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB).例8 设1w ,2w 是向量空间v 的子空间,且dim(1w +2w )=dim(1w ⋂2w )+1 证明,下述两条必有一条成立: (ⅰ) 1w +2w =1w ,1w ⋂2w =2w ; (ⅱ) 1w +2w =2w ,1w ⋂2w =1w .。
维数、基与坐标
对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且 任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空 间V中的两组基.由基的定义，它们必可以 互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线 性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B
向 量 空 间
例4
2 2 1
1 4
设
A
(a1
，a2
，a3
)
2
1
1 2
2 2
，B
(b1
，b2 )
0 4
3 。验证 2
a1 ，a2 ，a3 是 R3的一组基，并求 b1 ，b2 在这组基中的坐标。
解 设 b1 x11a1 x21a2 x31a3 ，b2 x12a1 x22a2 x32a3 ，即
是向量空间，称为由向量 1 ，2 ， ，m 生成的向量空间， 记为 L(1 ，2 ， ，m ) 。
例3 如果向量组 1 ，2 ， ，s 与向量组 1 ，2 ， ，r 等价，则
L(1 ，2 ， ，s ) L(1 ，2 ， ，r )
证 若 L(1 ，2 ， ，s )，则 可由 1 ，2 ， ，s 线性表示，
特别地，在 n 维向量空间 Rn中，取单位坐标向量组 e1 ，e2 ， ，en 为基，则以 x1 ，x2 ， ，xn 为分量的向量 x，可表示为
x x1e1 x2e2 xnen 可见，向量在基 e1 ，e2 ， ，en 中的坐标就是该向量的分量。因 此，e1 ，e2 ， ，en 称为Rn 中的自然基。
是一个向量空间。
定义2 设V1 ， V2 是两个向量空间，如果V1 V2 ，则称 V1 ，
是V2 的子空间。 单独由一个零向量构成的集合{0} 也是一个向量空间，称
为零空间。 设 1 ，2 ， ，m 为一组 n 维向量，容易证明它的线性组合 V { k11 k22 kmm | ki R，1 i m}
经济数学
向量空间
1
向量空间的概念
3
2
基变换与坐标变换
基、维数与坐标
1.1 向量空间的概念
向量空间的结构
杨建新
第三节 向量空间的结构
二、向量空间的基与维数
定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
第 三 章 维 向 量 空 间 n
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
杨建新
第三节 向量空间的结构
， 结论 若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式 则Dr 所在的r列即是列向量组的一个 极大无关组，
第 三 章 维 向 量 空 间 n
Dr 所在的r行即是行向量组的一个 极大无关组 .
如阶梯形矩阵 说明
1 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
1, 2 , , n 为线性空间 V 的一组基， V , 若 a1 1 a2 2 an n , a1 , a2 , , an R n 则数组 a1 , a2 , , an ，就称为 在基 1 , 2 , , n
设 下的坐标，记为 (a1 , a2 ,
选出r个向量 i1 , i2 ,, ir ，满足 （1）向量组 A0 : i1 , i2 ,, ir 线性无关； （2）向量组 A中任意 r 1个向量线性相关
（如果 A中有r 1个向量的话） ;
那么向量组A0称为向量组A的一个极大无关向量组 (简称极大无关组)；极大无关组所含向量个 数r称为 向量组的秩; 向量组A : 1 , 2 ,, s的秩也记作
(a1 ,, a s ) Kx 0 有非零解， 即(b,, br ) x 0有非零解， 这与B0组
线性无关矛盾，因此 r s不能成立，所以 r s.
向量空间的基、维数与坐标
( 4 )B (1, 1, 2).
12 上一页 下一页 返 回
例5 设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合 V x a b , R
第三节 向量空间的基、维数 与坐标
一 二 三 四 向量空间 向量空间的基、维数与坐标 基变换与坐标变换 小结
1 上一页 下一页 返 回
一、向量空间
定义3.18 设 V 是非空 n 维向量的集合，若 V 对于 向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称 V 为一 个向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭是指
9 上一页 下一页 返 回
R n 空间的一组规范基为
ε1 (1,0,,0) ,ε2 (0,1,,0) , ,εn (0,0,,1)
向量 (a1 , a2 ,..., a n ) 在此规范基下的坐标为
(a1 ,a2 ,...,a n ).
因为
α a1ε1 a2 ε2 ... an εn .
11 上一页 下一页 返 回
由行阶梯矩阵知 r ( A) 3, 且 1 , 2 , 3 线性无关, 知其为 R 3 的一组基, 进一步将A变成行最简形：
2 1 0 0 1 1 1 1 A ~ 0 1 2 5 ~ 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 2
La1,a2,,am x | x 1a1 2a2
mam 1,2,,m R
向量组 a1 , a 2 , , a m的极大无关组即为 L 的基； a1 , a 2 , , a m的秩即为 L 的维数.
线性代数与空间解析几何01-第34节 向量空间的基、维数与向量的坐标_34
T
T
,
n
中任一向量都可由这个向量组ε1,ε2 ,,εn线性表
示,
所以
ε ,ε 12
, ,εn是Rn的一个基,
dim
Rn
n.
而向量空间
V1
x
0,
x 2
, ,
x n
T
|
x2
, ,
xn
∈R
的维数是n-1, dimV1 n 1.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标 1. 向量空间的基与维数概念 说明（:1）规定零空间的维数是0.
（2）若把向量空间V看作向量组, 那末V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是 向量组的秩.
（3）由 1,2,,m所生成的向量空间
V x 1122mm|1,,mR
与向量组1,2,,m等价, 向量组1,2,,m
的极大无关组是V的一个基, 其秩就是V的维数.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
称向量组 1,2, ,r是向量空间 V 的一个基， 数r
称为向量空间V的维数, 记为dimV ，并称V为
r 维向量空间.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
1. 向量空间的基与维数概念
ε2
(例0,1如,, ,R0)n中,的,基ε 本 (单0,位0,向,1量) 组线性ε1 无(1关,0,,且,0R)nT
但这两个坐标向量有着必然联系.
4.3 向量组的秩
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标
3. 基变换公式和过渡矩阵
设1,2, ,n及1,2, ,n为 n维向量
空间 Rn 的两个基，并且
维数-基-坐标ppt课件
3/36
若向量组 1, 2 , , s 中每一向量皆可由向量组
1,2 , ,r线性表出， 则称向量组 1, 2 , , s
可由向量组 1,2 , ,r 线性表出.
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2 , ,r V ，若存在不全为零的数 k1, k2 , , kr P，使得 k11 k22 krr 0 则称向量组 1,2 , ,r 线性相关.
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
12/36
注意：
① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个 线性无关的向量都是V的一组基．
② 任意两组基向量是等价的．
例4（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
23/36
∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意f(A)均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V 的一组基.
怎样才能便于运算？
2/36
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1）1,2 , ,r V (r 1), k1, k2 , , kr P, 和式
k11 k22 krr
称为向量组1,2 , ,r 的一个线性组合．
§3.4线性空间、基、维数和坐标
一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题。
定义设F 是数的集合，若其满足（1）F∈1,0 （2）F ，均有∈∀b a ,∈≠÷×−+)0(,,,b b a b a b a b a 则称F 是一个数域。
R ，实数域Q ，有理数域常用数域C ，复数域F},,1, |),,{(1n i a a a i n =∈=},,2,1,,2,1, |]{[n j m i a a ij n m ij ==∈=×；F [x ]F F m ×n F },2,1,0,,1,0 , |){2210 ==∈++++=n n i a x a x a x a a i nn ；Fn F }0)( ,)( ],[F )(|)({≡∈=x f n x f x x f x f 或的次数小于}],[)(|)({上的连续函数是闭区间b a x f x f =F [x ]n C [a ,b ]βαγ+=若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的数量积，记作∈k V ∈αV ∈δk ααδk =定义设是一个非空集合，F 为数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为元素与的和，记作V ∈βα,V ∈γαβV F对F ，总有,,,,V k l αβγ∈∈;,,)3(αθααθ=+∈都有对任何中存在在V V ;)1(αββα+=+ ()();)2(γβαγβα++=++ 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域F 上的线性空间：V 零元素(5) 1αα=()()(6) k l kl αα=()(8)k k k αβαβ+=+()(7) k l k l ααα+=+;),,)(θααααα=−+∈−∈( 4使的都存在对任何V V 负元素说明1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算；2．线性空间中的向量不一定是有序数组；3．若一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。
高等代数第四版习题答案
高等代数第四版习题答案高等代数是一门研究线性代数、多项式、群、环、域等代数结构的数学基础课程。
第四版的高等代数习题答案涵盖了从基础的向量空间和矩阵运算，到复杂的群论和环论概念。
以下是一些习题答案的示例：1. 向量空间的基和维数：- 向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能通过线性组合生成整个空间。
- 维数是基中向量的数量。
2. 矩阵的秩：- 矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数量。
3. 行列式的计算：- 行列式是一个数值，可以通过特定方法从方阵中计算得出，它与矩阵的某些性质密切相关。
4. 特征值和特征向量：- 特征值是与线性变换相关的标量，特征向量是对应于该特征值的非零向量。
5. 线性变换：- 线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量加法和标量乘法。
6. 多项式的根：- 多项式的根是多项式等于零时的解。
7. 群的定义和性质：- 群是一个集合，配备了一个二元运算，满足封闭性、结合律、存在单位元和每个元素都有逆元。
8. 环和域：- 环是一个集合，配备了两个二元运算，加法和乘法，满足加法的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律。
- 域是一个特殊的环，其中每个非零元素都有逆元。
9. 线性方程组的解法：- 高斯消元法是一种常见的解线性方程组的方法，通过行操作将矩阵转换为行简化阶梯形或对角形。
10. 内积空间和正交性：- 内积空间是一个向量空间，配备了一个满足正交性的二元运算，即内积。
请注意，以上内容仅为示例，具体的习题答案需要根据实际的习题来提供。
如果需要具体的解答过程或详细的步骤，请提供具体的习题内容。
向量空间的基与维数
向量空间的基与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定性质的数学结构，它由一组向量组成，并满足一些线性运算规则。
在向量空间中，我们经常讨论两个重要的概念，即基和维数。
一、基的定义和性质向量空间的基是指一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量。
具体而言，设V是一个向量空间，S={v1,v2,...,vn}为V 中的向量组，如果满足以下两个条件：1. 向量组S中的向量线性无关；2. 向量空间V中的每一个向量都可以由向量组S线性表示，则称S 为向量空间V的基。
基的性质包括：1. 基的向量个数是确定的。
如果两个基包含的向量个数不同，那么它们所在的向量空间也是不同的。
2. 基的向量组中的向量个数是向量空间的维数。
二、维数的定义和性质在向量空间中，维数是指该向量空间的基中所含向量的个数。
通常用符号dim(V)表示，其中V是一个向量空间。
维数的性质包括：1. 如果V是一个向量空间，那么V的两个基所含向量的个数相同。
也就是说，向量空间的维数是唯一确定的。
2. 一个向量空间的维数是非负整数。
3. 如果向量空间的维数是有限的，则称该向量空间为有限维向量空间。
否则，称该向量空间为无限维向量空间。
三、例子和应用1. 二维平面上的向量空间R^2，其基可以选择为{(1,0),(0,1)}，其中(1,0)和(0,1)分别是R^2的两个标准单位向量。
因此，R^2的维数为2。
2. 三维空间中的向量空间R^3，其基可以选择为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，其中(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)分别是R^3的三个标准单位向量。
因此，R^3的维数为3。
基和维数的概念不仅在线性代数中有着重要的应用，也在其他数学领域和物理学、工程学等各个领域得到广泛应用。
它们帮助我们更好地理解和描述向量空间的结构和性质，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
总结起来，向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量；维数是该向量空间基所含向量的个数。
线性代数中的向量空间的基与维数计算与应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
特征值分解（EVD）：用于主成分 分析和图像处理
矩阵分解在推荐系统中的应用：通 过分解用户-物品交互矩阵，推荐 相关物品
数据降维案例
数据降维的背景：高维数据难以处理，需要降低维度以便分析
基与维数的概念：基是向量空间的一组线性无关的向量，维数是向量空 间的秩，即基向量的个数
响，例如小波变换、中值滤波等。
THANKS
汇报人：XX
向量空间在解析几何、线性代数等领域中有着广泛的应用。
向量空间的基的定义
基是向量空间中线性无关的 向量组
向量空间是由同维线性组合 生成的向量集合
基的个数是向量空间的维数
基可以用来描述向量空间中 的任意向量
基的个数与向量空间的维数的关系
基的个数必须 等于向量空间
的维数
基的个数不能 超过向量空间
的维数
06 基 与 维 数 的 计 算 注 意事项
Part One
单击添加章节标题
Part Two
向量空间与基的定 义
向量空间的定义
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、加法的结合律和交换律、数乘的 结合律和分配律。
向量空间中的向量可以进行加法、数乘等运算，且满足一定的性质。
向量空间中的向量可以表示为坐标系中的点或矢量，具有方向和大小。
迭代法：利用迭 代算法求解基
维数的计算方法
定义：基与维数是线性代数中描述向量空间的重要概念，维数等于向量空间的基中向量的个数。 计算方法：通过求解线性方程组，可以得到向量空间的基，从而计算出维数。 应用：维数的计算在解决实际问题中具有广泛的应用，如机器学习、图像处理等领域。 注意事项：在计算维数时，需要注意线性相关性的问题，避免出现计算错误。
线性空间的概念,维数、基与坐标
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
4
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
那么,V 就称为数域 F上的线性空间(或向量空 间),V 中的元素称为向量(或元).
线性代数A
19
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
三、线性空间的子空间
定义2 设 V 是一个线性空间, U 是 V 的一个 非空子集,如果 U 对于 V 中所定义的加法和乘数 运算也构成一个线性空间, 则称 U 是 V 的一个子 空间．
线性空间中的零元构成一子空间, 称为零空间. V 自身是V 的子空间. 我们称这两个子空间为V 的 平凡子空间.
记作
;
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
3
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
如果上述两种运算满足以下八条运算规律
( 设 , , V;, F )：
(1) ;
(2) ;
(3) 在V中存在零元素 0 ,对任何 V ,都有 0 ;
于是有 定理2 线性空间V 的非空子集U 构成子空间的
充分必要条件是： ⑴ 如果 , U, 则 U;
⑵ 如果 U, k R,则 k U.
[证略]
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
22
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
例7
证明： N 2
a 0
b
0
a, b R
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
一般向量空间与线性变换知识点总结
下的坐标。 例2、求 P[ x ]3 的元 f ( x ) 1 x x 在基 1, x 1, ( x 1)( x 2) 下的坐标。
2
（2）利用坐标变换公式
, 2 , ( 1
) ( 1 , 2 , , n
, n ) A, V ( F )
(1) F [ x ] a0 a1 x
an x n ai F , n N
(2) Fn [ x ] a0 a1 x
a n 1 x n 1 a i F
f ( x ) P[ x ] f ( x ) 0 or f ( x ) n
其系数行列式
1 1 1 1
②
2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0
故 E , A, A 线性无关. 又由①知，任意均可表成 E , A, A 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E , A, A 就是V的一组基.
到基
G1 0 1 , G2 1 0 , G3 1 1 , G4 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0
的过渡矩阵。
练习：已知 P 22 的两组基：
E11 1 0 , E12 0 1 , E21 0 0 , E22 0 0 ; 0 0 0 0 1 0 0 1 F11
2、向量空间的简单性质
1)、零元素是唯一的.
2)、 V ，的负元素是唯一的，记为- ．
0 0, k 0 0, ( 1) , 3)、 k ( ) k k
第三章3-4-向量空间
1 p11 1 p12 2 p1m m , p p p , 2 21 1 22 2 2m m m p m1 1 p m 2 2 p mm m .
记
p11 p12 P p 1m
（3.4.2）
（3.4.2）称为坐标变换公式。
线性代数
证
由题设
x11 x2 2 xm m
x1 (1 , 2 , , m ) x 2 x m y11 y2 2 ym m
线性代数
y1 y2 (1 , 2 , , m ) y m
由 (1 , 2 , , m ) (1 , 2 ,, m ) P
y1 y2 ( 1 2 n ) P y n
则
线性代数
由向量α在基α1,α2 , …,αm下坐标的唯 一性, 得
x1 y1 x2 y2 P x y m m
或
y1 x1 x y2 1 2 P y x m m
线性代数
例 3.4.4 设 α1=( 1,0,2), α2 =(1,0,1), α3 =(-1,2,0),证明α1,α2, α3是向量空间 的 3 R 一组基，并求向量 α=( 2,-3,5)在这组基 下的坐标。
线性代数
证明
以向量α1,α2, α3为列向量做矩阵
1 1 1 A 0 0 2 2 1 0
线性代数
于是
1 2 3 3 5 1 (1 2 3 ) (1 2 3 ) 2 3 7 1 2 1 1 3 1 4 1 6
向量空间的基与维数定理
向量空间的基与维数定理一、基的定义与性质在向量空间中，基是指能够通过线性组合生成整个向量空间的一组向量。
具体来说，若向量空间V中的向量组{v1, v2, ..., vn}：1. 线性无关：任意一个向量vi都不能由其他向量的线性组合表示出来。
2. 生成性：任意一个向量v都可以表示成向量组{v1, v2, ..., vn}的线性组合。
二、基的存在性与维数定理对于任意一个向量空间V，都存在一组基。
而且，不同的基所含有的向量个数是相同的，称为这个向量空间的维数，记作dim(V)。
三、基的个数与维数之间的关系设V是一个有限维向量空间，则：1. 若V中存在有限个向量，它们组成了V的一组基，则称V是有限生成的；2. 若V是有限生成的，则V中的任何一组基所含有的向量个数都相同。
四、维数定理相关的证明与推论1. 维数定理的证明：设V为一个有限维向量空间，存在两个有限的基：{v1, v2, ..., vm} 和 {u1, u2, ..., un}。
首先，我们需要证明向量组{v1, v2, ..., vm}线性无关。
即对于任意一个向量的线性组合：a1v1 + a2v2 + ... + amvm = 0，若存在不全为零的系数a1, a2, ..., am，则上述方程成立，从而基{u1, u2, ..., un}中的向量也可以表示成{v1, v2, ..., vm}的线性组合，与其构成基的定义相矛盾，所以{v1, v2, ..., vm}是线性无关的。
其次，我们需要证明向量组{v1, v2, ..., vm}能生成整个向量空间V。
任意一个向量u都可以表示为基{u1, u2, ..., un}的线性组合：u = b1u1 + b2u2 + ... + bun，并且可以将基{u1, u2, ..., un}中的向量表示成基{v1, v2, ..., vm}的线性组合：ui = a1i v1 + a2i v2 + ... + ami vm，因此，u也可以表示成基{v1, v2, ..., vm}的线性组合：u = (b1a11 + b2a21 + ... + banan) v1 + (b1a12 + b2a22 + ... + banan) v2 + ... + (b1a1m + b2a2m + ... + banan) vm，即向量组{v1, v2, ..., vm}能够生成整个向量空间V。
向量空间的基,维数与坐标
若1,2, ,r 是向量空间V 的一组基，
则对 V ,存在唯一一组有序数 x1, x2, , xr
使得
x11 x22 xrr ，
x1, x2 , , xr 称为向量 在基 1,2, ,r 下的
坐标
记为 ( x1, x2 , , xr ).
8 上一页 下一页 返 回
解
1 1 1 2
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
)
1
2
0
3
1 0 3 7
1 ~ 0
0
1 3 1
1 1 2
2 1 5
~
1 0 0
1 1 0
1 2 7
2 5 14
11 上一页 下一页 返 回
由行阶梯矩阵知 r( A) 3, 且1,2,3 线性无关,
知其为 R3 的一组基, 进一步将A变成行最简形：
,
en )
p21
p22
p1n
p2n
P 称为
P
pn1
pn2
pnn
（1）
由基 e1, e2 , , en 到基 e1, e2 , , en 的
过渡矩阵
前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能
引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？
16 上一页 下一页 返 回
设向量 在上述两组基下的坐标分别为 ( x1, x2, , xn ) 和 ( x1, x2 , , xn ), 即 x1e1 x2e2 xnen x1e1 x2e2 xnen
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2, , xn T x2, , xn R
向量空间线性代数的课堂PPT
中的坐标. 中的坐标
向量空间
向量空间的概念 向量空间的基、 向量空间的基、维数与坐标
一、向量空间的概念
维向量的集合， 定义 设 V 为 n 维向量的集合，并且 V 满足 集合非空； ⑴ 集合非空； 对于加法运算封闭； ⑵ 对于加法运算封闭； 对于数乘运算封闭； ⑶ 对于数乘运算封闭； 向量空间. 那么称集合 V 为向量空间
λ乘 3维向量仍然是 3维向量，它们都属于 R 3 . 维向量，
类似地， 类似地， n维向量的全体 R n，也是一个向量空 间.
R = {α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) ai ∈ R}
n T
一、向量空间的概念
判别下列集合是否为向量空间. 例2 判别下列集合是否为向量空间
V1 = x = (0, x 2 , ⋯ , x n ) x 2 , ⋯ , x n ∈ R
T
因此，V1是向量空间 .
一、向量空间的概念
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , ⋯ , x n ) x 2 , ⋯ , x n ∈ R
T
{
}
解 V2不是向量空间 .
因为若α = (1, a 2 ,⋯, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 ,⋯,2a n ) ∉ V2 .
x = k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k rα r , 数组 k1 , k 2 , ⋯ , k r 称为向量 x 在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α r 中的坐标 坐标. 中的坐标 ⇔ 线性表示的系数
• 基底改变，则相应的坐标随着改变. 基底改变，则相应的坐标随着改变.
向量空间的概念基维数
（由定义6易验证）。
上页 下页 返回
例12
集合V
{x
(0,
x2 ,, xn )T
|
xi
R, i
1,2,, n}
是一个向量空间. 因为若a (0,a2
,,
an
)T
V
,
b
(0,
b2
,,
bn
)T
V
§4 向量空间
★向量空间的概念、基、维数
本节是站在“空间”的高度研究“向量组”，同学们 须对“向量空间”的概念有初步认识。
下页 关闭
向量空间的定义 定义6 设V为n维向量的集合,如果集合V非空, 且 集V合,则V对 于 加法V ;及若数乘V运, 算封闭R,,则即若 VV.那, 么 就称V为向量空间.
验证a1
,
a2
,
a3是R 3的1
2
一个
2
基, 并
把b1
,
b2用这
4
个基
2
线性
表a1示, a. 2解, a3要 线验 性证 无a关1,,a即2 只, a要3是证RA3～的E一。个基，只要证
上页 下页 返回
设b1
x11a1
x21a2
x31a3 , b2
x12a1
x22a2
x32a3 ,
2
3 3
3
上页 下页 返回
因A
~
E
,
故a1
,
a2
,
a3是
R3
的一个基。且
2 4
b1 ,
b2
a1,
a2 ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y1 x2 x3 x4 y2 x1 x2 y3 x4 y4 x1 x2 x3 x4
上一页 下一页
23 返 回
四、小结
1. 向量空间的基、维数与坐标的定义
V x 11 2 2 r r 1 ,, r R
7 上一页 下一页 返 回
若 1 , 2 ,, r 是向量空间V 的一组基， 则对 V ,存在唯一一组有序数 x1 , x2 ,, xr
使得
x11 x22 xrr ，
T
0, a2 ,, an V1.
T
4 上一页 下一页 返 回
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 ,, xn x2 ,, xn R
T
解 V2不是向量空间.
因为若 1, a2 ,, an V2 ,
T
则2 2,2a2 ,,2an V2 .
求基（1）到基（2）的过渡矩阵，并求坐标 变换公式. 解 取 R 4 中的第三组基为规范基 1 , 2 , 3 , 4 , 则有
20 上一页 下一页 返 回
(1 , 2 , 3 , 4 ) (1 , 2 , 3 , 4 ) A ( 1 , 2 , 3 , 4 ) (1 , 2 , 3 , 4 )B
T
对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭.
5 上一页 下一页 返 回
二、向量空间的基、维数与坐标
定义3.19 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 ,
, r V , 且满足
（1） 1 , 2 ,, r 线性无关； （2） V 中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示. 那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量空间 V 的
x1 , x2 ,, xr 称为向量 在基 1 , 2 ,, r 下的
坐标 记为
( x1 , x2 ,, xr ).
8 上一页 下一页 返 回
特别，若 1 , 2 ,, r 是向量空间 V 的一组基，
且 1 ,2 ,,r 两两正交，则称 1 , 2 ,, r 为V 的一组正交基；若 1 , 2 ,, r 两两正交 且为单位向量，称 1 , 2 ,, r 为V 的一组 规范基 .
10 上一页 下一页 返 回
例 4 设 1 (1, 1,1), 2 (1, 2,0), 3 (1,0, 3),
4 (2, 3,7), 证明 1 , 2 , 3 是 R 3 的一组基
并求 4 关于基 B : 1 , 2 , 3 的坐标. 解
1 1 T T T T A (1 ,2 ,3 ,4 ) 1 1 1 1 2 1 1 ~ 0 3 1 1 ~ 0 1 0 1 2 5 0 0
试判断集合V是否为向量空间.
解
V 是一个向量空间. 因为若 x1 1a 1b,
x 2 2 a 2 b， 则有 x1 x 2 (1 2 )a ( 1 2 )b V ,
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为由向量 a, b 所生成的向量空 间.
由基的定义可知向量空间中的基不唯一， 由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化. 设 e1 , e2 ,, en 与 e1 , e2 , , en 是 n 维向量空间 的两组基，则后一组基可由前一组基唯一线性 表示 p11e1 p21e2 pn1en , e1 两组 e2 p12 e1 p22e2 pn 2en , 基的 变换 公式 e p e p e p e . 1n 1 2n 2 nn n n
r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维 一组基，
向量空间．
6 上一页 下一页 返 回
说明 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基． （2）若把向量空间 V看作向量组，那末 V的基 就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的 秩. （3）若向量组 1 , 2 , , r 是向量空间V 的一 个基，则 V 可表示为
若 V , V , 则 V ; 若 V , R, 则 V .
2 上一页 下一页 返 回
例1 3 维向量的全体 R3 , 是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R 3.
类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空间.
9 上一页 下一页 返 回
R 空间的一组规范基为
n
ε1 (1,0,,0) , ε2 (0,1,,0) , , εn (0,0,,1)
向量 (a1 , a2 ,..., an ) 在此规范基下的坐标为
(a1 ,a2 ,...,an ).
因为
α a1ε1 a2 ε2 ... an εn .
15 上一页 下一页 返 回
p11 p , e2 , , en ) ( e1 , e2 , , en ) 21 ( e1 pn1
其矩阵形式为：
p12 p22 pn 2
P
p1n p2 n pnn
（ 1）
P
称为
由基 e1 , e2 ,, en 到基 e1 , e2 ,, en 的
过渡矩阵
前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能 引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？
16 上一页 下一页 返 回
设向量
在上述两组基下的坐标分别为
, x2 ,, xn ), 即 ( x1 , x2 ,, xn ) 和 ( x1 e1 x x1e1 x2e2 xnen x1 2e2 xn en
x1 x 2 ( e1 , e2 , , en ) xn x1 x , e2 , , en ) 2 ( e1 xn
17 上一页 下一页 返 回
将（1）式代入上面方程得
x1 x 2 ( e , e , , e ) 1 2 n xn p11 p 21 ( e1 , e2 , , en ) pn1 p12 p22 pn 2
3 上一页 下一页 返 回
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 ,, xn x2 ,, xn R
T
解 V1是向量空间.
因为对于V1的任意两个元素
0, a2 ,, an , 0, b2 ,, bn V1 ,
T T
有
0, a2 b2 ,, an bn V1
21 上一页 下一页 返 回
所以过渡矩阵 P A1 B .通过计算可得:
1 1 P 0 0
所以
0 1 1 0
0 0 1 1
1 1 1 0
P 1
0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
22 上一页 下一页 返 回
若 在基（1）下的坐标为 x1 , x2 , x3 , x4 ，在 基（2）下的坐标为 y1 , y2 , y3 , y4 ，则由坐标变 换公式有
y1 x1 y x 2 P 1 2 y3 x3 y4 x4
所以 4 1 1 ( 1) 2 2 3 因此 4 在基 B : 1 , 2 , 3 下的坐标为
(4 )B (1, 1, 2).
12 上一页 下一页 返 回
例5 设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合
V x a b , R
x1 x1 x x 2 P 1 2 或 xn xn
（ 2）
上式就是在两组基下的坐标变换公式.
19 上一页 下一页 返 回
例6
4 R 设 中的两组基：
1 (1, 2, 1, 0)T， 1 (2,1, 0,1)T， T T (1, 1,1,1) ， 2 2 (0,1, 2, 2) ， (1) (2) T T ( 1, 2,1,1) ， ( 2,1,1, 2) ， 3 3 ( 1, 1, 0,1)T； (1, 3,1, 2)T . 4 4
1 1 2 2 0 3 0 3 7 1 2 2 5 7 14
11 上一页 下一页 返 回
由行阶梯矩阵知 r ( A) 3, 且 1 , 2 , 3 线性无关, 知其为 R 3 的一组基, 进一步将A变成行最简形：
2 1 0 0 1 1 1 1 A ~ 0 1 2 5 ~ 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 2
L a1 , a2 ,, am x | x 1a1 2a2 m am 1, 2 ,, m R
向量组a1 , a2 ,, am的极大无关组即为 L 的基； a1 , a2 ,, am的秩即为 L 的维数.
上一页 下一页 14 返 回
三、基变换与坐标变换
第三节 向量空间的基、维数 与坐标
一 二 三 向量空间 向量空间的基、维数与坐标 基变换与坐标变换
四
小结
1 上一页 下一页 返 回
一、向量空间
定义3.18 设 V 是非空 n 维向量的集合，若 V 对于
向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称 V 为一
个向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭是指