特殊函数(2014)

=
( 2 n − 1)!!
π
4
例2. 计算
解：
1 1 n Γ + Γ ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 = Β(n + , ) = 2 Γ ( n + 1) 2 2 2 ( 2 n − 1)! ! π π ⋅ n ( 2 n − 1)! ! π 1 2 ⋅ = = ( 2 n )! ! 2 2 n!
7 1 3 7 1 3 1 2 3 C3 = ∫ x P3 ( x)dx = ∫ x ⋅ (5 x -3x)dx = 2 −1 2 −1 2 5
所以
3 2 x = P1 ( x ) + P3 ( x ) 5 5
3
11
例3. 将函数
解:
cos 2θ (0 ≤ θ ≤ π) 展开为勒让德多项式 Pn (cos θ ) 的形式。 2 2 令 cos θ = x ,则 cos 2θ = 2cos θ − 1 = 2 x − 1
18
第五章 例 题 例1 求不定积分 ∫ x J 2 ( x) d x 。
a
仅供参考
例2 利用递推公式求积分 ∫ x J 0 ( x) d x。
3
例3 计算定积分
0
例4 利用递推公式证明
2 2
仅供参考
当ν≠整数时，通解为： y ( x ) =
d y dy 2 2 x +x + ( x −ν ) y = 0 2 dx dx
(16.13)
AJν ( x) + BJ −ν ( x)
当ν=整数n时, 通解为：y ( x ) = CJ n ( x ) + DYn ( xp −1
(sin θ )
2 q −1
dθ
Γ函数与Β函数之间的关系 Γ( p)Γ(q) Β( p, q) = ( p > 0, q > 0) Γ( p + q) 例1、例2
3
仅供参考 1 1 5 5 第三章 例 题 ). ), ( ), ( ), ( Γ ( Γ − Γ + n Γ − n 例1. 计算 2 2 2 2 3 3 3 5 1 3 1 Γ ) = ( Γ ) = π ⋅ Γ ) = ( ( 解： 2 2 4 2 2 2 2 1 1 3 Γ(− ) 2 2 Γ( ) Γ(− ) 5 2 2 = 2 = − 8 π 2 =− Γ(− ) = 3 1 5 2 5 3 5 15 (− ) (− ) − 2 2 2
2
2 x − 1 = C0 P0 ( x) + C1P1 ( x) + C2 P2 ( x) 可设 考虑到勒让德函数的奇偶性，显然 C = 0
1
1 P 2 ( x ) = (3 x 2 − 1) 2
12
例4. 在球r=a的内部求解∆u=0，使其满足边界条件
仅供参考
u |r = a = cos θ 。
仅供参考
Pn (−1) = (−1) ;
n
2 ∫−1 Pm ( x ) Pn ( x )dx = 2n + 1 δ mn , m , n = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅
1
★ Legendre多项式Pn(x)的广义Fourier展开 ★ 例1~例6
f ( x) = ∑ cn Pn ( x)
n =0
∞
8
第四章 例 题
1 1 1 Γ ( + n ) = ( + n − 1) Γ ( + n − 1) 2 2 2 1 1 = ( 2 n − 1)! ! π 2n − 1 2n − 3 = ⋅ ⋅L ⋅ Γ( ) n 2 2 2 2 2 1 Γ ( − n + 1) −2 −2 −2 1 1 2 = ⋅ ⋅L ⋅ Γ( ) Γ( − n) = 1 2 2 2n − 1 2n − 3 1 −n 2 ( − 1) n 2 n
∞
f ( x )是三次多项式，故展开式最多含三次勒让德多项式，
P0 ( x) = 1
1 1 2 3 P x = ( 3 x − 1 ) ( ) P ( x ) = ( 5 x − 3x) P 2 3 1 ( x) = x 2 2
l =0
f (x) = 2x3 + 3x + 4 = f0P 0 + f1P 1 + f2 P 2 + f3P 3 3 f3 1 3 5 3 = f0 + f1x + f3 (5x − 3x) = f0 + ( f1 − )x + f3 x 2 2 2 4 5 f0 = 4 f3 = 2 f3 = 21 4 5 2 f ( x) = 4 P0 + P1 + P3 5 5 3 f3 6 21 f1 − = 3 f1 = 3 + = 5 5 2
Γ(1) = 1; Γ( z + 1) = zΓ( z ); Γ( z )Γ(1 − z ) =
仅供参考
Re x > 0
Γ函数的性质：（1、2、3及其推论） π
sin π z
B( p, q ) 的三角形式 π
2 0
Γ(n + 1) = n!, Γ(1 / 2) = π , Γ函数在全平面无零点。
Β( p, q ) = 2 ∫ (cos θ )
★分部积分法
xy ' d x = x d y = xy − y d x ∫ ∫ ∫
★俩最特殊的半奇数Bessel函数：
2 2 J1/ 2 ( x) = sin x, J −1/ 2 ( x) = cos x πx πx
★ Bessel函数零点的性质： Jn(x)有无穷多个对称分布的零点； Jn(x)和Jn+1(x)的零点相间分布； ★ 例1~例5 Jn(x)的零点趋于周期分布。
2
⎧∆u = 0, (r < a) ⎪ 2 解: ⎨u |r = a = cos θ ⎪u | = 有限值 ⎩ r =0
因边界条件与ϕ无关，所以其解u也应与ϕ无关。
又因u |r =0 = 有限值
u (r , θ ) = ∑ Al r Pl (cos θ ) = ∑ Al r Pl ( x)
l l l =0 l =0 ∞ ∞
n≠整数时（15-9）的通解为 当n是正整数时，通解为 ★ 连带勒让德微分方程
y ( x) = c0 y0 ( x) + c1 y1 ( x)
（15-14）
其中，c0、c1为任意常数。
y ( x) = APn ( x) + BQn ( x)
2 ⎛ ⎞ m 2 ⎟ （15-6'） − y=0 (1 − x ) y ' '−2 xy'+⎜ λ 2 ⎜ ⎟ 1− x ⎠ ⎝ ★ 前4个Legendre多项式
又因u |r = a = ∑ Al a Pl ( x) = cos θ = x
l 2 l =0
∞
2
13
方法1：
∑ A a P ( x) = A a P ( x) + A a P ( x) + A a P ( x)
l 0 1 2 l =0 l l 0 0 1 1 2 2
∞
仅供参考
1 2 2 = A0 + A1ax + A2 a (3x − 1) = x 2
10
例2. 将函数 解:
3
f ( x) = x
3
按勒让德多项式形式展开.
仅供参考
x = C0P0 (x) +C1P( 1 x) + C 2P 2 (x) + C 3P 3 (x)
C0 = C 2 = 0
考虑到
3 1 3 3 1 3 3 C1 = ∫ x P1 ( x)dx = ∫ x ⋅ xdx = 2 −1 2 −1 5
2 0
2 n+1
u du = ∫ sin
π
2 ( n + 1 ) −1
1 2× −1 2
仅供参考
u du
2 n! ( 2 n )!! = = ( 2 n + 1)( 2 n − 1)!! ( 2 n + 1)!!
n
6
第四章 勒让德多项式 球函数
★ n 次勒让德微分方程
2
仅供参考
(1 − x ) y ' '−2 xy'+ n(n + 1) y = 0（15-9）
f ( x) = x 按勒让德多项式形式展开。 例3.将函数 cos 2θ (0 ≤ θ ≤ π ) 展开为勒让德多项式 Pn (cos θ ) 的形式。
例2. 将函数
3
仅供参考
例1. 在[-1,1]中将 f ( x) = 2 x 3 + 3 x + 4 展开为广义傅立叶级数。
例4. 在球r=a的内部求解∆u=0，使其满足边界条件
15
例5. 写出2次勒让德方程，并写出它的通解。 例6. 计算积分： ∫ xPk ( x) Pl ( x)dx = ?
−1 1
仅供参考
解:
(2n + 1) xPn ( x) − nPn −1 ( x) = (n + 1) Pn +1 ( x),（15.18）
16
第五章 贝塞耳函数 柱函数
★ ν阶Bessel微分方程:
∫
π
∫
2n
π
2 0
sin
2n
u d u , ∫ sin
π
仅供参考
2 0
sin
u du =
∫
π
2 0
sin
1 2( n + )−1 2
2 0
2n+1
u du.
1 2× − 1 2
u cos
u du
5
∫
π
2 0
sin
u cos 1 Γ ( n + 1) Γ ( ) 1 1 1 2 = Β ( n + 1, ) = 2 2 2 Γ(n + 3 ) 1 2 Γ ( n + 1) Γ ( ) 1 2 = 2 ( n + 1 )Γ ( n + 1 ) 2 2
1 ⎧ A0 = ⎧ 0 1 ⎪ 3 ⎪ A0 a = 3 ⎪ ⎪ 2 −2 ⎪ ⎨ Al = 0, l ≠ 0,2 ∴ ⎨ A2 = a 3 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ Al = 0, l ≠ 0,2 ⎪ A2 a = 3 ⎩ ⎪ ⎩
1 2 −2 2 u (r ,θ ) = + a r P2 ( x) 3 3 1 2 −2 2 = + a r P2 (cos θ ) 3 3
u |r = a = cos θ 。
2
例5. 写出2次勒让德方程，并写出它的通解。 例6. 计算积分：
∫
1
−1
xPk ( x) Pl ( x)dx = ?
9
例1. 在[-1,1]中将 f ( x) = 2 x + 3 x + 4展开为广义傅立叶级数。
3
仅供参考
解： f ( x ) = ∑ f l Pl ( x ),
其中A、B为任意常数。
其中C、D为任意常数，n为任意整数。
y ( x) = CJν ( x) + DYν ( x)
其中C、D为任意常数，ν为任意实数。
17
★ Bessel函数递推公式的应用 ★ 俩特例
仅供参考
J 0 ' ( x) = − J1 ( x) [ xJ1 ( x)]' = xJ 0 ( x)
特殊函数 Special Function
阎逢旗
中国海洋大学 信息科学与工程学院海洋技术系
仅供参考
第一章 函数用无穷级数展开
★ 前4个伯努利数：
★ 前3个伯努利多项式：
★ 前4个欧勒数： ★ 前3个欧勒多项式：
2
第三章 Γ函数 ∞ −t x −1 Γ ( x ) = e Γ函数的定义： ∫0 t d t ,
P1 ( x ) = x ,
2
仅供参考
已知：P 0 ( x ) = 1,
1 2 2 x − 1 = C 0 + C 2 (3 x − 1) 2 4 1 2 0 C0 = − 由 x , x 项的系数，显然得出 C2 = , 3 3 1 4 1 4 故 cos(2θ ) = − P0 (x) + P2 (x) = − P0 (cosθ ) + P2 (cosθ ) 3 3 3 3
14
方法2： 将x 2 表示成P ( x )的形式：
l
仅供参考
2 1 2 1 1 2 2 x = P2 ( x) + = P2 ( x) + P0 ( x) P2 ( x) = (3x − 1) 3 3 3 3 2 ∞ 2 1 l Al a Pl ( x) = P2 ( x) + P0 ( x) ∑ 3 3 l =0
2
1 1 ⎧ ⎧ 2 ⎪ A0 − 2 A2 a = 0 ⎪ A0 = 3 1 2 −2 2 u (r ,θ ) = + a r P2 ( x) ⎪ ⎪ 3 3 ∴ ⎨ A1 = 0 ⎨ A1a = 0 ⎪ ⎪3 1 2 −2 2 2 = + a r P2 (cos θ ) ⎪ A2 = a −2 ⎪ A2 a 2 = 1 3 3 3 ⎩2 ⎩
1 1 2 3 P0 ( x) = 1 P P ( x ) = ( 3 x − 1 ) P ( x ) = ( 5 x − 3x) ( x ) = x 2 3 1 2 2 7
★ Legendre多项式Pn(x)零点的性质 a)Pn(x)有n个不同的实零点，b)都在[–1,1]内， c)Pn(x) 和Pn-1(x)的零点互相穿插。 ; ★ Legendre多项式的特殊值 P n (1) = 1 ★ Legendre多项式递推公式的应用 ★ Legendre多项式的正交归一性