刚体运动的描述

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刚体的定轴转动是指 刚体上各点都绕同一直线 作圆周运动， 作圆周运动，而直线本身 在空间的位置保持不动的 一种转动。 一种转动。 这条直线称为转轴 转轴。 这条直线称为转轴。 刚体定轴转动的特点： 刚体定轴转动的特点： 1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周 刚体上各个质点都在作圆周运动， 刚体上各个质点都在作圆周运动 运动的半径不一定相等。 运动的半径不一定相等。 2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线， 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线 线上，这个平面我们称为转动平面。 线上，这个平面我们称为转动平面。 3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢
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ω = ω 0 + βt 1） （ ）
1 2 ） θ − θ 0 = ω 0t + βt （2） 2
）、（2） 由（1）、（ ）式消 t得： ）、（ 得
2 2 0
ω = ω + 2 β (θ − θ 0 ) （3） ）
与匀变速直线运动计算公式有对应关系： 与匀变速直线运动计算公式有对应关系：
dθ ∆θ = 角速度 ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt
角速度为角坐标对时间的一次导数。 角速度为角坐标对时间的一次导数。 方向：满足右手定则， 方向：满足右手定则，沿刚体 转动方向右旋大拇指指向。 转动方向右旋大拇指指向。 角速度是矢量， 角速度是矢量，但对于刚体定轴转 动角速度的方向只有两个， 动角速度的方向只有两个，在表示角 速度时只用角速度的正负数值就可表 示角速度的方向，不必用矢量表示。 示角速度的方向，不必用矢量表示。
dθ ω= dt
∆t → 0
取极限； 取极限；
2 ∆ω dω d θ β = lim = = 2 ∆t → 0 ∆ t dt dt
角加速度为角速度对 的一次导数， 时间 t 的一次导数， 或为角坐标对时间 t 的二次导数。 的二次导数。
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单位：弧度/秒2，rad/s2, 单位：弧度 秒 β 方向：角速度变化的方向。 方向：角速度变化的方向。 ω0 角加速度是矢量， 角加速度是矢量，但对于刚体定 轴转动角加速度的方向只有两个， 轴转动角加速度的方向只有两个，在 表示角加速度时只用角加速度的正负 数值就可表示角加速度的方向， 数值就可表示角加速度的方向，不必 用矢量表示。 用矢量表示。 对于刚体的定轴转动问题， 对于刚体的定轴转动问题，我们可用角坐 ω 0 角位移、角速度和角加速度来描述。 标、角位移、角速度和角加速度来描述。
2.圆周运动时加速度与角量的关系 圆周运动时加速度与角量的关系
dv dω aτ = =r = rβ dt dt v2 (rω )2 2 an = = = rω r r
∆s = r∆θ
dv aτ = = rβ dt
v 2 an = = rω r 13
2
v = rω
4.角量与线量的关系 4.角量与线量的关系
∴ v = rω
（2） ）
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3.加速度与角加速度的关系 3.加速度与角加速度的关系 可以将作圆周运动的加速度沿圆周轨 道的切向和法向分解为两个分量。 道的切向和法向分解为两个分量。
o
a
r a n
a τ
r r r ∴ a = aτ τ + an n
2 dv v 切向加速度： a 切向加速度： τ = 法向加速度： 法向加速度：an = dt r
v = v0 + at
1 2 x − x 0 = v0t + at 2
ω = ω 0 + βt
1 2 θ − θ 0 = ω 0t + βt 2 2 2 ω = ω 0 + 2 β (θ − θ 0 )
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v = v + 2 a( x − x 0 )
2 2 0
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、 对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速 度来描写， 度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动 可用位移、速度、加速度来描写。 的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动 的线量、与描写转动的角量之间有什么关系呢？ 的线量、与描写转动的角量之间有什么关系呢？
ω
β
说明： 角坐标、角位移、 说明： 角坐标、角位移、角速度和角 加速度等角量是用来描述定轴转动刚 体的整体运动， 体的整体运动，也可用来描述质点的 曲线运动； 曲线运动； 位矢、位移、速度、 位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述 质点的运动。 质点的运动。
ω
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5.匀变速转动的计算公式 5.匀变速转动的计算公式 1.特点： 1.角加速度为一常量 β= C 特点： 角加速度为一常量 特点 2.定轴转动。 定轴转动。 定轴转动 θ = θ0 3.初始条件： t = 0时 初始条件： 初始条件 2.匀变速转动公式 匀变速转动公式
ω t dω 由 β = 有： ω = βdt 两边积分 ∫ dω = ∫ βdt d ω0 0 dt ω − ω 0 = βt ω = ω 0 + βt （1） ）
ω = ω0
dθ 由 ω = 有： θ = ωdt 两边积分 d dt
∫ dθ = ∫ ωdt = ∫ (ω 0 + βt )dt 1 2 ） θ − θ 0 = ω 0t + βt （2） 2
p′ r
R
∆θ
v1 P
θ
x
∆θ ω= ∆t
转/分，rev/min 分
6
刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。 刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。 单位：弧度 秒 单位：弧度/秒，rad/s,
2π 1rev/min = rad/s 60
平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。 平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。 2.角速度 . 用平均角速度代替变化的角速度； ①.用平均角速度代替变化的角速度； 用平均角速度代替变化的角速度
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角坐标为标量。但可有正负。 角坐标为标量。但可有正负。 规定： 轴逆时针到达P点的矢径 规定：从ox轴逆时针到达 点的矢径，角坐标为正值。 轴逆时针到达 点的矢径，角坐标为正值。 单位：弧度， 单位：弧度，rad 在定轴转动过程中， 在定轴转动过程中，角坐标 是时间的函数： ），叫 是时间的函数：θ= θ（t），叫 ）， 做转动方程。 转动方程。 2.角位移 2.角位移 描写刚体位置变化的物理量。 描写刚体位置变化的物理量。 时刻，质点在P 角坐标为θ t时刻，质点在P点，角坐标为θ， t+Δt时刻，质点到达P 角坐标为θ t+Δt时刻，质点到达P/，角坐标为θ /。 时刻 称为刚体的角位移 角坐标的增量为： θ = θ ′ − θ 称为刚体的角位移 角坐标的增量为： ∆
②.令 令
取极限； ∆t → 0 取极限；
ω
ω
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4.角加速度 4.角加速度
描写角速度变化快慢和方向的物理量。 描写角速度变化快慢和方向的物理量。
∆ω 1.平均角加速度 β = 平均角加速度 ∆t
t+Δt时刻 刚体角速度的增量为： 时刻， t到t+Δt时刻，刚体角速度的增量为：∆ω
刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。 刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。 2.角加速度 角加速度 对变速转动，如何确定角加速度？ 对变速转动，如何确定角加速度？ 用平均角加速度代替变化的角加速度； ①.用平均角加速度代替变化的角加速度； 用平均角加速度代替变化的角加速度 ②.令 令
刚体运动的描述
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一、刚体运动的基本形式
刚体的基本运动可以分为平动和转动， 刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各 种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。 种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。 刚体的平动是指刚体在运 动过程中其中任意两点的连 线始终保持原来的方向（或 线始终保持原来的方向（ 者说， 者说，在运动的各个时刻始 终保持彼此平行）。 终保持彼此平行）。 特点： 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位 移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。 移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而 刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。 刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
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y
r v2
∆θ
p′
r v1
P x
R
θ
角位移的大小表示了刚体在Δt时间内角位置变 角位移的大小表示了刚体在Δt时间内角位置变 Δt r 化的多少。 v2 化的多少。
y
单位：弧度， 单位：弧度，rad 3.角速度 3.角速度 描写刚体转动快慢和方向的物理量。 描写刚体转动快慢和方向的物理量。 1.平均角速度 平均角速度
3
根据定轴转动刚体的特点， 根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚 体的定轴转动较为方便， 体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内 从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。 从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。
二、定轴转动刚体的角量描述
1.角坐标 1.角坐标 描写刚体转动位置的物理量。 描写刚体转动位置的物理量。
o
θ
P
x
过P作垂直于转轴的横截 作垂直于转轴的横截 转动平面）， ），转动平面 面（转动平面），转动平面 与转轴的交点为O。 与转轴的交点为 。 在转动平面内， 点作一极轴， 在转动平面内，过O点作一极轴，设极轴的正方 点作一极轴 向是水平向右。 向是水平向右。 连接OP，则OP与极轴之间的夹角为θ。 与极轴之间的夹角为θ 连接 ， 与极轴之间的夹角为 θ角称为角坐标（或角位置）。 角称为角坐标（或角位置） 角坐标
三、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度
1.位移与角位移之间的关系 1.位移与角位移之间的关系 刚体转过 ∆θ 刚体上的一点路程
∆s = r∆θ
∆s
o
p′
∆θ
∆s
r
（1） ）
p
x
2.速度与角速度的关系 2.速度与角速度的关系 将∆s
= r ∆ θ 式两边同除 ∆ t取极限 ∆s ∆θ ∆θ dθ lim = lim r = r lim =r ∆t → 0 ∆ t ∆t → 0 ∆t → 0 ∆ t ∆t dt