x32测地曲率测地线

利用 Γk ij 的计算公式, 进一步计算得到 1 du1 du2 dθ kg = √ −E2 + G1 + ds ds ds 2 EG cos θ sin θ dθ 1 −E2 √ + G1 √ + = √ ds 2 EG E G dθ 1 ∂ ln E 1 ∂ ln G = − √ cos θ + √ sin θ. ds 2 G ∂v 2 E ∂u 所以测地曲率 kg 也是曲面的内蕴几何量. 【例 1】 对正交参数曲线网, 求参数曲线的测地曲率 kgu 与 kgv , 并证明 (1) 此时 Liouville 公式可写成 dθ + kgu cos θ + kgv sin θ. ds √ √ 1 ∂ ∂ (2) 曲面的Gauss曲率 K = √EG ∂v (kgu E ) − ∂u (kgv G) . kg = 【证明】 线, θ = 0, 则 当坐标曲线构成正交网时, 由计算测地曲率的 Liouville 公式, 对 u -曲 1 ∂ ln E kgu = − √ , 2 G ∂v 133
kβ =
注意上式右端第二项是 k β 在 P 点的曲面法向量 n 上的投影向量, 这个向量正好是曲 线 C 在 P 点的法曲率向量 kn n , 而 kn 正是曲线 C 在 P 点处的法曲率. 上式右端第一项是 k β 在 P 点的切平面 TP 上的投影向量, 称为曲线 C 在 P 点的测 地曲率向量, 记作 τ , 即 τ = 这时 k β = τ + kn n. 定理 2.1 证明 (2.2)
u
v
√ √ ∂ 1 ∂ (kgu E ) − (kgv G) . ∂u EG ∂v
这正是平面曲线的相对曲率. 可见曲面上曲线的测地曲率是平面曲线相对曲率在曲 面上的推广. 熟知, 平面上相对曲率为零的曲线是直线, 因此测地线可看作平面上直 线的概念在曲面上的推广. (SL2) 测地线的存在性 由测地曲率向量的公式 τ = kg (n × α) 及(2.1)式知 (2.9)
√ 1 Ev ( E )v 1 ∂ ln E =− √ =−√ kgu = − √ , 2 G ∂v 2 G E EG √ 1 ∂ ln G 1 Gu ( G)u kgv = √ = √ = √ , 2 E ∂u 2 E G EG √ ( G)u √ E √ ( E )v √ G
将其代入 Gauss 方程 1 K=√ EG 得到 K=√ 3.2.3 测地 线 熟知, 平面上, 直线具有如下基本性质: (SL1) 直线的相对曲率恒为零; (SL2) 由一点和一方向, 惟一确定一条直线; (SL3) 平面上, 两点之间有惟一一条直线连结; (SL4) 平面上, 两点之间直线段距离最短; (SL5) 平面上, 沿直线, 切向量是平行的. 下面我们将找出平面上直线在曲面上的对应物—测地线, 进而研究曲面上的测地 线是否也具有类似平面上直线上的上述性质. (SL1) 曲面 S 上测地曲率恒等于 0 的曲线 C , 称为曲面 S 上的 测地线. 当曲面是平面时, 取直角坐标系, 则 E = G = 1, 这时计算测地曲率的Liouville公 式即为 kg = dθ , ds 134 +
且 θ 表示从 r 1 到 α 的正向的夹角, 则 α = cos θ e1 + sin θ e2 , 另一方面, 因 α= du1 du2 √ dr du1 √ du2 = r1 + r2 = E e1 + G e2 , ds ds ds ds ds (2.6) (2.5)
于是比较上面(2.5), (2.6)两式得 √ E du1 = cos θ, ds √ G du2 = sin θ. ds (2.7)
的一个定方向 定理 2.2 理1 ).
du1 ds
从曲面 S 上任意点出发, 沿着任何方向 (du1 , du2 ) , 总能引出唯一一条
0
:
du2 ds
0
, 因此我们得到
测地线(当然这条测地线仅仅定义在出发点的一个邻域内, 这是一个局部存在性定
特别地, 若曲面 S 的坐标网正交, 那么测地线的微分方程也可以用 Liouville 公式 来表示 dθ = ds
旋转轴时是测地线. 【证明】
绕 z 轴旋转一周后得到的
旋转曲面的方程为 r (u, v ) = {f (v ) cos u, f (v ) sin u, g (v )}, 136
则熟知 I = f 2 du2 + [(f )2 + (g )2 ]dv 2 . 显然旋转曲面的 u -曲线为纬线, v -曲线为经线, 或称为子午线, 因 F = 0, 所以旋 转曲面的这两族参数曲线是正交的, 由正交网的测地曲率的 Liouville 公式, 对 v -参数 曲线 1 ∂ ln G kgv = √ = 0, 2 E ∂u
du
E G 1 2
tan θ −
1 ∂ ln G 2 ∂u
E ∂ ln E G ∂v
(2.12) tan θ
这是以 v (u), θ(u) 为因变量, 以 u 为自变量的一阶常微分方程组, 它对于每个初始条 件 v (u0 ) = v0 , (表示曲面上一给定点) θ(u ) = θ (表示曲面上一方向) 0 0
这说明子午线是测地线. 同样对 u -参数曲线 1 ∂ ln E kgu = − √ =− 2 G ∂v f f (f )2 + (g )2 .
由此可知纬线圆成为测地线当且仅当 f = 0, 换句话说即过这些纬圆上任何点的母 线在该点的切线与旋转轴平行. 对于旋转曲面上测地线的进一步研究, 参考《曲线与曲面的微分几何》P251−254 . 【例 4】 求平面上的测地线. 【解】 由正交网时测地线的微分方程, 平面 I = du2 + dv 2 上的测地线的微分方 程为 dv = tan θ du dθ = 0
132
此时 n × α = cos θ e2 − sin θ e1 , dα de1 de2 dθ = cos θ + sin θ + (− sin θ e1 + cos θ e2 ) , ds ds ds ds 因此得到 kg = (n × α) · dα de1 dθ = e2 · + ds ds ds r1 e2 dr 1 dθ d dθ √ =√ + = e2 + ds ds ds E E ds j j e2 du du dθ =√ Γ1 r 1 + Γ2 r2 + 1j 1j ds ds ds E e2 duj √ dθ = √ Γ2 G e2 + 1j ds ds E = G E Γ2 11 du1 du2 + Γ2 12 ds ds + dθ . ds
(2.8)
这就是计算测地曲率的 Liouville 公式. 公式中只涉及曲面的第一类基本量 E, F, G,
而对 v -曲线, θ = π 2, 则
1 ∂ ln G kgv = √ . 2 E ∂u
(1) 将上面得到的 kgu 与 kgv 代入 Liouville 公式便得 kg = (2) 由于 dθ + kgu cos θ + kgv sin θ. ds
131
Meusnier 定理后知道, τ 亦为 C 关于柱面 Σ 的法曲率向量, 但是曲线 C 又可看成柱 面上过 P 点相应于方向 α 的法截线. 因此 τ 就是 C 的曲率向量. 现在定义测地曲率. 对(2.2)式两边关于 α 求内积得到 τ · α = 0, 而 τ 又在切平面 TP 上, 故 τ 与 n 也正交, 因此 τ 记 τ = kg (n × α), 称 kg 为曲线 C 在 P 点处的 测地曲率, 于是 |kg | = |τ |, 且
令 k 表示曲线 C 在 P 点的曲率, β 表示曲线 C 在 P 点的主法线单位向量. 由 Frenet 公式知 道 C 的曲率向量为 d dr ds ds j d2 ui dui duj k du = r + Γ r + b n i ij k ij ds2 ds ds ds i j d2 uk dui duj k du du = + Γ r + b n. ij k ij ds2 ds ds ds ds
§3.2 测地曲率 测地线
3.2.1 测地 曲率向 量 测地曲率
设曲面 S 的方程为 r = r (u1 , u2 ), C 是 S 上过 P (u1 , u2 ) 的一条曲线, 参数方程是 ui = ui (s) , 其中 s 是弧长参数. 曲线 C 的切向量为 α= dr dui = ri , ds ds
i j d2 uk k du du + Γ ij ds2 ds ds
rkБайду номын сангаас.
(2.1)
曲线 C 在 P 点的测地曲率向量 τ , 即为 C 在切平面 TP 上的投影曲线
C 在 P 点的曲率向量. 将曲线 C 投影到切平面 TP 上, 得到 TP 上的一条曲线 C , 这时投影直线就 织成了一个柱面 Σ (如图2.1). 曲线 C 和 C 都是 Σ 上过 P 点的曲线, 它在 P 点的切向 量都是 α , 而且 τ 可看成是 C 在 P 点关于柱面 Σ 的法曲率向量, 所以对柱面 Σ 运用
2 2 k 2 = kg + kn .
(n × α),
(2.3)
(2.4)
3.2.2 计算 测地曲 率的 Liouville 公 式 为简单起见, 选取曲面 S 上的正交网作为参数曲线网. 由(2.3)式 kg = (n × α) · τ dα − kn n) ds dα = (n × α) · . ds = (n × α) · ( 令 r1 e1 = √ , E r2 e2 = √ , G
0
(2.10)
则 在 s = s0 的 一 个 适 当 小 邻 域 内, 方 程 组(2.9)有 满 足 初 始 条 件(2.10)的 唯 一 解 ui = ui (s), i = 1, 2 . 因此把它作为参数方程, 就得到曲面上的一条测地线.
2 注意到初始条件(2.10)的几何意义就是在曲面上给定一点 P0 (u1 0 , u0 ) 及在点 P0 处
0
1
测地线能否延伸到无穷远, 涉及到曲面的完备性. 曲面称为是完备的, 如果它的每一条测地线都
可以无限延伸. Hopf和Rinow的著名定理告诉我们, 曲面是完备的, 当且仅当它作为度量空间是完 备的.
135
根据常微分方程组的理论, 方程组(2.11)有满足该初始条件的唯一解. 即 S 上过给定 点及该点处的一个方向有唯一一条测地线. 有时我们把(2.11)式改写为 dv = du dθ =
j i d2 uk k du du = 0, (k = 1, 2) + Γ ij ds2 ds ds 因此, 曲面上测地线的存在性等价于微分方程组(2.9)的解的存在性.
kg = 0 ⇐⇒
方程组(2.9)是以 u1 (s), u2 (s) 为因变量, 以 s 为自变量的二阶常微分方程组, 由常 微分方程的理论知道, 如果我们给定初始条件 ui (s0 ) = ui 0, dui (s0 ) = ds dui ds , i = 1, 2
ds dv ds du 1 ∂ ln E √ ∂v 2 G cos θ √ E sin √ θ G
cos θ −
1 ∂ ln G √ ∂u 2 E
sin θ (2.11)
= =
这是以 u(s), v (s), θ(s) 为因变量, 以 s 为自变量的一阶常微分方程组. 给定初始条件 u = u0 , v = v0 (表示曲面上一给定点) θ = θ (表示曲面上一方向)
有唯一解 v = v (u), 它确定了曲面上唯一一条测地线. 【例 2】 试确定球面上的测地线. 【解】 kn =
1 ±R ,
θ = θ(u),
设 C 是半径为 R 的球面上的大圆(弧), 则熟知 C 的曲率 k =
1 R,
法曲率
于是 C 的测地曲率
2 = 0. kg = ± k 2 − kn
从而球面上的大圆曲线(段)是测地线. 另一方面, 对于球面上任一给定点及这点的一个单位切向量, 都可引一条大圆弧, 使得这个大圆弧通过这点及在这点的大圆弧的单位切向量就是给定的单位向量, 而 这大圆弧就是测地线, 由测地线的唯一性知球面上所有测地线就是大圆弧全体. 【例 3】 证明旋转曲面的子午线是测地线, 而平行圆仅当子午线的切线平行于 x = f (v ) 设 xOz 平面中的一条曲线 C : z = g (v )