函数的几种运算形式在物理中的应用 (数学物理整合)

函数的几种运算形式在物理中的应用
金贺浩
（太和第二中学 安徽 太和 236600）
一、函数运算的方式 主要有： 1、换元法；
2、求导函数：变化率（斜率）——微分求导；
3、求原函数（不定积分、定积分）微元累加——积分求和；
4、复合函数（多元函数）；
5、降次（幂）。

二、公式推导（函数运算）法解题的好处
1、减少不必要的运算，因为某些中间变量或隐变量或参变量可以在推导的过程中可以消掉或约掉；
2、可以方便地研究所求量与各变量的关系，如正反比关系，与谁无关等；
3、很方便的进行验算，如从单位上看或特殊值法（令某量为零）等；
4、可以循环利用公式，可以直接带入如不同组合的值求结果，不必“从头再来、前功尽弃”；
5、画出函数图像，就可方便的根据导函数得到增减性、拐点、极值（极值点）、渐近线等，以此为基础——“新的平台”分析、研究函数，从中得出科学规律、定律。

6、在大学里，物理通常要利用泰勒（变化率——微分求导）、傅里叶级数（求和——累加求积分）、洛朗展开等数学工具，化简函数、近似取值、甚至能预言“未知部分的趋势规律”，甚至“一不小心”成就“重大发现发明”。

7、利用物理学的研究方法和思想等搞数学建模、科学研究等创新。

特别的，量纲法能消去部分单位，剩下的是不重复的更能反映物理本质，常常能“推导”新公式，就像科
3、质点由A 点从静止出发沿直线AB 运动，先作加速度为1a 的匀加速运动，后作加速度为2a 的匀减速运动，到B 点时恰好停止。

若AB 长为s ，则质点走完AB 的最短时间是
A ．2
1a a s
t +=
B ．1211)(2a a a s a t +=
C ．2211)(2a a a s a t +=
D ．2121)(2a a s a a t +=
三、例题
解析：从单位上看，排除A;从等价性（平权）看，B 和C 可排除。

抓住相等量和不变量列方程组，用函数法讨论极值。

加速和减速阶段对应的物理量分别是1s 、1t 、1a 、与2s 、2t 、2a ，中间匀速直线运动的速度与时间分别是3s 、3t 、3a ，满足321s s s s ++=、321t t t t ++=，， 两阶段临界处的共同点是速度相等，2211t a t a v ==.
符合公式列举如下：121211122121a v vt t a s ===、2222
22222121a v vt t a s ===、
2
2
12213322-)(-a v a v s s s s vt s -=+== )2(212121312312321t t t v vt vt vt s s s s ++=++=
++=,解得v s t 2=.2
13322-a v a v v s v s t -
== 321t t t t ++=，即
121212-2222v v s v v s v v t a a v a a v a a =
++-=++，求导212
11
022dt s dv v a a =-++=，
2121122s v a a =+212122a a s v a a =+12122a a s v a a =+
联立
122s v v v a a =+、1212()2v a a s v a a +=
，解得12
122sa a v a a =+，2
121)(22a a a a s v s t +==. 证法一：'
2)'('222
2221aa v a a a v a v x x x +=+=+= 解得a a x aa v +=
''2，代入vt t t v x 21)(2112=+=，即得222(')
'2''x x x a a t v
a a aa x
a a
+===
+ 证法二：')'('21aa v a a a v a v t t t +=
+=+=，解得)
'('a a t
aa v +=， 代入)'('21211a a t aa t vt x x x +==
+=，即得222(')
'2''x
x x a a t v
a a aa x
a a
+==
=
+. 解：倾斜角度的变化，位移、加速度都在变化，存在不变量d ，不变量尽可能把变量和不变量联系起
来，或通过某一种（或几种）相同量——参变量把变量转化为不变量，这样就能尽量减少未知量，建立函
数关系。

根据图示可得，
θθsin sin g m
mg m F a ===合(过杆的末端d 作一条水平线，构造（想象）出“斜面”，加速度可以
直接用上面的结论)①，θsin d x =②，
由匀变速直线运动规律2
2
1at x =
③，联立①②③，解得 g
d
g d a x t 2sin sin 22=
==
θθ. 可知，下落时间与倾斜角度、质量、密度等无关，选择D ．t 1=、t 2、=t 3。

如同沙堆的最大倾角与质量、
体积等数量无关，唯一取决于静摩擦因数。

检验：当2
π
θ=时，是做自由落体运动，22
1gt d =
. 触类旁通
试试：小滑环从a 沿不同路径达到圆上所需时间相同吗？（旋转180度即π）
当0=θ时，是做简谐运动，振动周期的g
d T 2=. 3.雨水怎样最快落下
解：倾斜角度的变化，位移、加速度都在变化，存在不变量——底边d 2，我们要把不变量把变量和不变量联系起来，即通过相同量——参变量倾斜角θ把变量位移、加速度转化为不变量和参变量的某种组合（函数关系式），这样就能尽量减少未知量，方便推导公式以建立函数关系。

根据图示可得，θθsin sin g m mg m F a ===
合①，θ
cos d
x =②， 由匀变速直线运动规律2
2
1at x =
③，联立代入①②③，解得
.
2sin 2
2sin 2
1
2sin cos 2sin cos 2
2θ
θθ
θθθg d
g d
g d g d a x t ==
===
当2
2πθ=时，即4
π
θ=，t 有最小值g
d t 4min =
. 1.根据动能定理，得212c qU mv =.根据电场的定义，得s U
E d
=或s U Ed =. 由牛顿第二定律F
a m
=，得s qU qE a m md ==（或qE ma =，s qU qE a m md ==）.由类平抛运动的规律，得
2
12
x l vt
y at ==⎧⎪
⎨=⎪⎩，联立解得22c
c l l m t l v U q qU m
===，22
211()22222s s s c c c qU qU U l m ml y l md qU md qU U d === 可见22s c U l y U d =与q m 、无关，即到达同一点，带入00m q 、和0042m q 、，得11
2H c m t l
U q =，42
00
00422He c c
m m t l
l
U q q U ==，但不是同时到达，与质谱仪不同. 2.如图所示，三角形金属架abc 与磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直，030abc ∠=，一根直金属棒从b 点开始沿bc 方向一速度v 做匀速运动，运动过
程中MN 始终垂直于bc 且接触良好，试求回路中感应电动势E 水时间t 变化的函数式
解：匀速运动x tv =，几何关系tan 30y
x
=，得tan30y x =.
解法一：2120tan 30tan 30B S S B
E E E Blv B vt v B v t t t
∆∆=+=+=+=⋅⋅=⋅⋅∆∆ 解法二（导函数法）：综合,22
1113tan 3022212
s xy vt vt v t ===
，对Bs Φ=求导得，2
3'6
d E Bv t dt Φ==Φ=.
试题改为“导体棒向右作从静止开始的匀加速直线运动，求回路中感应电动势E 随时间t 变
化的函数式。

2
12x at =
.小滑环达到的时间相同
如图所示，ad bd cd 、、是竖直面内三根固定的光滑细杆，a b c d 、、、 位于同一圆周上， a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。

每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a b c 、、处释放（初速为0），用123t t t 、、依次表示各滑环到达d 所用的时间，则 A ． 123 t t t << B ．123 t t t >> C ． 312t t t >> D ．123t t t ==
解：倾斜角度的变化，位移、加速度都在变化，但d 是不变量，不变量尽可能把变量和不变量联系起来，或通过某一种（或几种）相同量——参变量把变量转化为不变量，这样就能尽量减少未知量，建立函数关系。

根据图示可得，
θθ
sin sin g m
mg m F a ===
合(过杆的末端d 作一条水平线，构造（想象）出“斜面”
，加速度可以直接用上面的结论)①，θsin d x =②，
由匀变速直线运动规律2
21at x =③，联立①②③，解得g
d g d a x t 2sin sin 22=
==θθ. 可知，123t t t ==，下落时间与倾斜角度、质量、密度等无关，选择D ．，如同沙堆的最大倾角与质量、体积等数量无关，唯一取决于静摩擦因数。

检验：当2
π
θ=时，是做自由落体运动，2
2
1gt d =
，结果相同
.
触类旁通
试试：小滑环从a 沿不同路径达到圆上所需时间相同吗？（旋转180度即π） 3.雨水怎样最快落下
解：假设雨滴是从静止开始从屋顶开始无摩擦力地滑到低端，采用换元法。

倾斜角度的变化，位移、加速度都在变化，但有不变量——底边d 2，我们要把不变量把变量和不变量联系起来，即通过相同量——参变量（中间变量）倾斜角θ把变量位移、加速度转化为不变量和参变量的某种组合（函数关系式），这样就能尽量减少未知量，方便推导公式以建立函数表达式。

根据图示可得，θθsin sin g m mg m F a ===
合① θ
cos d
x =② 由匀变速直线运动规律2
2
1at x =③，联立代入①②③，解得
2222cos 2.1sin cos sin sin 2sin 22
d x d d d t a g g g g θθθθθθ=====
其中，x a 、都是中间变量，而它们都是倾斜角度θ（公共变量——桥梁）的函数，通过换元建立用“基层”变量θ和不变量d 的关系，即推导函数关系式。

当2
2π
θ=时，即4
π
θ=，t 有最小值g
d t 4min =
. 3．（2012江苏卷）．一充电后的平行板电容器保持两板间的正对面积、间距和电荷量不变，在两板间插入一电介质，其电容C 和两极板间的电势差U 的变化情况是 A ．C 和U 均增大 B ．C 增大，U 减小 C ．C 减小，U 增大 D ．C 和U 均减小 解析根据kd
S
C πε4=
，电容C 增大，根据C Q U =,U 减小，B 正确。

4.上题改为“一充电后的平行板电容器保持两板间的正对面积和电荷量不变，拉大两极板的间距，
其电容C 、两极板间的电势差U 和电场强度的变化情况”是
A ．C 和U 均增大
B ．
C 增大，U 减小 C ．C 减小，U 增大
D ．C 和U 均减小 解：电容器两端电压不变，错开使极板正对面积减小，它的电压还有其他物理量会怎么变化 因为没有充放电，Q 不变，d 不变，当S ↓时，4S C kd
επ↓
↓=
；当Q C U ↓=↑时，Q U C ↑=↓；
U Q
E d C d
↑=
=↓U E d ↑=↑. 点播：换元法，把所有量化为变量d （根本变量）的函数； 抓住不变量Q 与变量d ，由kd S
C πε4=
与C Q U =，得S kQ d kd
S Q Cd Q d U E εππε44====.
结论：E 与d 无关。

7.如图所示，固定于水平面上的金属架CDEF 处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN 沿框架以速度v 向右做匀速运动。

当0t =时，磁感应强度为0B .此时MN 到达的位置恰好使与MDEN 构成一个边长为l 的正方形。

为使MN 棒中不产生感应电流，从0t =开始，磁感应强度B 应该随时间t 如何变化？请推导这种情况下B 与t 的关系式。

解：由数学全微分法则，得B S S B S B B
B S Blv S t t t t t
ε∆∆∆∆∆=
+=+=+∆∆∆∆∆，得B Blv k t S ∆==-∆.当0t =时，0B B =，则由斜截式得B 与t 的关系式是0B B kt =+或0-Blv
B B t S
=. 一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图6所示，
小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？最大值是多大？
解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的任意C 时，重力的
功率等于cos sin p mgv mgv αθ==①,由公式可得功率最大时，因为mg 不变，cos v θ
最大，即速度沿重力方向的分量最大，由机械能守恒或动能定理得2
1cos 2
mgl mv θ=
② 解法一：则合力必定沿着与重力垂直的方向，或合力在竖直方向的分量是0，即cos T F mg θ=（或
cos 0T F mg θ-=）③
则有向心力公式2
n v F m l =④
④与②联立，得2
2cos n v F m mg l
θ==⑤ 根据矢量合成法则，22(1cos )sin cos cos cos cos cos n T mg F F mg mg mg mg θθ
θθθθθ
-=-=-==⑥ 联立⑤⑥，得2sin 2cos cos mg
mg θ
θθ
=，即22sin 2cos θθ=，结合22sin cos 1θθ+=，得 22sin 3θ=，21cos 3θ=，2
sin 3
θ=.
解法二（直接求导法）：联立①②，解得2cos v gl θ=③，带入功率公式cos 2sin p mg gl θθ=④ 求导得cos '(sin )2sin cos 202sin p mg gl mg gl θ
θθθθ
=-+=⑤，
可得cos cos sin sin 2sin θ
θ
θθθ
=，即222sin cos θθ=.
接解：又22
sin cos 1θθ+=⑥解出2
2sin 3θ=
，2
1cos 3θ=，26sin 33
θ==. 解法三（利用不等式求极值）： 小球从水平位置到图中C
位置时，机械能守恒有：22
1
cos mv mgL =
θ② 解①②可得：θθ2
sin cos 2gL mg P =,令
2y cos sin θθ=
2
2422211
cos sin (2cos sin )(2cos sin sin )
22
y θθθθθθθ===⋅⋅
2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又
根据基本不等式abc c b a 3≥++，可知：当且仅当
222cos sin θθ=，y 有最大值
由2
22cos
1cos θθ=-得cos 3/3θ=.结论：当
26
sin 33
θ==
时，y 有最大值，此时功率
26cos 2sin 3
p mg gl mg gl
θθ==.
解法三（换元求导法）： 联立①②，解得
cos 2sin p mg gl θθ
=③
2222cos 2sin 2sin cos p mg gl mg l θθθθ=⋅=④
令sin x θ=，则22cos 1x θ=-.
求导，得22222()'2(02)1(1)2(13)p mg l x x x mg l x ⎡⎤=-+⋅-=-⎣⎦
当2130x -=取最大值时，21/3x =,解得3/3x =.。