三角形面积公式的坐标式及应用

三角形面积公式122112

S x y x y =-在解题中的应用

湖南省慈利县第一中学（427200） 卢伯友

本文介绍顶点为1122(,),(,),(0,0)A x y B x y O ，的三角形的面积公式，并说明它在解题中的应用。

公式 设1122(,),(,)A x y B x y ，(0,0)O ，则AOB ∆的面积12211

2

S x y x y =

- （1）

证明：直线AB 的两点式方程为122122()()()()y y x x x x y y --=--，即

12121221()()0y y x x x y x y x y ---+-=，点O 到直线AB 的距离为

d =

1221

x y x y AB

-=

所以，AOB ∆的面积122111

22

S AB d x y x y =

=-。 我们把上面的公式（1）叫做三角形面积公式的坐标式。它结构简单，形式优美，好记

好用。用它解决近几年高考试题中与三角形面积有关的某些解析几何问题，能起到化繁为简，化能为易的作用。下面通过三个例题谈公式的应用。

例1、（2011年山东理科第22题）已知直线l 与椭圆:C 22

132

x y +=交于P ()11,x y ，Q ()22,x y 两不同点，且OPQ ∆

的面积S =

,其中O 为坐标原点。 （Ⅰ）证明2212x x +和22

12y y +均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ,求OM PQ ⋅的最大值；

（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点,,D E G ,

使得2

ODG OEG ODE S S S ∆∆∆===

若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由。

分析：

设11,x y αα=

；22,x y ββ=。代人公式（1）得

：12211sin sin cos 2S x y x y αβαβ=

-=-，又因

为S =，所以，cos sin sin cos 1αβαβ-=，即，sin()1βα-=。所以，2

k π

βαπ-=

+， ()k Z ∈

故2222123cos 3cos x x αβ+=+22

3[cos cos ()]32

k π

ααπ=++

+=。

同理，22

122y y +=

所以2212x x +和22

12y y +均为定值。（Ⅱ）（Ⅲ）略

评析：这里应用三角形面积公式的坐标式及用椭圆的参数方程形式表示椭圆上的点的坐标，将已知条件转化为三角函数求值问题，避免了复杂的运算。使解题过程清晰流畅，令人赏心悦目，流连忘返。

例2（2007年陕西理科第21题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为3

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

，求AOB ∆面积的最大值

分析：（Ⅰ）2

213

x y +=（过程略）。 （Ⅱ）设1122A(x ,),(,)y B x y ，由公式（1）知AOB ∆的面积12211

2

S x y x y =

-

221

2113

(3x y y y =≤+=

由柯西不等式取等号的条件，可得AOB ∆面积的最大值为

2

评析：三角形面积公式的坐标式和柯西不等式联手，大大简化了计算过程和解题长度。

例3（2009年陕西理科第21题）已知双曲线C 的方程为22

221(0,0)y x a b a b

-=>>离心

率2e =

（Ⅰ）求双曲线C 的方程

（Ⅱ）P 是双曲线C 上一点，A 、B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP PB λ=,1[,2]3

λ∈，求AOB ∆的面积的取值范围

分析：（Ⅰ）2

214

y x -=（过程略） （Ⅱ）由第（Ⅰ）问知双曲线C 的两条渐近线方程为2y x =±，设11(,2)A x x 22(,2)B x x -

12(0,0)x x >< 由公式（Ⅰ）知1212121

2222

AOB S x x x x x x ∆=

--=-

又由AP PB λ=得P 的坐标，为

1212

22(,)11x x x x λλλλ+-++，将P 点的坐标代入双曲线方程，化简得212(1)4x x λλ+=-

2(1)11

()122AOB

S λλλλ

∆+==++

记2

111()[,2]'()12

32

S S λλλλλ

λ

=∈⇒=1

1

（+）+1，（-

）

'()0S λ=得1λ＝，又(1)2S = 18()33S = 9

(2)4S =

当1λ=时，()S λ取最小值2，当13λ=时，()S λ取最大值8

3

AOB ∴∆面积的取值范围是8

[2,]3

评析：在寻找目标函数()S λ的过程中，以坐标为桥梁，将AOB ∆的面积表示为122x x -。这里，恰当设出动点,A B 的坐标并由AP PB λ=将P 点的坐标用,A B 两点的坐标表示是解题的基础。

下面，提供一道练习供同学们思考：

（2006年上海高考题）已知椭圆的方程为2214x y +=，点A 的坐标是1(1,)2

，过原点O

的直线交椭圆于,B C 两点，求ABC ∆面积的最大值。）