解析几何说题—2016年全国卷20题

3 1
.故四边形
M
P
NQ
的面积
S 1 | MN || PQ | 12 2
1
4k
1 2
3
.
可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ面积的取值范围为
[12,8 3) .
当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x 1,| MN | 3,| PQ| 8 ,四
边形 MPNQ的面积为 12.
综上,四边形 MPNQ面积的取值范围为[12,8 3) .
NB |
2
3
cos
从而| MN
|| MB | |
NB |
12
4 cos2
.
解题过程
法三：
此时直线 PQ 的方程为
x cos y sin cos ，
于是可得四边形的面积
S 1 | MN | | PQ | 24
2
4 cos2
所以,四边形 MPNQ面积的取值范围为[12,8 3) .
题目价值
固本思源 提升素养
2016全国卷Ⅰ(理)第20题
题目来源
说
命题立意
题
题目分析
流
解题过程
程
价值与拓展
教学启示
题目来源
2016年全国卷Ⅰ理20
20.（本小题满分 12 分）设圆 x2 y2 2x 15 0 的圆心 为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明 EA EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点, 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.
所以,四边形 MPNQ面积的取值范围为[12,8 3) .
解题过程
法三：
设 MBA ( (0, )) ，则在 MAB中，由
余弦定理得
| MA |2 | MB |2 | AB |2 2 | MB | | AB | cos
结合| MA | | MB | 4可解得
|
MB |
3
2 cos
.类似的，可求 |
题目分析
3、易错点：一是第一问中曲线和方程的关系找不准， 不能排除一些不符合题意的点；二是设直线方程时不 考虑斜率不存在的情况；三是弦长公式记不住.
法一：
解题过程
（Ⅰ）因为| AD || AC |, EB// AC ,故
EBD ACD ADC ,
所以| EB || ED |,故| EA| | EB || EA| | ED || AD | .
8k 2 4k 2
3
,
x1x2
4k 2 12 4k 2 3
.
所以| MN |
1
k2
|
x1
x2
|
12(k 2 1) 4k 2 3
.
过点
B(1,0)
且与
l
垂直的直线
m
：
y
1 k
(x
1)
法一：
解题过程
2
A 到 m 的距离为 k 2 1 ,所以
| PQ | 2
42 (
2 )2 4 k2 1
4k 2 k2
方程为：
x2 y2 （1 y 0） 43
法一：
解题过程
（Ⅱ）当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为
y k(x 1)(k 0) , M (x1, y1) , N (x2, y2 ) .
y k(x 1)
由
x2 4
y2 3
1得
(4k 2
3) x 2
8k
2x
4k
2
12
0.
则
x1
x2
解题过程
法二：
（Ⅱ）设 l 的方程为 x my 1, M (x1, y1) , N(x2, y2) .
x my 1
由
x2 4
பைடு நூலகம்
y2 3
1得
(3m2
4)
y2
6my
9
0
.
则
y1
y2
6m 3m2
4
,
y1 y2
9 3m2
4
.
所以| MN |
1 m2
12 1 m2 3m2 4
12(m2 1)
EB AC
| |
| |
ED AD
| |
,又
|
AC
||
AD
|
所以| EB || ED |,故| EA| | EB || EA| | ED || AD | .
又圆 A 的标准方程为 (x 1)2 y2 16 ,从而 | AD | 4 ,所以
| EA| | EB | 4 .
由题设得 A(1,0) , B(1,0) ,| AB| 2 ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹
1、技巧
第二问的解答中可以先考虑两个特殊位置，即直线l和x 轴垂直以及平行的时候，以此提供解题的方向，体现由特殊 到一般的思想.
题目来源
命题立意
1、考纲：了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用；掌握椭圆的定义、几何 图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、 离心率)；了解曲线与方程的对应关系；理解数形结合 的思想；了解圆锥曲线的简单应用. 2、知识：圆的定义、椭圆的定义以及一些平行几何关 系、弦长公式的运用、四边形的面积问题. 3、能力及思想方法：数形结合、基本运算求解，极限 思想以及特殊到一般的思想.
题目分析
1、解题思路的形成过程：由|EA|+|EB|为定值，猜测 轨迹为椭圆，其中隐含条件为半径为定值，所以往半 径靠拢，求出a和c，写出椭圆的标准方程.解答本题的 关键点为椭圆的定义，注意(-1,0)和(1,0)两个关键点 的提示作用. 2、难点：一是第二问中能否把四边形的面积转化为对 角线乘积的一半；二是求面积的取值范围能否转化成 函数的最值问题.
又圆 A 的标准方程为 (x 1)2 y2 16 ,从而 | AD | 4 ,所以
| EA| | EB | 4 .
由题设得 A(1,0) , B(1,0) ,| AB| 2 ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹
方程为：
x2 y2 （1 y 0） 43
法二：
解题过程
（Ⅰ）因为
EB//
AC
,故
| |
题目来源
2013年全国卷Ⅰ理20
20（. 本小题满分 12 分）已知圆 M：(x 1)2 y2 1，
圆 N： (x 1)2 y2 9 .动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内
切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. （I）求 C 的方程； （II）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与圆 C 交 于 A、B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.
3m2 4 .
解题过程
法二：
（Ⅱ）过点
B(1,0)
且与
l
垂直的直线
n
：
x
y m
1,
2|m|
A 到的 n 距离为 m2 1 ,所以
| PQ | 2
42 (
2 | m | )2 4 m2 1
3m2 m2
4 1
.故四边形
MP
NQ
的面积
S 1 | MN || PQ | 24 2
1
3
1 m2 1
.