导数的几何意义

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问题: 如图,当点 P ( x , f ( x ))( n 1,2,3,4) 沿着曲线 f (x) 趋近 n n n 于点 P( x0 , f ( x0 )) 时, 割线PPn的变化趋势是什么?
y=f(x)
当点 Pn 趋近于点 P 时, 割线PPn 趋近于确定的位置, 这个确定的直 线 PT 称为过点 P 的切线.
学习目标
• 1、记住导数的几何意义
• 2、根据导数的几何意义，会求曲线上 某点处的切线方程
学习指导
• 请同学们用8分钟时间，学习课本第76~78页例3以 上的内容，注意：
• 1、通过课本77页的观察，体会割线 PPn 的 变化趋势. • 2、会求切线的斜率.
• 3、例2“以直代曲”解决问题，以直线的斜 率 刻画函数的单调性.
结论: 函数f(x)在点x0处的导数f’(x0) 就是函数图像在该点处的切线的 斜率.
即 f’(x0)=k切线
f ( x0 x) f ( x0 ) y k切线 f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
'
• 此处切线的定义与以前学过的切线定 义有什么不同？
练习：
1、已知曲线y 2 x 上一点P(2,8)，则点P处切线
2
的斜率为多少？点P处切线方程为多少？
k 8
y 8x 8
小结
1.切线的定义
导数的几何意义
当Pn P时，割线PPn (确定的位置) PT , PT 就叫做曲线在P点处的切线。
２．“以直代曲”的数学思想方法。
3. 函数f x 在x x0处的导数就是切线 的斜率k , PT 即
2
所以曲线y f x 在x 2处的切线的斜率为 . 4
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 . 根据图象, 请描述、比较 例2 曲线h(t ) 在 t0 , t1 , t 2 附近的变化情况.
解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线 h 刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变 化情况. (1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平 坦, 几乎没有升降.
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
或
y | x x0 , 即
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim x 0 x x0 x x x0
y
P1 P2 P3 P4 P o x0 xn α x T
f ( xn ) f ( x0 ) kn xn x0
当点Pn无限趋近于点 时，k n无限 P 趋近于切线PT的斜率.
因此， 函数f x 在x x0处的导数就是切线 的斜率k , PT f ( x0 Δx) f ( x0 ) 即 k lim f ( x0 ) x 0 x
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导 数的基本方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
y f ( x 0 x) f ( x0 ) (2)求平均变化率 ; x x y (3)取极限，得导数f ( x0 ) lim . x 0 x
析 : y f x 在x 2处的切线的斜率 即 ， y f x 在x 2处的导数
解 :由导数的几何意义得:
2 x 2 f 2 x f 2 k lim lim x 0 x 0 x x lim x 4 4
2 x 0
(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下 o t3 t4 t0 降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.
l0
l1
t1
t2 l2
t
(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减. 从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这 说明 h(t) 曲线在 T1 附近比在 T2 附近下降得缓慢
f ( x0 Δx) f ( x0 ) k lim f ( x0 ) x 0 x
温故知新 诱发思考
一：温故
y
A
0
x
l1
温故知新 诱发思考 温故知新 诱发思考
二：知新
B
y
l3
0
C
x
源自文库l2
• 以上圆的切线的定义并不适用于一般的曲 线；
• 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置 的直线定义为切线，适用于各种曲线. • 这种定义才真正反映了切线的直观本质.
2 例1 已知 f ( x) x , 求曲线 y f (x) 在 x 2 处的切线的斜率.