数学分析习题集8复旦大学

+∞
⒋
证明：对非负函数 f ( x ) ， (cpv)∫ −∞ f ( x )dx 收敛与 ∫ −∞ f ( x )dx 收敛是等价的。
⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同） ：
ln ln x sin xdx ; ln x + ∞ sin x arc tan x dx （ p ∈ R + ）; ⑶ ∫ p 1 x
∫1 x p + sin x dx
+∞
sin x
4
当p≤
1 1 时发散，当 < p ≤ 1 时条件收敛，当 p > 1 时绝对收敛。 2 2
5
∫0 3
∫0
π 2
1
1 dx ; 2 x (1 − x )
⑵
∫ 0 x 2 − 1 dx ; ∫0
π 2
1
ln x
⑶ ⑸ ⑺ ⒏
1 dx ; 2 cos x sin 2 x
⑷ ⑹
1 − cos x dx ; xp
;
∫ 0 | ln x | p dx ;
1
∫ 0 x p−1 (1 − x )q−1 dx
∫
+∞
a
f ( x )dx 与 ∫
+∞
a
f ′( x)dx 都收敛，证明 lim f ( x) = 0 。
x → +∞
计 算 实 习 题 在教师的指导下， 试编制一个通用的 Gauss-Legendre 求积公式程序， 在电子计算机上实 际计算下列反常积分值，并与精确值比较：
π2 ） ； 6 π2 1 ⑵ ∫ 0 ln x ln(1 − x )dx ， （精确值 2 − ） ； 6 π π 2 ⑶ ∫ 0 ln cos xdx ， （精确值 − ln 2 ） ； 2
∫
11．设
+∞
0
+∞ ⎛ x a⎞1 ⎛ x a ⎞ ln x dx = ln a ∫ f ⎜ + ⎟ dx 。 f⎜ + ⎟ 0 ⎝a x⎠ x ⎝a x⎠ x
∫
+∞
a
f ( x)dx 收敛，且 lim f ( x) = A 。证明 A = 0 。
x → +∞
12．设 f ( x ) 在 [ a ,+∞ ) 上可导，且
1
∫0 x
∫0
1
1
p −1
(1 − x) q −1 | ln x | dx .
讨论下列反常积分的敛散性： ⑴
x p −1 − x q −1 dx ( p, q ∈ R + ); ln x
⑵
∫0
+∞ 3
1 dx ; x ( x − 1)2 ( x − 2)
3
⑶
∫0
+∞
ln(1 + x ) dx ; xp
∫
+∞
a
ϕ ( x)dx 和 ∫
+∞
a
f ( x) dx
⒉ ⒊
∫1
+∞
1 x 3 − e − 2 x + ln x + 1
1 dx ; 1 + x |sin x |
dx ;
⑵
∫
+∞
1
arc tan x dx ; 1 + x3
⑶
∫0
+∞
⑷
+∞
∫1
+∞
xq dx （ p, q ∈ R + ）. 1+ x p
⑴ (cpv)∫ −∞ ⒐ ⑴ 以
⑵ (cpv)∫ 1
4
1 dx ; x−2
⒏ 说明一个无界函数反常积分可以化为无穷区间的反常积分。
∫
+∞
a
f ( x)dx 为例，叙述并证明反常积分的线性性，保序性和区间可加性；
⑵ 举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。 10. 证明当 a > 0 时，只要下式两边的反常积分有意义，就有
⑴
1
ln(1 − x ) ∫ 0 x dx ，
（精确值 −
⑷
∫
+∞
0
tan x dx ， x
（精确值
π ） ； 2 1 π ） 。 2 2
⑸
∫ 0 sin( x 2 )dx ，
+∞
（精确值
2
习
⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2） ；
题
8.2
⑵ 举例说明， 当比较判别法的极限形式中 l = 0 或 + ∞ 时， 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3） 。 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴
⑵
x q sin x dx ( p ≥ 0 ); 1+ x p
⑶
∫0
+∞
e sin x cos x dx ; xp
⑷
∫0
+∞
e sin x sin 2 x dx ; xp
1 1 (5) ∫0 p cos 2 dx ； x x
1
1⎞ ⎛ sin⎜ x + ⎟ (6) + ∞ x⎠ Βιβλιοθήκη Baidu dx ∫1 p x
π 2
(2) (4)
∫0 x ln sin xdx 。
π
∫
π
2
0
1
x cot xdx ;
ln x dx 。 1− x2
+∞
∫0
1
arcsin x dx ; x
(5)
∫0
⒎ 求下列反常积分的 Cauchy 主值：
1+ x dx ; 1+ x2 1 2 ⑶ (cpv)∫ dx 。 1/ 2 x ln x
a
+∞
∫ [k
+∞ a
1
f ( x) + k 2 g ( x)]dx 也收敛，且
∫
⒊ ⑴
+∞
+∞
a
[k1 f ( x) + k 2 g ( x)]dx = k1 ∫
+∞
a
f ( x)dx + k 2 ∫ g ( x)dx 。
a
+∞
计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果） ：
∫ 0 e −2 x sin 5xdx ;
⑺
∫ −∞ ( x 2 + 1)3/ 2 dx ;
∫0
+∞
+∞
1
⑻
∫0
+∞
1 dx ; (e + e − x ) 2
ln x dx 。 1 + x2
⑼ ⒋
1 dx ； x +1
4
⑽
∫0
+∞
计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果） ： ⑴
∫0 ∫1
1
x dx ; 1− x2 x dx ; x −1
x → +∞
13．设 f ( x ) 单调下降，且 lim f ( x ) = 0 ，证明：若 f ′( x ) 在 [0,+∞ ) 上连续，则反常积分
x →+∞
∫ 0 f ′( x ) sin 2 x dx 收敛。
14. 设
+∞
∫
+∞
a
+∞
f ( x) dx 绝对收敛，且 lim f ( x ) = 0 ，证明 ∫ a f 2 ( x )dx 收敛。
x →+∞
+∞
15． 若 ∫ a
f 2 ( x )dx 收敛，则称 f ( x ) 在 [a ,+∞ ) 上平方可积（类似可定义无界函数在 [a , b]
上平方可积的概念） 。 ⑴ 对两种反常积分分别探讨 f ( x ) 平方可积与 f ( x ) 的反常积分收敛之间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含； ⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。 16. 证明反常积分
( p > 0 ).
10．证明反常积分 ∫
+∞
0
x sin x 4 sin xdx 收敛。
1
11．设 f ( x ) 单调，且当 x → 0 + 时 f ( x ) → +∞ ，证明： ∫ 0 f ( x )dx 收敛的必要条件是
x → 0+
lim xf ( x ) = 0 。
12．设
∫
+∞
a
f ( x) dx 收敛，且 xf ( x ) 在 [a,+∞ ) 上单调减少，证明: lim x(ln x) f ( x) = 0 。
习
⒈
题
8.1
∞ x q
物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量 + q 的点电荷产生 的电场对距离 r 处的单位正电荷的电场力为 F = k 数） ，求距电场中心 x 处的电位。
q （ k 为常 r2
图 8.1.4
⒉
证明：若
∫
+∞
a
f ( x)dx 和 ∫ g ( x)dx 收敛， k1和 k2 为常数，则
⑵
∫ 0 e −3x cos 2 xdx ;
+∞
⑶
∫ −∞ x 2 + x + 1 dx ;
+∞
1
∫0
⑷
+∞
1 dx ( x 2 + a 2 )( x 2 + b 2 )
( a > 0, b > 0) ;
⑸
∫
+∞
0
x e ax dx
2
(a ∈ R ) ;
⑹
∫
+∞
2
1 dx x ln p x
x
( p ∈ R) ;
⑷
∫
+∞
0
arc tan x dx ; xp
;
⑸
∫0
π /2
tan x x
1
p
dx ;
⑹
∫ 0 x p−1 e − x dx
+∞
+∞
⑺ ⒐
∫ 0 x p + x q dx ; ∫0
+∞
+∞
⑻
∫2 x p ln q x dx .
∫1
+∞
1
讨论下列反常积分的敛散性： ⑴
x p −1 dx ; 1 + x2
⑵
∫1
e
1 dx ; x 1 − ln 2 x
1
;
⑶
2
⑷
∫ 0 ( 2 − x ) 1 − x dx
1
1 1 ⑸ ∫ sin 2 dx ; −1 3 x x
1
⑹
∫
π
2
1 tan x
0
dx ;
n
⒌ 求极限 lim
n→∞
n! 。 n
⒍ 计算下列反常积分：
1
(1) (3)
∫ 0 ln cos xdx ;
⑴
∫2
+∞
⑵ ⑷
∫1
+∞
sin x dx （ p ∈ R + ）; p x
∫ 0 sin( x 2 )dx ;
+∞
⑸
∫
+∞
a
p m ( x) sin xdx q n ( x)
（ p m ( x ) 和 q n ( x ) 分别是 m 和 n 次多项式，
） qn ( x ) 在 x ∈ [ a,+∞ ) 范围无零点。 ⒍ ⒎ 设 f ( x ) 在 [a , b] 只有一个奇点 x = b ，证明定理 8.2. 3′ 和定理 8.2. 5′ 。 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴