曲线的轨迹方程求解的常用方法(改编版)

2 2
4 PD （Ⅰ）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 5 4 C 的方程。 （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度 5
x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且 MD
2.已知 P(4,0)是圆
x y
2

2
36 内一点，A,B 是圆上两个动点,且满足 APB 90
x f (t ) 消去 t，便可得 y g ( t )
【考点专练】1.设 P (a, b) 是单位圆上的点，则 Q(a b, ab) 的轨迹方程是 A. (a b) a b 1
2 2 2
（
2
）
B. x 2 y 1
2
C. a b 1
2 2
D. x 2 y 1 2 ，一条准线的方程为 x 2
例 10、设椭圆方程为 x2+ 【考点专练】1、已知抛物线 C：y2=4x，焦点为 F ，准线与 X 轴交于点 A，过 A 且斜率为 k 的直线 L 与抛物线 C 交于 P、Q 两点：求满足 FR （FP FQ） 的点 R 的轨迹方程。

1 2
2.（2014 宝鸡一模）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 X 轴上，以两个焦点和短轴的两个 端点为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形（记为 Q）.(1)求椭圆 C 的方程； （2）设点 P 是直线 x 4 与 X 轴的交点，过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点，当线段 MN 的中 点落在正方形 Q 内（包括边界）时，求直线 l 的斜率的取值范围。

(1)求 AB 中点 R 的轨迹方程.(2)求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.
5.参数法：当动点 P 的坐标 x、y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量 t， 并用 t 表示动点的坐标 x、y，从而得到动点轨迹的参数方程： 动点 P 的普通方程。 例 8、三定点 A(2,1),B(0，-1),C(-2,1),三动点 D,E,M 满足 AD t AB , BE t BC , （1）求动直线 DE 斜率的变化范围； （2）求动点 M 的轨迹方程 DM t DE ; t 0,1 。
2．(2011 年高考重庆卷)如图，椭圆的中心为原点 O，离心率 e＝
＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程； → → → (2)设动点 P 满足：OP ＝OM＋2 ON，其中 M，N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜 1 率之积为－ ，问：是否存在两个定点 F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求 F1，F2 2 的坐标；若不存在，说明理由．
例 2.已知平面上一定点 C(-1,0)和一条定直线 l ：x=-4,P 为该平面上一动点，作 PQ l ，垂 足为 Q， ( PQ 2PC) ( PQ 2PC) 0 . 问点 P 在什么曲线上，并求该曲线方程。




【考点专练】1.和点 O（0，0）,A(c,0)距离的平方差为常数 c 的点的轨迹是（ A.一个点 B.两个点 C.一条直线 D.圆 2. 已知定点 F1 、 F2 和动点 P 满足 迹为（ ） A.椭圆


L
y
例 4：已知动点 P 与双曲线 COS F1PF2 的最小值为
x2 y2 1 的两个焦点 F1，F2 的距离之和为定值，且 2 3
1 。求动点 P 的轨迹方程。 9
【考点专练】1、已知圆 C： （x+1）2+y2=8，定点 A（1，0） ，M 为圆上一动点，点 P 在 AM 上，点 N 在 CM 上，且满足 AM 2 AP , NP AM 0 ，点 N 的轨迹为曲线 E。求曲线 E 的方程。
1 x2 y2 2 2 1 （a＞b＞o） ，过点（１， ）作圆 x 2 2 a b
y
2
1 的切
。
线， 切点分别为Ａ,Ｂ； 直线ＡＢ恰好过椭圆的右焦点和上顶点， 则椭圆的方程为：
4．相关点法（坐标代换法） ：当动点 P（x,y）随着另一动点 Q（ x1 , y1 ）的运动而运动时， 而动点 Q 在某已知曲线上，且 Q 点的坐标可用 P 点的坐标来表示，则可代入动点 Q 的方 程中，求得动点 P 的轨迹方程，其具本做法是：建立用（x,y）表示（ x , y ）的式子， 而后代入定曲线方程，可得 P 的轨迹方程。 例 6：已知抛物线 y x 1 ,定点 A（3，1） 、B 为抛物线上任意一点，点 P 在线段 AB 上，
5.一动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得的弦长分别为８,4，求动圆圆心的轨迹方程， 并说明轨迹的形式。
2．定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时，则可根据这种曲线的 定义建立方程。如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等。 例 3： （07 福建卷）已知点 F（1，0）直线 L：x= -1，P 为平面上的动点，过 P 作直线 L 的 垂线，垂足为点 Q，且 QP· QF FP· FQ 。 求动点 P 的轨迹 C 的方程； -1 O F X
【考点专练】1.已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为
3 ，且 G 上一点 2
到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为 。 2、若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭 圆上的点的最短距离为 3 ，则这个椭圆的方程为 。
3、 （２０１１江西）椭圆
x y 例 9.已知双曲线
2
2
4
2
1 ，CD 是垂直于实轴 AB 的弦，求直线 AC 与 BD 的交点 P 的轨迹
方程.
【考点专练】(2011 全国)设 M,N 为抛物线 C: y 的切线 程。
x
2
2
上的两个动点，过 M,N 分别作抛物线 C
l ,l
1
2
与 X 轴分别交于 A,B 两点，且


2.设点 A 为圆 ( x 1) 2 y 2 1上的动点， PA 是圆的切线， 且 PA 1 ,则 P 点的轨迹方程为 （ ） A. y 2 x
2
B. ( x 1) y 2
2 2
C. y 2 x
2
D. ( x 1) y 2
n＝1,2,3，„.若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝
cn a n b an ，cn＋1＝ n ，则( 2 2
)．
A．{Sn}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 3．待定系数法：已知动点的轨迹是某种曲线，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动 点满足的条件确定出待定系数。 例 5： （2010 全国）设
l 与l
1
相交于点 P,若 AB 1 .求点 P 的轨迹方
7.点差法：主要解决动弦的中点的轨迹方程问题。这类问题的关键是把该动弦的斜率用中 点与某已知定点连线的斜率替代。
y2 1 ，过点 M（0，1）的直线 L 交椭圆于点 A、B，O 是坐标 4 1 原点，点 P 满足 OP （OA OB） ，当 L 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程。 2
2 / /
且有 BP：PA=1：2，当 B 点在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程。
例 7：已知：三角形 ABC 的两顶点 A，B 的坐标分别为 A（0，0） ，B（6，0） ，顶点 C 在曲线 2 Y=x +3 上运动，求三角形 ABC 的重心的轨迹方程。
【考点专练】１. (2011 年高考陕西卷)如图，设 P 是圆 x y 25 上的动点，点 D 是 P 在
曲线的轨迹方程求解的常用方法
一．知识点分析： 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一， 是高考的一个热点， 特别是当今高 考的改革以考查学生的创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、 分析问题解决问题的能力， 而轨迹方程这一点， 则能很好地反映学生在这些能力方面的 掌握程度。 轨迹方程的考察多以解答问题的形式出现，而求解时，要经历审题，寻找和确定求 解途径，分清解答步骤，逐渐推演，综合陈述，完整作答或给出恰当的结论等多个不可 缺少的环节。因此，正确探命题目所蕴涵的数学信息，广泛联想题目所涉及到的概念、 公式、定理，创造性地组合各种信息，求得问题的解决。 求曲线轨迹方程的基本步骤为： ⑴建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为 M（x,y） ； ⑵寻找动点与已知点关系式；⑶将动点与已知点坐标代入； ⑷化简整理方程；⑸证明所得方程即为所求曲线的轨迹方程； 在求曲线轨迹方程的过程中，要注意： （1）全面理解题意，弄清题目中的已知和结论，发现已知和未知的关系，进行知识的重 新组合。 （2）合理进行数学语言间的转换，数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，通 过审题画出必要的图形或示意图，把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理 的关系式，把不便于进行数学处理的语言化便于数学处理的语言； （3）注意挖掘题目中的隐含条件； （4）注意反馈和检验。 二、求轨迹方程常用的方法 1．直接法：若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系，则将这些关系“翻译”成 x,y 的关系式，由此得到轨迹方程，一般步骤是：建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整 理。 例 1：一圆被两直线 x+2y=0,x-2y=0 截得的弦长分别为 8 和 4，求动圆圆心的轨迹方程。
）
PF PF
1
2
2 ,
PF PF
1
2
4 则点 P 的轨
B.圆
C.直线 ）
D.线段
3.方程 (2x 3 y 5)( x 3 1) 0 表示的曲线的形状是（
A.两条直线
B.两条射线
C.两条线段
D.一条直线与一条射线
4.过原点的直线与圆 x 2 y 2 6x 5 0 相交于 A、B 两点，则弦ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方 程是 .
3.（2013 陕西）已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.
求动圆圆心的轨迹 C 的方程;
x y 2 4.设变量 x, y 满足条件 x y 4 ，则点 P x y, x y 所在区域的面积为（ x 5
）
A.4 B.6 C.8 D.10 6．交轨法：求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过 解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求的轨迹方程，该法常与参数 法并用。
F1 , F 2 , 是椭圆 E:
x2 y2 1 ( a >b>0)的左，右焦点，过 F 1 斜 a2 b2
率为 1 的直线 L 与椭圆 E 交于 A,B 两点，且 A
F
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, AB , B
F
2
成等差数列。
（1）求椭圆 E 的离心率； （2）设点 P(0,-1)满足 PA PB ，求椭圆 E 的方程.
2 2
3.已知 ABC 的周长为 6， A(1,0), B(1,0) ,则顶点 C 的轨迹方程为 4.（２０１０，东北）已知点 F (a,0)(a 0) ，直线 l : x a ，点Ｅ是 l 上的动点，过点Ｅ 垂直于 y 轴的直线与线段 EF 的垂直平分线交于点 P。求点 P 的轨迹 M 的方程。 5．(2013 课标全国Ⅰ，理 12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an，bn，cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，