On Default Correlation 债务违约相关性的度量

• 但是李祥林自己计算危险率的方法……？
• 见诸the paper unavailable online: “constructing a credit curve”,1998, credit risk.
• 总之，他得到了一个hazard rate function.
• Recall:计算危险率，是为了计算相关度，同时导出资产组 合内“距违约时间”的联合概率分布。 • 非线性相关的随机变量的联合分布怎么写？
一个例子：【我没看懂(╯﹏╰)】
根据B-S定价公式，假设公司资产价值 At 服从对数正态分布，
违约边界为固定值D（它不必是债务总额），则从目前到时
刻t这段时间，公司的生存概率S(t)可以用下列公式得到：
S ( t ) P ( X s 0, 0 s t | X 0 )
其中
N (
对传统违约概率相关度计算方法的改进
• 对于每一种证券，我们都可以设立一个随机变量“距违约时间” （time-until-default）。由于证券价值可以由在未违约时段上的 各期年金折现加和得到：这样计算证券价值之间的相关度本质 上就是计算“距违约时间”间的相关度。
• 需要注意的是，构成证券的各个资产组合的“距违约时间”也 不是一个固定的值；不同取值的“距违约时间”都有存在的可 能性，所以它是一个随机变量。 • 对于任意一项信用资产，“距违约时间”的分布构成了该项信 用资产的“违约期限结构”。
最后，我们可以看到一些intuitively correct的结论
Professor Paul Embrechts commented on the failure of such a delicate model:
• Four categories of problem can be distinguished: • Short observation periods • Non-normal distributions • Systemic versus idiosyncratic risk • Non-independence of future events; distinguishing risk and uncertainty
X 0 mt t
)e
2 m X 0
N(
X 0 mt t
)
X0
log A0 log D
由此可以计算出资产的信用曲线。

, m ( / 2) / ， 而 h ( t )
2
f (t ) 1 F (t )

S (t ) S (t )
'
• 李祥林支持使用“市场信息”(譬如股价)的方法， 理由： • a.当前的市场信息反映了所有投资者对未来该公司 收益或损失的一致性预期，而投资者的直接损益是 取决于这种一致性预期，而非历史违约数据。 • b.评级公司给证券打等第，只看到ABCD，但这可能 丧失一些公司特有的信息；只有做出了credit curve 才能完全反应公司特有的信息。 • c.评级公司反应往往滞后于市场反应。 • d.评级者只考虑违约的频率，而投资者的损失与违 约的频率frequency和严重度severity都相关。
使用评级公司的数据
穆迪既公布当年的违约概率，又公布累积多年来的违约概率。
使用期权定价方法
布莱克－舒尔茨方法 假设公司的资产市值服从几何布朗运动，并假设其资本结构 可简单地分为债务和股权，那么，股权就可以看作是以资产 市值为标的物、执行价格为债务面值的看涨期权。当公司的 资产大于债务，股东可以按其剩余索取权行权；当资不抵债， 股票就一文不值了。这样可以用期权定价公式反推公司即刻 的资产与负债，并推算资不抵债的概率（违约概率）。 弱点：假设违约只在债务到期日才发生 。 First-Default模型 认为违约事件应该发生在公司资产价值第一次低于违约边界 的时候，而不是债务到期日。
• 若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量， 其联合分布函数恰为C，则：
X ,Y 12
[ 0 ,1]
2
uvdC ( u , v ) 3 12 E (U V ) 3
E (U V ) E (U ) E (V ) V ar (U ) V ar (V )
最后，我们可以看到一些intuitively correct的结论
3. 根据所希望的边缘分布函数转换均匀随机变量：
X i Fi (U i ), I= 1, ,N .
1
这里的Copula函数为：
C ( u1 , ..., u N ) ( ( u1 ), ..., ( u N ))
1 1
况且这里的 与Copula的关系是固定的：
• 将Kendall’s tau引入Copula函数： • 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C， 则 (X，Y)的Kendall’s tau为：
梳理一下思路
资产价值相关性、违约概率相关性、距违约时间的相关性 资产组合的距违约时间的分布函数 Copula,注意区别不同的相关度 单个资产的距违约时间的分布函数 单个资产的各期危险率 怎么算危险率？穆迪评级方法、期权定价方法、unavailable方法
最后，我们可以看到一些intuitively corrBaidu Nhomakorabeact的结论
违约期限结构的表现形式——信用曲线
先做一些定义： • 连续随机变量“距违约时间”T（time-until-default） ， 它表示从现在到违约(default)事件发生时的时间长度。 • F(t)表示在t时刻已经违约的概率 • S(t) 表示在t时刻还没有违约的概率，它也被称为生存 函数（survival function）。根据函数的定义，可以得到：
1 F ( x) S ( x)
之后定义 h ( x )
f ( x)
从而可以得到：
S (t ) e

0 h ( s ) ds

t
而
f ( t ) h ( x )(1 F ( x )) h ( x ) S ( t ) h ( x ) e
0 h ( s ) ds
t
违约期限结构的表现形式——信用曲线
F ( t ) Pr(T t ), S ( t ) 1 F ( t ) Pr(T t )
可见F(t)其实就是生存时间T的累积分布函数。
违约期限结构的表现形式——信用曲线
• 根据古典概率的定义，在精确的时间点t发生事件的概 率几乎为0。但是我们可以讨论在一个小的时间间隔t到t ＋Δt之间发生违约的概率，即Pr（t<=T<t＋Δt）。我们 必须把这个概率建立在t时间之前没有发生违约的基础 上（即条件概率），这是因为如果信用资产在t时间时 已经发生违约了，那么它就不会在t到t＋Δt之间发生违 约了 ，故而需要用Pr（t<=T<t＋Δt|T>=t）。 • 对于Pr（t<=T<t＋Δt|T>=t），Δt越长，那么在这个间隔 内发生违约的可能性越大。因此我们需要使之标准化， 即把它除以Δt。 • 由于我们要用危险函数确定的是在t时间发生违约的瞬 间风险，而不是在t到t＋Δt间隔时间，因此我们让Δt越 来越小，直到极限，因此最后形成了下边这个h(t)函数 公式。
违约期限结构的表现形式——信用曲线
资产在时刻没有违约的情况下，在时段 x内违约的概率：
P r[ x T x x | T x ] F ( x x) F ( x) 1 F ( x) f ( x)x 1 F ( x)
除以Δx 为危险率(hazard rate)函数，它表 1 F ( x) 示条 ' 件违约概率密度。有下列等式成立： h ( x ) f ( x ) S ( x )
What David did:
1.要很好地度量组合的整体风险，就要找到一个能将单个违约 分布和多元违约联合分布联系起来的方法。 Copula就是这样一 个函数，它能将单个边缘分布和多元联合分布联系起来。
2.通过一套借鉴精算学的方法，使用实时的、不断更新的市场 数据进行违约概率相关性的评价，改进了原先依赖于一年一度 公布的评级数据进行评价的不足。
On Default Correlation
A copula function approach By David X. Li
该模型何以风靡华尔街？
首先，资产组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产 本身的信用风险，另一部分则是由各个资产之间的相关结构引 起的风险。在度量资产组合的信用风险时，可以采用违约概率 作为衡量资产信用的指标。
(s) e
s

, 1
• （3）Frank Copula:
( t ) ln
e e
t
1 1
,
先来看一个未使用各个信用资产相关性数据的例子：
而更有效的一个方法是：
• 相关度 是什么变量的相关度？
而传统意义上的违约概率相关度是： 先用Copula函数的结论得出资产组合的概率密度函数
再 算 边 际 概 率 密 度
再代入：
Copula函数分布很适合利用蒙特卡罗模拟来实现。例如，模拟 正态Copula函数的步骤如下：
1. 产生均值为0，相关系数矩阵为 的正态随机数向量 Z 1 , ..., Z N
2. 将正态随机变量转换为均匀随机变量：
U i ( Z i ), I 1, … , N
· 将Spearman’s rho引入Copula函数： 连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C， 则X,Y的Spearman’s rho为：
X ,Y C 12
[ 0 ,1]
2
uvdC ( u , v ) 3 12
[ 0 ,1]
2
C ( u , v ) dudv 3
反应不同特点的各种形式的Copula函数：
• （1）Clayton Copula:
(t ) (t

1),
[ 1]
( s ) (1 s )

1

, 0
• （2）Gumbel Copula: • [ 1]
( t ) ( ln t ) ,

1
夫子自道
• 危险率是发生违约的“瞬间”风险。根据最新的各 类信息不断地确定资产的信用状态，这里隐含了盯 住市场的思想。 • 现在定义信用曲线（credit curve），它是危险率函 数的图形表示，代表信用资产在不同时刻的条件违 约概率密度。有了信用曲线，就可以计算不同资产 的违约相关性。
传统上获得信用曲线的方法一般有三种： 第一，从评级机构的历史数据中获得。 第二，使用布莱克－舒尔茨方法，将股票看作一个公司的看涨期 权，用这个架构可以获得n期的违约概率，然后将其转换为危险率 函数。 第三，从现有的市场信息中获得公司一系列不同期限债券的到期 收益率，并将它与国债的到期收益率作比较，获得收益率价差曲 线（Yield Spread Curve），然后假设一个外生的恢复率（Recovery Rate），就可以推算出信用曲线。【没懂。。。】
传统违约概率相关度计算方法之不足
• 传统上计算违约率相关度的方法就是计算两资产违约率的相关 系数，譬如：
这里计算该相关系数用到的qA, qB就是当年度的违约率。 • 可是实证研究发现，a.公司债的违约概率与其在市场上交易的 时间长度是相关的；b.经济周期的起伏涨落显然与违约概率的 高低变化相关，但是经济周期不是简单地、一年一年地推进， 用某一年的违约率相关系数作为下一年违约率相关度的估计就 不太合适了；c.为了合理估测资产价值，人们需要计算接下来 十年、二十年直到完全偿付为止所有资产的违约相关度，而非 仅仅一年的违约率相关度。这些都对传统的违约了相关系数计 算方法提出了挑战。
X ,Y C 4
[ 0 ,1]
2
C ( u , v ) dC ( u , v ) 1
• 若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其 联合分布函数恰为C，则：
X ,Y 4
[ 0 ,1]
2
C ( u , v ) dC ( u , v ) 1 4 E [ C (U , V )] 1