高数第三章习题

习题3-1
1. 验证：函数()lnsin f x x =在π5π
[,
]66
上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.
证：()lnsin f x x =在区间π5π[,
]66上连续，在π5π
(,)66
上可导，且π5π()()ln 266
f f ==-，即在π5π
[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存
在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上，由cos ()cot 0sin x
f x x x
'===得
ππ5π(,),266
x =∈故取π
2ξ=，可使()0f ξ'=.
2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的ξ？
⑴ 2, 01,
() [0,1] 0, 1,
x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩；
⑵ ()1, [0,2] f x x =-；
⑶ sin , 0π,
() [0,π] . 1, 0,
x x f x x <≤⎧=⎨
=⎩
解：⑴ ()f x 在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x '=<<，即在（0，1）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.
⑵ 1, 12,
()1, 0 1.
x x f x x x -≤<⎧=⎨
-<<⎩
(1)f '不存在，即()f x 在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件. 而1, 12,
()1, 0 1.
x f x x <<⎧'=⎨
-<<⎩
即在（0，2）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.
⑶ 因(0)1(π)=0f f =≠,且()f x 在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x '=<<,取π
2
ξ=
，使()0f ξ'=.有满足罗尔定理结论的
π2
ξ=
. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.
3. 函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？ 解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得
1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于
(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内.
4. 验证：拉格朗日定理对函数3
()2f x x x =+在区间[0，1]上的正确性.
验证：因为()f x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+ 解得
ξ=
，即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立. 5. 如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：()()f b f a >.
证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ∃∈<<，使得()()
()0f x f a f x a
ξ''-''=>-,
于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >
6. 设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.
证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且
()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使
得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.
7. 已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，
b ）内至少有一点ξ，使得
()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.
证明：令()()e ,x
F x f x =⋅()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，即()e ()e 0f f ξ
ξ
ξξ'+=,即
()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈
8. 证明恒等式：
2
22arctan arcsin
π (1).1x
x x x
+=≥+ 证明：令2
2()2arctan arcsin 1x
f x x x =++,
22
2222
2
2(1)22()1(1)22
011x x x
f x x x x x
+-⋅'=++=-=++ 故()f x C ≡，又因(1)πf =,所以()πf x =,即2
22arctan arcsin π.1x
x x +=+ 9. 利用麦克劳林公式，按x 乘幂展开函数2
3
()(31)f x x x =-+.
解：因为()f x 是x 的6次多项式，所以
(4)(5)(6)23456
(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0).2!3!4!5!6!
f f f f f f x f f x x x x x x ''''''=++++++
计算出：(0)1,(0)9,(0)60,(0)270f f f f ''''''==-==-， (4)
(5)(6)(0)720,(0)1080,(0)720.f
f f ==-=
故2
3
4
5
6
()193045309.f x x x x x x x =-+-+-+ 10. 利用泰勒公式求下列极限：
⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 2
1lim[ln(1)].x x x x
→∞-+ 解：⑴
3
4sin 0()3!
x x x x =-+
3
43300[0()]
sin 13!lim lim 6
x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵
tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++
tan 200e 11tan 0(tan )1
lim
lim 1x x x x x x x
→→-++-∴== (3) 令1
x t
=
,当x →∞时，0t →， 2
22202
2011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}2
1()1lim().22
x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-= 11. 求下列函数在0x x =处的三阶泰勒展开式：
⑴
04);y x =
= ⑵ 0(1)ln (1).y x x x =-=
解：⑴ 1357
(4)
222211315 , , ,.24816
y x y x y x y x ----''''''==-==-
所以113
(4) , (4) ,(4)432256
y y y ''''''=
=-=
(4)
7
2
15[4(4)]16[4(4)]y x x θθ+-=-+-
4
237
2
111
5(4)(4)(4)(4) (01).464512
128[4(4)]
x x x x x θθ----+--
<<+-
⑵
234
4
ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+
234
4345
2
4
(1)ln (1)ln[1(1)]
(1)(1)(1) (1){(1)}234[1(1)](1)(1)(1) (1).234[1(1)]
y x x x x x x x x x x x x x x x θθ∴=-=-+----=---+-+----=--+-+-
12. 求函数()e x
f x x =的n 阶麦克劳林公式.
解：
2
1e 1e 2!
(1)!!
n n x x x x x x n n θ-=+++
++-
3
12()e e (01)2!
(1)!!
n n x
x
x x x f x x x x n n θθ+∴==+++
++<<- 习题3-2
1.选择题： （1）()arctan 2f x x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，则lim ()x f x →+∞是哪种类型未定式的极限？（ ） A.∞-∞ B.0∞⋅ C.∞+∞ D.∞⋅∞ （2）220001cos (1cos )sin 1lim
lim lim 1(1)22
x x x x x x x x x →→→'--==='++，则此计算（ ）.
A.正确
B.错误，因为21cos lim 1x x x →∞-+不是0
0型未定式
C.错误，因为20(1cos )lim
(1)x x x →'
-'
+不存在
D.错误，因为201cos lim 1x x x →-+是∞
∞
型未定式
（3）0
()lim
(()x f x A g x →'=∞'或为）是使用洛必达法则计算未定式0()
lim ()
x f x g x →的（ ）. A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件 （4）下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）. A.
20
1
sin lim
sin x x x x
→ B.lim arctan 2x x x π→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭
C.sin lim sin x x x x x →∞-+
D.2
sin lim x x x x →∞ （5）43
4334
lim 22x b x bx x bx b x b →-=-+-（ ）.（其中b 为非零常数）
A. 0
B.∞
C. 1
D. 1
4
-
（6）2
lim(sec tan )x x x π
→
-=（ ）. A.-∞ B.+∞ C.1 D.0 （7）0
ln sin 5lim ln sin 2x x
x
+
→=（ ）.
A.52
B.2
5 C.1 D.∞
2. 利用洛必达法则求下列极限：
⑴ πsin 3lim
tan 5x x x →; ⑵ 3π2
ln sin lim (2)x x
x π→
-;
⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin lim
x a x a
x a
→--; ⑸ lim m
m
n n x a x a x a →--; ⑹ 1
ln(1)
lim cot x x arc x →+∞+; ⑺ 0ln lim cot x x
x +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +
→;
⑼ 0e 1lim()e 1x x x x →--; ⑽ 01lim(ln )x
x x
+→;
解：⑴ 原式=2π3cos33
lim
5sec 55
x x x →=-
. ⑵ 原式=2ππ2
2
1cot 1csc 1
lim
lim 4π-2428
x x x x x →→--=-=--. ⑶ 原式=000e 1e 11
lim lim lim e 1e 2e e 22
x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.
⑷ 原式=cos lim
cos 1
x a x
a →=.
⑸ 原式=11lim
m m n
n x a mx m a nx n
---→=. ⑹ 原式=2222
1
()
11lim lim 11
1x x x x x x x x x →+∞→+∞⋅-++==+-
+.
⑺ 原式=22
001
sin lim lim 0csc x x x x x x
++→→=-=-. ⑻ 原式=001
ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x
++→→==-⋅. ⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x x x x x x x x x →→----=-202e e 1
=lim 2x x x x
→--
204e e 3
=lim
22
x x x →-=. ⑽ 原式=0
lim(1ln )x
x x +
→- 令(1ln )x
y x =-
0002
0011
()
ln(1ln )1ln lim ln lim lim
11
1
lim lim 0
1
1ln x x x x x x x x y x x
x x x
+++++→→→→→⋅---==-===-- ∴原式=0
lim e 1x y +
→==. 3. 设21lim
51
x x mx n
x →++=-,求常数m , n 的值. 解：要使21lim
51x x mx n
x →++=-成立，则21lim()0x x mx n →++=,即10m n ++= 又2112lim
lim 2511
x x x mx n x m
m x →→+++==+=- 得3,4m n ==- 4. 设()f x 二阶可导，求2
()2()()
lim
h f x h f x f x h h
→+-+-. 解：
2000()2()()()()
lim
lim
21()()()()
lim []
21 [li 2h h h f x h f x f x h f x h f x h h h
f x h f x f x h f x h h →→→''+-+-+--=''''+---=+-=00()()()()
m lim ]1
[()()]
2
().
h h f x h f x f x h f x h h
f x f x f x →→''''+---+-''''=+''=
习题3-3
1． 1. 确定下列函数的单调区间：
(1) 3
2
26187y x x x =---； (2) 8
2 (0)y x x x
=+
>； (3)
ln(y x =； (4) 3
(1)(1)y x x =-+； (5) e (0,0)n x
y x n x -=>≥； (6) sin 2y x x =+； (7) 5
4
(2)(21)y x x =-+.
解：(1)所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且
2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-
可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少.
(2)函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且28
2y x
'=-
，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.
(3)函数定义域为(,)-∞+∞
，0y '=
>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加.
(4)函数定义域为(,)-∞+∞,2
2(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2
x x =-=
,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1
[,)2
+∞内， 0y '>，函数单调增加.
(5)函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x
n x x n y nx
x x n x -----'=-=-
函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.
(6)函数定义域为(,)-∞+∞,
πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2
x x x n n n y x x x n n n ⎧
+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z
1) 当π
[π,π]2x n n ∈+
时， 12cos 2y x '=+，则 1π
0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+；
πππ
0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++.
2) 当π
[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则
1ππ
0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈--
1π
0cos 2[π,π]26
y x x n n '≤⇔≥⇔∈-.
综上所述，函数单调增加区间为πππ
[,] ()223
k k k z +∈，
函数单调减少区间为ππππ
[,] ()2322
k k k z ++∈.
(7)函数定义域为(,)-∞+∞.
44533
4
5(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)
y x x x x x x x '=-++-+⋅=+--
函数驻点为123111
,,2218
x x x =-=
=, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，
在111
[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，
在11
[,2]18
上， 0y '>,函数单调增加， 在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.
故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11
[,)18
+∞. 2. 证明下列不等式: (1) 当π
02
x <<
时， sin tan 2;x x x +> (2) 当01x <<时， 2
e sin 1.2
x
x x -+<+ 证明: (1)令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)
()cos x x x f x x
-++'=,
当π
02
x <<
时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->
(2) 令2()=e sin 12
x
x f x x -+--,则()=e cos x
f x x x -'-+-,
()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故
()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2
e sin 1.2
x
x x -+<+
3. (1)证明：不等式
()()ln 101x
x x x x
<+<>+；
(2)设0,1a b n >>>，证明：
()()11n n n n nb a b a b na a b ---<-<-；
(3)设0a b >>，证明：
ln a b a a b
a b b
--<<； (4)设0x >，证明：
1
12
x +>4. 试证:方程sin x x =只有一个实根.
证明:设()sin f x x x =-，则()cos 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.
5. 求下列函数的极值:
(1) 2
23y x x =-+； (2) 3
2
23y x x =-；
(3) 32
26187y x x x =--+； (4) ln(1)y x x =-+；
(5) 42
2y x x =-+； (6) y x =+
解: (1) 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.
又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 2
66y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==,
126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,
故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-. (3) 2
612186(3)(1)y x x x x '=--=-+, 令0y '=，得驻点121,3x x =-=.
1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,
故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-. (4) 1
101y x
'=-
=+，令0y '=，得驻点0x =. 2
01
,0(1)
x y y x =''''=
>+,故(0)0y =为极大值. (5) 3
2
444(1)y x x x x '=-+=-， 令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==.
210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>
故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值. (6) 1
y '=-
,令0y '=，得驻点13
,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点
21x =，当34x >
时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故13
4
x =为极大值点，且极大值为35
()44
y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.
6. 设,,,a b c d 为常数，试证明：如果函数3
2
y ax bx cx d =+++满足条件2
30b ac -<，那
么这函数没有极值.
证明：2
32y ax bx c '=++，令0y '=，得方程2
320ax bx c ++=，
由于 2
2
(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=-=-<，那么0y '=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.
7. 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π
3
x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π
3
x =
处取得极值，必有 π3
π
0()(cos cos3)3x f a x x =
'==+，得a =2. 又
π3
π
0()(2sin 3sin 3)
3
x f x x =''=<=--，
所以π3x =
是极大值点，极大值为π
()3
f = 习题3-4
1. 求下列函数的最大值、最小值：
254
(1) (), (,0)f x x x x
=-
∈-∞；
(2) () [5,1]f x x x =∈-； 42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.
解：(1)y 的定义域为(,0)-∞，32
2(27)
0x y x +'=
=，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增, 因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞
=+∞，故f (x )无最大值.
(2)10y '==，在(5,1)-上得唯一驻点3
4x =，
又
5
3,(1)1,(5)54
4y y y ⎛⎫
=
=-= ⎪⎝⎭ , 故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为
5
4
5.
(3)函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，
而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 2.
求数列1000n ⎧
⎫⎨
⎬
+⎩⎭
的最大的项.
解：令1000
y x =
+
,
y '==
=令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<,
所以x =1000为函数y
的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000
y y ==
.
故数列1000n ⎧
⎫⎨
⎬+⎩⎭
的最大项为1000
a =.
3. 设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和b
a
为端点的闭区间上的最大值和最小值.
解：20y ax b '=+=得2b x a =-
不可能属于以0和b
a
为端点的闭区间上, 而 2
2(0)0,b
b y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
,
故当a >0时，函数的最大值为2
2b
b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =;
当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为2
2b
b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
4. 已知a >0，试证：11()11f x x x a =
+++-的最大值为21a
a
++. 证明： 1
1,0111
1(),01111
,11x x x a f x x a x x a x a x x a
⎧+<⎪--+⎪
⎪=+≤≤⎨+-+⎪⎪+>⎪++-⎩
当x <0时，()
()
2
2
1
1
()011f x x x a '=
+
>--+;
当0<x <a 时，()()22
11
()11f x x x a '=-
+
+-+;
此时令()0f x '=，得驻点2a x =
，且422a f a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，
当x >a 时，()()22
1
1
()011f x x x a '=-
-
<++-,
又lim ()0x f x →∞
=，且2(0)()1a
f f a a
+==
+. 而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得
故 {
}
max 242(),,0121a a
f x a a a
++=
=+++. 5. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.
解：设圆柱体的高为h , 则圆柱体底圆半径为2
2
4
h r -，
2
2232πππ44h V h r h h r ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝
⎭
令0V '=, 得23
.3
h r =
即圆柱体的高为
23
r 时，其体积为最大. 6. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知
2
1π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭
得 21π
18π8
a x a y x x x -==-
6题图
截面的周长
2121
12π
()2πππ,
2424
π2()1,
4a a l x x y x x x x x x x x a
l x x
=++⋅=+-+=++'=+-
令()0l x '=得唯一驻点84π
a
x =
+，即为最小值点. 即当84π
a
x =
+时，建造材料最省. 7. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为
2222222
()1 1.5(3)(03)2.25(3)(3)1
()1 2.25(3)L x x x x x x x x L x x x =+++-<<+---+'=
++-
7题图
在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短. 8. 在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？ 解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.
23222
2
(2)44128V a x x x ax a x V x ax a
=-⋅=-+'=-+
令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6
a x =. 即小正方形边长为
6
a
时方盒容积最大. 习题3-5
1. 判定下列曲线的凹凸性：
2(1)4y x x =－； (2)sin(h )y x =；
1
(3) (0)y x x x
=+> ； (4) arctan y x x =.
解：(1) 42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.
(2)cosh ,sinh .y x y x '''==
由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<， 故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的. (3)23
12
1,0y y x x
'''=-
=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) 2
arctan 1x
y x x
'=+
+，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的. 2. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：
32(1) 535y x x x =-++； (2)e x y x -=； 4(3) (1)e x y x =++； ()
2(4) ln 1y x =+； arctan (5) e x y = 4(6) (12ln 7)y x x =－.
解：(1)2
3103y x x '=-+
610y x ''=-，令0y ''=可得5
3
x =.
当53x <时，0y ''<，故曲线在5
(,)3-∞内是凸弧；
当53x >时，0y ''>，故曲线在5
[,)3
+∞内是凹弧.
因此520,
327⎛⎫
⎪⎝⎭
是曲线的唯一拐点.
(2)(1)e , e (2)x
x
y x y x --'''=-=- 令0y ''=，得x =2
当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －
2)为唯一的拐点.
(3)32
4(1)e , e 12(1)0x x y x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点.
(4)2222
22(1)
, 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.
当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.
当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2). (5)arctan arctan 222
112e ,e 1(1)
x x
x y y x x -'''=
=++ 令0y ''=得1
2
x =. 当12x >
时，0y ''<，即曲线在1
[,)2+∞内是凸的； 当12x <时，0y ''>，即曲线在1
(,]2
-∞内是凹的，
故有唯一拐点1
arctan 21(,e
)2
. (6)函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.
324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=
令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.
当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7)
3. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：
()1(1) (0,0,,1)22n
n n x y x y x y n x y +⎛⎫>>>≠>+ ⎪⎝⎭
；
2e e (2)e ()2
x y x y x y ++>≠ ；
(3) ln ln ()ln
(0,0,)2
x y
x x y y x y x y x y ++>+>>≠ . 证明：(1)令 ()n
f x x =
12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ，
则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +
∀∈，
()()22f x f y x y f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
, 即 1()
22n
n n x y x y +⎛⎫<+ ⎪
⎝⎭
. (2)令f (x )=e x
()e ,()e 0x x f x f x '''==> .
则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠
则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫<
⎪
⎝⎭
即 2
e e e
2
x y
x y ++<.
(3)令 ()ln (0)f x x x x =>
1
()ln 1,()0(0)f x x f x x x
'''=+=
>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +
∀∈，x ≠y ，有
()()22f x f y x y f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
即 1
ln (ln ln )222
x y x y x x y y ++<+， 即 ln ln ()ln 2
x y
x x y y x y ++>+.
4. 求下列曲线的拐点：
23(1) ,3;x t y t t ==+ 2(2) 2cot ,2sin x a y a θθ==.
解：(1)22223
d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-==
令22d 0d y
x
=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4
当t >1或t <－1时，22d 0d y
x >，曲线是凹的，
当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d y
x
<，曲线是凸的，
故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).
(2)
32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )
y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 2224422
22
d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a
θθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d y x =，得π3θ=或π3
θ=-，
不妨设a >0tan θ>>ππ
33θ-<<时，22d 0d y x >，
当tan θ>tan θ<π3θ<-或π
3
θ>时，22d 0d y x <,
故当参数π3θ=
或π3θ=-时，都是y 的拐点，且拐点为3,2a ⎫⎪⎭及3,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭. 5. 试证明：曲线2
1
1
x y x -=
+有三个拐点位于同一直线上. 证明：222
21
(1)x x y x -++'=+，
23
2(1)(22(1)x x x y x +--+''=
+
令0y ''=，得1,22x x x =-=+=-当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；
当(1,2x ∈-时0y ''>；
当(22x ∈+时0y ''<；
当(2)x ∈+∞时0y ''>,
因此，曲线有三个拐点(－1，－1)
，(2-+. 因为
11
1212-+=0 因此三个拐点在一条直线上.
6. 问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？ 解：y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有
3
620
a b a b +=⎧⎨
+=⎩ 解得 39,22
a b =-=
. 习题3-6
1. 选择题： （1）曲线2
41
(2)
x y x -=
-（ ）. A.只有水平渐近线 B.只有铅直渐近线
C.没有渐近线
D.有水平渐近线也有铅直渐近线 （2）函数3
2ln
3x y x
+=-的水平渐近线方程为（ ）. A.2y = B.1y = C.3y =- D.0y =
（3）曲线2(1)
x y e +=-（ ）.
A.只有水平渐近线
B.只有铅直渐近线
C.没有水平渐近线和铅直渐近线
D.有水平渐近线也有铅直渐近线
（4）曲线2
21
(1)
x y x -=
-有（ ）. A.水平渐近线1y = B.水平渐近线12y = C.铅直渐近线1x = D.铅直渐近线1
2
x =
2. 求下列曲线的渐近线：
（1）
1x
e y x =
+； （2）2(1)(3)x y x x =+-； （3）ln(2)y x =+. 3. 作出下列函数的图形：
2
(1)()1x
f x x
=+； ()(2)2arctan f x x x =－；2(3) ()1x f x x =+； 2
(1)(4)e x y --=.
解：(1)函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,
222
22222
23
121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +--'==
++-''=
+
令0y '=，可得1x =±， 令0y ''=，得x =0，3±, 列表讨论如下：
x 0
(0，1) 1 (1，3) 3
(3，+∞)
y′ + 0 － －
－ y″ 0 －
－
－
0 + y
极大
拐点
函数有极大值1(1)2f =
，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为3,3,⎛⎫-- ⎪⎝(0，0)， 33,⎛⎫ ⎪⎝，作图如上所示.
(2) 函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,
2
222114(1)y x x
y x '=-
+''=
+ 令y ′=0，可得x =±1， 令y ″=0，可得x =0. X
0 (0，1) 1 (1，∞) y′ － 0 + y″ 0 + + Y
极小
又
()2
lim
lim(1arctan )1x x f x x x x
→∞
→∞=-= 且 lim[()]lim (2arctan )πx x f x x x →+∞
→+∞
-=-=-
故πy x =-是斜渐近线，由对称性知πy x =+亦是渐近线.函数有极小值π
(1)12
y =-，极大值π
(1)12
y -=
-.(0，0)为拐点.作图如上所示. (3)函数的定义域为,1x R x ∈≠-.
222
3
2(1)(2)(1)(1)(1)
2
(1)x x x x x y x x x y x +-+'==≠-++''=
+
令0y '=得x =0，x =－2
当(,2]x ∈-∞-时，0,()y f x '>单调增加； 当[2,1)x ∈--时，0,()y f x '<单调减少； 当(1,0]x ∈-时，0,()y f x '<单调减少； 当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0
又2
11lim ()lim
1x x x f x x
→-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.
又因
()
lim1
x
f x
x
→∞
=，且
2
lim(())lim1
1
x x
x
f x x x
x
→∞→∞
⎡⎤
-==-
-
⎢⎥
+
⎣⎦
，
故曲线另有一斜渐近线y=x－1.
综上所述，曲线图形为：
(4)函数定义域为(－∞，+∞) .
2
2
(1)
(1)2
2(1)e
e2(241)
x
x
y x
y x x
--
--
'=--
''=⋅-+
令0
y'=，得x=1.
令0
y''=，得
2
1
x=±
当(,1]
x∈-∞时，0,
y'>函数单调增加；
当[1,)
x∈+∞时，0,
y'<函数单调减少；
当
22
(,1[1,)
22
x∈-∞-++∞时，0
y''>，曲线是凹的；
当
22
[1]
x∈时，0
y''<，曲线是凸的,
故函数有极大值f(1)=1，两个拐点：
11
22
22
(1),(1,e)
22
A B
--
-+，
又lim()0
x
f x
→∞
=，故曲线有水平渐近线y=0.
图形如下：
习题3-7
1. 球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？ 解： 324d π,π,.3d r
V r A r v t
=
== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V r
r v t r t
A A r r v t r t
=⋅=⋅=⋅=⋅
2. 一点沿对数螺线e a r ϕ
=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率.
解：
d d d
e e .d d d a a r r a a t t
ϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅= 3. 一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.
解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕ
ϕϕϕ
⎧=⎨==⎩
d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t
y y a a t t
ϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=
4. 椭圆2
2
169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？ 解：方程2
2
169400x y +=两边同时对t 求导，得
d d 32180d d x y x y t t
⋅
+⋅= 由d d d d x y t t -
=. 得 16
1832,9
y x y x == 代入椭圆方程得：2
9x =，163,.3
x y =±=±
即所求点为1616,3,
3,33⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
5. 一个水槽长12m ，横截面是等边三角形，其边长为2m ，水以3m 3·min -1的速度注入水槽
内，当水深0.5m 时，水面高度上升多快？ 解：当水深为h 时，横截面为
212s h ==体积为
22
212V sh '====
d d 2d d V h h t t
=⋅ 当h =0.5m 时，31d 3m min d V
t
-=⋅.
故有
d 320.5d h
t
=⋅，
得
d d 4
h t = (m 3·min －
1). 6. 某人走过一桥的速度为4km ·h -1，同时一船在此人底下以8 km ·h -1的速度划过，此桥比
船高200m ，求3min 后，人与船相离的速度. 解：设t 小时后，人与船相距s 公里，则
d d s s t ===
且
()1120
d 8.16d t s
t -==≈⋅km h
7. 计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率.
解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ，
故 23/2
2.(1)
y k y ''
=
='+ 8. 计算曲线y chx =上点(0，1)处的曲率. 解：sinh ,cosh .y x y x '''==
当x =0时，0,1y y '''== ，
故 23/2
1.(1)y k y ''
=
='+ 9. 求曲线()ln sec y x =在点(),x y 处的曲率及曲率半径. 解：2
tan ,sec y x y x '''==
故 223/223/2
sec cos (1)(1tan )
y x k x y x ''==='++ 1
sec R x k
=
=. 10. 求曲线3
3
cos ,sin x a t y a t ==在0t t =处的曲率.
解： 22
d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d y y a t t
t t x x a t t t
===--， 22224
d d d(tan )1sec 1
(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x t a t t a t t t
--=-=⋅==-， 故 4
23/21
23sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t
==+-
且当t =t 0时， 0
2
3sin 2k a t =.
11. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：
(1)y ax b =+；(2)bx y ae =；(3)a y x = ，其中,,0a b R a ∈≠.
解：(1) y a '=即为边际函数.
弹性为：
1Ey ax
a x Ex ax
b ax b
=⋅⋅=
++, 增长率为： y a
ax b
γ=+.
(2)边际函数为: bx
y abe '=， 弹性为：
1
e e
bx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e e bx
y bx
ab b a γ=
=.
(3)边际函数为: 1
a y ax -'=.
弹性为：
11
a a Ey ax x a Ex x
-=⋅⋅=, 增长率为： 1.a y a ax a
x x
γ-== 习题三
1.填空题
（1）曲线(1)x
y x e -=+的拐点坐标为 21,
e ⎛⎫
⎪⎝⎭
. （2）曲线()1ln 0y x e x x ⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭的斜渐近线方程为 1y x e
=+ . （3）函数()ln(1)f x x x =+的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式是 ()3
2
32
x x x ο++ . （4）曲线ln y x =在点(1,0)处的曲率为 2
4
. 2.选择题 （1）已知极限0arctan lim
k x x x
c x
→-=，其中,k c 为常数，且0c ≠，则（D ） A.12,2k c ==- B.1
2,2k c ==
C.13,3k c ==-
D.1
3,3
k c ==
（2）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，其导函数的图形如下图所示，则曲线
()()y f x a x b =≤≤的所有拐点为（ B ）.
选择题（2）图
A.112233(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x
B.112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x
C.1122(,()),(,())x f x x f x
D.3344(,()),(,())x f x x f x
（3）曲线2
3
4
(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( C ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)
（4）曲线221
x x
y x +=-的渐近线条数为( C )
A.0
B.1
C.2
D.3
（1）D （2）B （3）C （4）C
3. 对函数()sin f x x =及()cos g x x x =+在[0,
]2
π上，证柯西定理的正确性.
验证：()f x ，()g x 在[0,]2π
上连续，在(0,)2
π
内可导，且()1sin 0g x x '=-≠，满足柯西定理的条件.
由 π
()(0)()2π()()(0)2f f f g g g ξξ-'='-,得 2cos πcot()π21sin 42ξξξ==---, 故ππ2π2arctan (0,)222
ξ-=-∈满足柯西定理的结论.
4. 设()f x 在[,]a b 上有(1)n -阶连续导数，在(,)a b 内有n 阶导数，且
(1)()()()()0.n f b f a f a f a -'=====试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使
()()0n f ξ=.
证明：首先，对()f x 在[,]a b 上应用罗尔定理，有1(,)a a b ∈，即1a a b <<，使得1()0f a '=；其次，对()f x '在[,]a b 上应用罗尔定理，有21(,)a a b ∈，即12a a a b <<<， 使得
2()0; ,f a ''=一般地，设在(,)a b 内已找到1n -个点121,,,,n a a a -其中
121,n a a a a b -<<<
<<使得(1)1()0n n f a --=，则对(1)()0n f x -=在1[,]n a b -上应用罗尔
定理有1(,)(,),n a b a b ξ-∈⊂使得()
()0n f
ξ=.
5. 求函数1
()f x x
=
在01x =-处的n 阶泰勒公式. 解：
1
21
2
1
1(1)(1)
1(1)
n n
n
n n x x x x x x θ+++=--++-+-++ 122
11()1[(1)]
(1) {1(1)(1)(1)} (01).[1(1)]
n n
n f x x x x x x x x θθ++∴=
=-+-++=-+++++
+++<<-+
6. 求函数e e 2
x x
y -+=的2n 阶麦克劳林展开式.
解：
2221222122212
211e e [e e ][11]222!(2)!(21)!2!(2)!(21)!
1e e [222]22!(2)!(21)!
12!
(2)n n x n n x x x n x x n n x x x x x x y x x n n n n x x x n n x x n θθθθ++---+=+=+++
+++-+++-++-=+⋅+
+++=++
+21e e (01).!2(21)!
x x n x n θθθ-+-+<<+
7. 设()f x 在0x 的某区间上，存在有界的二阶导函数.证明：当x 在0x 处的增量h 很小时，用增量比近似一阶导数0()f x '的近似公式
000()()
()f x h f x f x h
+-'≈
,
其绝对误差的量级为()O h ，即不超过h 的常数倍. 证明：0()f x h +在0x 处泰勒展开式为 2
0000()()()() (01)2
f x h f x h f x f x h h θθ''+'+=++<<,
则0000()()()
()2
f x h f x f x h f x h h θ''+-+'-
=,
又知 0()f x h M θ''+≤,故 0()22
f x h M
h h θ''+≤,
即000()()
()f x h f x f x h
+-'≈
的绝对误差为()O h .
8. 利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.
解：2345
5ln(1) (01)2345(1)
x x x x x x x θθ+=--+-<<+
234
(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++=
555
5
(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5
n R θ-=<≈⨯+ 9. 计算0.2
e
的近似值，使误差不超过3
10-.
解：234
e e 1 (01)2624
x x
x x x x θθ=++
++<< 23
0.2
(0.2)(0.2)e
10.2 1.2213 1.22126
≈+++=≈
0.2444e 31
(0.2)(0.2)(0.2)0.20.00020.00124248
R θ⨯=⨯<⨯=⨯≈<
10. 利用洛必达法则，求下列极限：
(1) 2lim (arctan )π
x
x x →+∞⋅; (2) 1
0lim(1sin )x x x →+;
(3) 0
lim[ln ln(1)]x x x +
→⋅+;
(4) lim )x x →+∞
; (5) sin 0e e lim sin x x
x x x →--; (6) 21
0sin lim(
)x x x x
→; (7) 11
01
lim[(1)]e
x x x x →+；
(8) ()11
0ln 1lim x e x x x -→+⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
；
(9) ()2
12lim[
]ln 12x x
x x x →+-+ ；
(10) 0
11lim[1x x x e →⎛⎫-
⎪-⎝⎭
. 解：⑴令2(arctan )π
x
y x =⋅，则
2222211ln
ln arctan πarctan 1lim ln lim lim
11
12
lim arctan 1π
x x x x x x x y x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞+⋅+==-=-⋅=-
+
∴原式=2π
e
-.
⑵令1(1sin )x
y x =+，则
000cos ln(1sin )
1sin limln lim lim 11x x x x
x x y x →→→++=== ∴原式=e =e '.
⑶原式00ln lim(ln )lim 1x x x x x x ++→→=⋅=002
1
=lim
=lim()01x x x x x
++
→→-=-
⑷原式lim
x x
→+∞
=
22342
32311111=lim (1)(23)=33x x x x x x x x ----→+∞+++⋅++⋅
⑸原式sin sin 0e (e 1)lim
sin x x x x x x -→-=-sin 0
0e (sin )=lim =e =1sin x x x x x x →⋅-- ⑹令1
2
sin ()x x y x
=，则 200023
002220011cos ln sin ln sin lim ln lim lim 2cos sin cos sin lim lim 2sin 2cos sin cos 1
lim lim .666
x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x
x x x x x x x x x x →→→→→→→-
-==--==---===-
∴原式=1
6
e -.
⑺令111[(1)]e x x y x =+，则1
1
ln [ln(1)1]x y x x
=+-
200001
1
ln(1)1lim ln lim lim 2111
lim .
212
x x x x x x
x y x x x →→→→-+-+===-=-+
∴原式=12
e -.
⑻解：原式=2
1111)
1()1ln(lim
)1ln(1)1ln(02
01]))1ln((
1[lim e e e
x
x
x x x e x x
x x
x
x e x x x x x x x ===-++-+--+-+-+→→-
⑼
⑽()0
0200001
11111lim lim lim lim 1221x x x x x x x x x e x e x e x e x x x e →→→→-----⎛⎫-=== ⎪--⎝
⎭ 11. 求下列函数的极值:
(1) y =
(2) 22344
1x x y x x ++=++； (3) e cos x
y x =； (4) 1
x
y x =； (5) 2e e
x
x
y -=+； (6) 23
2(1)y x =--；
(7) 13
32(1)y x =-+； (8) tan y x x =+. 解
: (1)y '=
,令0y '=，得驻点125
x =
. 当125x >
时， 0y '<；当125x <，0y '>,
故极大值为12()5y =. (2)2
1
31
x y x x +=+
++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.
2223
(22)(1)2(21)(2)
(1)x x x x x x y x x --+++++''=++
200,0x x y y =-=''''><,。