高数第三章习题

习题3-1

1. 验证：函数()lnsin f x x =在π5π

[,

]66

上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.

证：()lnsin f x x =在区间π5π[,

]66上连续，在π5π

(,)66

上可导，且π5π()()ln 266

f f ==-，即在π5π

[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存

在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上，由cos ()cot 0sin x

f x x x

'===得

ππ5π(,),266

x =∈故取π

2ξ=，可使()0f ξ'=.

2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的ξ？

⑴ 2, 01,

() [0,1] 0, 1,

x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩；

⑵ ()1, [0,2] f x x =-；

⑶ sin , 0π,

() [0,π] . 1, 0,

x x f x x <≤⎧=⎨

=⎩

解：⑴ ()f x 在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x '=<<，即在（0，1）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.

⑵ 1, 12,

()1, 0 1.

x x f x x x -≤<⎧=⎨

-<<⎩

(1)f '不存在，即()f x 在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件. 而1, 12,

()1, 0 1.

x f x x <<⎧'=⎨

-<<⎩

即在（0，2）内不存在ξ，使()0f ξ'=.罗尔定理的结论不成立.

⑶ 因(0)1(π)=0f f =≠,且()f x 在区间[0,π] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x '=<<,取π

2

ξ=

，使()0f ξ'=.有满足罗尔定理结论的

π2

ξ=

. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.

3. 函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？ 解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得

1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于

(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内.

4. 验证：拉格朗日定理对函数3

()2f x x x =+在区间[0，1]上的正确性.

验证：因为()f x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-得2322ξ=+ 解得

ξ=

，即存在ξ=使得拉格朗日定理的结论成立. 5. 如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：()()f b f a >.

证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ∃∈<<，使得()()

()0f x f a f x a

ξ''-''=>-,

于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >

6. 设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.

证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且

()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使

得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.

7. 已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，

b ）内至少有一点ξ，使得

()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.

证明：令()()e ,x

F x f x =⋅()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，即()e ()e 0f f ξ

ξ

ξξ'+=,即

()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈

8. 证明恒等式：

2

22arctan arcsin

π (1).1x

x x x

+=≥+ 证明：令2

2()2arctan arcsin 1x

f x x x =++,

22

2222

2

2(1)22()1(1)22

011x x x

f x x x x x

+-⋅'=++=-=++ 故()f x C ≡，又因(1)πf =,所以()πf x =,即2

22arctan arcsin π.1x

x x +=+ 9. 利用麦克劳林公式，按x 乘幂展开函数2

3

()(31)f x x x =-+.

解：因为()f x 是x 的6次多项式，所以

(4)(5)(6)23456

(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0).2!3!4!5!6!

f f f f f f x f f x x x x x x ''''''=++++++

计算出：(0)1,(0)9,(0)60,(0)270f f f f ''''''==-==-， (4)

(5)(6)(0)720,(0)1080,(0)720.f

f f ==-=

故2

3

4

5

6

()193045309.f x x x x x x x =-+-+-+ 10. 利用泰勒公式求下列极限：

⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 2

1lim[ln(1)].x x x x

→∞-+ 解：⑴

3

4sin 0()3!

x x x x =-+