2010IMO中国国家队练习题42题

2010IMO中国国家队培训42题

各位队员大家好，下面是我为挑选的一些问题，供各位在4月-6月自己练习用，请每位队员认真思考、琢磨。要求用A4纸写解答，每张纸上写上题号，每个没做过的问题都要求写出详细解答过程，以此锻炼自己的书写、表达能力。对做过的题目，如有好的解答(不必刻意去追求)也请写出。平均分配时间，在6月10日报到时上交，可以包含在80个作业题内。希望大家在这段时间内水平能再上一个台阶。

1．设凸四边形ABCD有一个内切圆,圆心为O,直线AC,BD交于点P;AB,CD交于点Q;AD,BC交于点R.证明:OP⊥QR.

2．设ΔABC、ΔPQR满足：A、P分别是QR、BC的中点,直线QR、BC分别是∠BAC、∠QPR的内角平分线.证明：AB+AC=PQ+PR.

3．以O1,O2,O3为圆心的三个圆有一个公共交点Q,它们两两相交所得的另外一个交点分别为A,B,C.证明:若A,B,C三点共线,则Q,O1,O2,O3四点共圆.

4．设ABCD为一个凸四边形,O为该四边形的对角线的交点.证明:若三角形OAB,OBC,OCD,ODA的内切圆半径相同,则四边形ABCD为菱形.

5．设P 为三角形ABC 所在平面上一点,一个过P 的圆Γ分别交三角形PBC,PCA,

PAB 的外接圆于点A 1,B 1,C 1,直线PA 1,PB 1,PC 1分别交边BC,CA,AB 于点A 2,B 2, C 2,直线PA,PB,PC 分别交圆Γ于点A 3,B 3,C 3.证明: (1) 点A 2,B 2,C 2三点共线;

(2) 直线A 1A 3,B 1B 3,C 1C 3三线共点.

6．圆内接四边形ABCD 的对角线AC=1,设AB,BC,CD,DA 的长分别为a,b,c,d.证明:数ad+bc 夹在c b 和b

c

之间.

7．对每个正整数n,证明:存在唯一(在不相似的意义下)的三角形ABC,使得∠MBH=n ∠ABM=n ∠CBH,这里M,H 为BC 上的点,BM 为该三角形的一条中线,而BH 为高.并求三角形ABC 的各内角的大小(用n 表示).

8．设平行四边形ABCD 内有一点P ，ΔP AD 、ΔPBC 的外接圆还交于Q ，ΔP AB 、

ΔPCD 的外接圆还交于R ，证明：QR 的中点就是平行四边形的中心.

9．设D 、E 、F 分别在ΔABC 的边BC 、CA 、AB 上，且AD 、BE 、CF 交于一点G ，把ΔABC 划分成6个小三角形，求证：这6个小三角形的外心共圆的充要条件是G 为ΔABC 的重心. 10．

两个边长为0.9的正方形都在一个半径为1的圆内,证明:这两个正方形有

重叠部分. 11．

设n 为正整数,对i ∈{1,2,…,n},数x i 都属于(0,

2

π

),数a i 都不小于1.证明:

211()()sin tan i i n

n

a a i i i i i i

x x

x x ==+∏∏>2.

12．

设x 1,x 2,…,x n 为正实数,记f n (x 1,x 2,…,x n )=∑

=+++n

i i i i

x x x 12

1,这里x n+1=x 1, x n+2=x 2.

证明下述结论:

(1) f n (x 1,x 2,…,x n )>4

n

;

(2) 若x 1≥x 2≥…≥x n >0,则f n (x 1,x 2,…,x n )≥2n

;

(3) 若0

n

；

(4) 若存在c>0,使得对任意正实数x 1,x 2,…,x 2n ,都有f 2n (x 1,x 2,…,x 2n )≥c,则对任意

正实数x 1,x 2,…,x 2n-1,都有f 2n-1(x 1,x 2,…,x 2n-1)≥c-21

.

13．

(1) 设函数f,g:Z →Z 都是单射.证明:函数h:Z →Z 不是一个满射,这里

h(x)=f(x)g(x).

(2) 设函数h:Z →Z 是一个满射.证明:存在两个满射f,g:Z →Z,使得h(x)=f(x)g(x). 14．

设D 是由正整数组成的非空有限集,且D 中所有元素的最大公约数等于

1.证明:存在一个双射f:Z →Z,使得对任意整数n,有|f(n)-f(n-1)|∈D. 15．

证明:存在无穷多对本原的勾股数(a,b,c)和(x,y,z),使得|a-x|,|b-y|,|c-z|都等

于3或4.例如(12,5,13)与(15,8,17),(77,36,85)与(80,39,89)都符合要求.

16．

给定正实数ε,我们称正整数n 为一个“ε－数”:如果存在正整数a,b,满足

n=ab,且a ≤b<(1+ε)a.证明:存在无穷多个正整数n,使得n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5都是“ε－数”. 17．

求满足下述条件的所有正整数组(a,b,x,y):

(a+b)x =a y +b y . 18．

设b 是大于5的整数,对每个正整数n,考虑b 进制下的数x n =.证明:“存在一个正整数M,使得对于任意大于M 的整数n,数x {5221113

21L L 个

个

n n −n 是一个完全平方数”的充要条件是b=10. 19．

称不满足|n|是完全平方数的整数n 为好数.

求所有满足下述性质的所有整数m:数m 可以用无穷多种方式表示为三个好数的和,并且这三个好数的乘积一个奇数的平方.