MBA数学概率常见问题以及方法

概率常见问题以及方法一、基本古典概型问题

（1）古典概型公式：()m

P A

n

=.

（2）古典概型的本质实际上是排列组合问题，所以上一节课总结的排列组合的方法及题型，在此问题中适用.

（3）常用正难则反的思路(对立事件).

例1.已知10件产品中有4件一等品，从中任取2件，则至少有1件一等品的概率为（）.

(A)1

3

(B)

2

3

(C)

2

15

(D)

8

15

(E)

13

15

【解析】任取2件，没有一等品的概率为

2

6

2

10

1

3

C

C

=，，故至少有一件一等品的

概率为

12 1

33 -=.

【答案】B

例2.某公司有9名工程师，张三是其中之一，从中任意抽调4人组成攻关小组，包括张三的概率是（）.

(A)2

9

(B)

2

5

(C)

1

3

(D)

4

9

(E)

5

9

【解析】选张三，再从其余的8个人中任意选3个即可，即为3

8

C；故包括

张三的概率为

3

8

4

9

4

9

C

P

C

==.

【答案】D

例3.将2个红球与1个白球随机地放人甲、乙、丙三个盒子中，则乙盒中至少有一个红球的概率为（）.

(A)1

9

(B)

8

27

(C)

4

9

(D)

5

9

(E)

17

27

【解析】方法一：可分为两类：

乙盒子中有1个红球：先从2个红球中选1个放入乙盒子，另外1个红球在

甲、丙两个盒子中任选一个，白球在3个盒子中任意选择，即11

223

C C⋅⋅；

乙盒子中有2个红球：先将2个红球放入乙盒子，白球可以在3个盒子中任意选择，即1

3C ;

所以，概率为111

2233

35

39

C C C ⋅⋅+=. 方法二：剔除法.

乙盒中没有红球，则红球在甲丙两个盒子中任意选择，白球在3个盒子中任

意选择，即2

1

3

2C ⋅，所以乙盒中至少有1个红球的概率为21

3325

139

C ⋅-=.

二、古典概型之骰子问题 （1）骰子问题必用穷举法.

（2）常与解析几何结合考查，一般需要转化为不等式求解.

例1若以连续掷两枚骰子分别得到的点数a 与b 作为点M 的坐标，则点M 落入圆2218x y +=内(不含圆周）的概率是（）.

(A)

736

(B)

29

(C)14

(D)

518

(E)

1136

【解析】点M 落入圆2218x y +=内，即2218a b +<，则

()(),1,1a b =、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()4,1，

共计10种，所以，落在圆内的概率1053618

P =

=. 【答案】D

例2若以连续两次掷色子得到的点数a 和b 作为点P 的坐标，则点(),P a b 落在直线6x y +=和两坐标轴围成的三角形内的概率为（）.

(A)16

(B)

736

(C)29

(D)

14

(E)

518

【解析】落在三角形内部，只需要6a b +<即可，利用穷举法可知，P 点可以为：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()4,1共计10种，总共的不同可能点数为6×6＝36(种).故所求概率为1053618

P =

=. 【答案】E

三、古典概型之几何体涂漆问题

将一个正方体六个面涂成红色，然后切成3n 个小正方体，则 （1）3面红色的小正方体：8个，位于原正方体角上. （2）2面红色的小正方体：()122n -个，位于原正方体棱上.

（3）1面红色的小正方体：()2

62n -个，位于原正方体面上(不在棱上的部分).

（4）没有红色的小正方体：()32n -个，位于原正方体内部.

例1．将一个白木质的正方体的六个表面都涂上红漆，再将它锯成64个小正方体.从中任取3个，其中至少有1个三面是红漆的小正方体的概率是（ ）.

(A)0.065

(B)0.578

(C)0.563

(D)0.482

(E)0.335

【解析】3面有红漆的小正方体位于大正方体的顶点上，有8个；任取3个至少1个三面是红漆的反面是任取3个没有1个三面是红漆，故所求概率为

356364165110.335248

C P C =-=-≈.

【答案】E

例2．将一块各面均涂有红漆的正立方体锯成125个大小相同的小正立方体，从这些小正立方体中随机抽取一个，所取到的小正立方体至少两面涂有红漆的概率是（ ）.

(A)0.064

(B)0.216

(C)0.288

(D)0.352

(E)0.235

【解析】小立方体位于大正立方体的角上时，有3面为红色，数量为8个；小立方体位于大正立方体的棱上时，有2面为红色，数量为36个.故所求概率

44

0.352125

P =

=. 【答案】D

练习： 将一个表面漆有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中，一点红色也没有的小正方体有3块，那么原来的长方体的表面积为（ ）平方厘米.

(A)32

(B)64

(C)78

(D)27

(E)18

【解析】没有红色的小正方体位于原来的长方体的内部，这三个小正方体一定是一字排开的，长宽高分别为1，1，3；所以，原长方体的长宽高应为3,3,5.