初中经典几何模型鉴赏
初中数学几何模型
全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是°、°、°、°及有一个角是°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇度旋度，造等边三角形遇度旋度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋度，造中心对称说明：IS 8模型变形BEFcEB说明：说明：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn口叩皿皿皿皿皿中点模型 边构诗中｛fflt 逢阳点闵iS 中幽城 几何最值模型 VH *h 轴对称模型 对称最值 线mi 差模型 fflftffw 同侧"异侧两蜒段之利罐短视它 同侧、异删芮线投之羞媪小槐型 四边形周怏垠小根地 三角形眉长 必小檢哩三线穀之和 她知爬制过桥模取旋转最值说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
简拼模型三角形j四边形E 面积等分说明：说明：3045602说明：ACOCOAA 模型一：手拉手模型-旋转型全等<2)等濮的AA Mfr=血°拟述°均为等媵直甬M 册A 结险(DA (UCtAO^l>j 超乙他»③。
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中考数学几何模型专题专题十—经典模型
专题十经典模型模型53 “胡不归”模型模型故事从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?模型展现基础模型怎么用?1．找模型直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求kAP+BP的最小值2.用模型构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可 模型分析如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下: 一找:找带有系数k 的线段kAP ;二构:在点B 异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形; ①以定点A 为顶点作①CAP ,使得sin ①P AC =h ; ①过动点P 作垂线构造Rt ①P AC ; 三转化:化折为直,将kAP 转化为PC ;四求解:使得hAP +BP =PC +BP ,利用“垂线段最短”转化为求BD 的长度.拓展延伸熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP +BP 中系数k 发生变化时,所构造的直角三角形也会发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01sin 30 =2，0sin 60，0sin 45 =2，03sin 375，04sin 53 5例1如图， 在①ABC 中，AC =6，①A =30°，点D 是AB 边上一动点，（点拨：两定点A 、C ，动点D ，含特殊角30°）则12AD CD 的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,考虑“胡不归”）考什么?直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短.思路点拨哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.例2如图, 在平行四边形ABCD中,①DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边上的一动点，则22PB PD（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值为_____________考什么?平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）全等变换平移：平行线段平移形成平行四边形。
对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称全等。
旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。
对称半角模型通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。
旋转全等模型半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。
自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。
共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。
中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。
模型变形当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
几何最值模型对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
剪拼模型通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。
正方形的边长可以通过射影定理来求解。
假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得到正方形的边长为x=x√2/2.通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。
这可以通过旋转相似模型来实现。
例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。
更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。
在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。
相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。
另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。
2024年中考经典几何模型
求B，D两点的坐标.
解：如图3，过点作 ⊥ 轴于，
∵ 点的坐标为 , − ，点的坐标为 , ，
∴ = ， = .
∵ 在 △ 中，∠ = ∘ ， = ，
又∵ ∠ + ∠ = ∘ ，∴ ∠ = ∠.
∠ = ∠,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ = ∘ ,
�� = ,
∴△ ≌△ .
∴ = , = ，∴ = − = − ,
设直线的表达式为 = + ≠ ，
+ = ,
∵ , ， −, ，∴
解得
− + = ,
=− ,
= ,
∴ 直线的表达式为 =
−
∵ 直线与轴交于点，∴
+
.
(, ).
2.如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在
∴ = + = + = + = .
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，.
解：结论： = − .理由如下：
∵ ∠ = ∘ ，∴ ∠ + ∠ = ∘ ，
∴ ∠ + ∠ = ∘ ，
同理：∠ + ∠ = ∘ .
又∵ ∠ + ∠ = ∘ ，
∴ ∠ = ∠,∠ = ∠.
∠ = ∠,
在△ 和△ 中， = ,
∠ = ∠,
∴△ ≌△ ，∴ = , = ，
⊥ 轴，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∘ ，
初中数学几何模型大全
初中数学几何模型大全全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
个角是 30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方 形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型 半角：有一个角含 1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：上图依次是 45°、30°、22.5 15°及有一说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60 度旋60 度，造等边三角形遇90 度旋90 度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180 度，造中心对称说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“ 8 ”字模型可以证明。
共旋转模型模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形 的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混 用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证几何最值模型对称最值（两点间线段最短）对称最值（点到直线垂线段最短）说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。
这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。
同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。
如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。
在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。
题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。
证明CD等于GF。
题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。
证明△PBC是正三角形。
题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。
证明A2B2C2D2是正方形。
题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。
证明∠DEN＝∠F。
题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。
1）证明AH等于2OM；2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。
1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。
PB+PC>BC。
PC+PA>CA。
将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。
2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。
由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。
初二数学30个重点几何模型
初二数学30个重点几何模型初二数学重点几何模型一、直线与角直线是几何中最基本的概念之一。
直线无法直接测量，但可以通过两个点的连线得到一条直线。
直线没有宽度和长度，只有方向。
在几何中，直线通常用字母表示。
角是由两条直线共享一个公共端点而形成的图形。
角度用度数来衡量，通常用小圆圈表示。
角度可以分为钝角、直角、锐角和平角四种类型。
钝角大于90度，直角等于90度，锐角小于90度，平角等于180度。
二、三角形三角形是由三条线段相连而形成的多边形。
三角形有很多种类，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，直角三角形则有一个角度等于90度。
三、四边形四边形是由四条线段相连而形成的多边形。
四边形有很多种类，包括正方形、矩形、平行四边形等。
正方形的四条边长度相等且四个角都是直角，矩形的四个角都是直角，平行四边形的对边平行且长度相等。
四、圆与圆周圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的图形。
圆周是圆的边界，也是圆的周长。
圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为弦。
圆周上的任意点与圆心相连，形成的线段称为半径。
圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为直径。
五、多边形多边形是由多条线段相连而形成的封闭图形。
多边形的边数可以是任意大于等于3的整数。
多边形根据边的长度或角的大小可以分为等边多边形、等角多边形和正多边形等。
等边多边形的所有边长度相等，等角多边形的所有角度相等，正多边形既是等边多边形又是等角多边形。
六、相似与全等相似是指两个图形的形状相似，但大小不同。
相似的图形具有对应角度相等和对应边成比例的特点。
全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
全等的图形具有对应边相等和对应角度相等的特点。
七、平面镜与对称平面镜是一种可以反射光线的镜子。
平面镜的特点是光线入射角等于反射角，入射光线、反射光线和法线三者在同一平面上。
对称是指图形通过某个中心轴线或中心点对折后，两边或两部分完全重合。
完整版)初中数学经典几何模型
完整版)初中数学经典几何模型初中数学经典几何模型（模型即套路），是初中数学里的重要部分。
在解决几何证明问题时，我们可以运用这些模型，从而更加高效地解决问题。
人们常说几何很困难，其中一个难点就在于辅助线的运用。
为了更好地运用辅助线，我们需要把握定理和概念，并且刻苦加钻研，找出规律凭经验。
在绘制图形时，我们可以利用角平分线向两边作垂线，或者将图形对折来寻找对称关系。
利用角平分线的平行线，我们可以构造等腰三角形。
同时，我们也可以尝试将角平分线加上垂线，从而将三条线合为一条。
线段垂直平分线时，我们可以将线段向两端延长或缩短来验证线段的倍数与半数关系。
在三角形中，连接两中点可以构造出中位线，同时延长中线也可以等于中线。
对于平行四边形，我们可以找到对称中心等分点。
在梯形中，我们可以利用高线平移一腰来解决问题。
同时，平行移动对角线，补成三角形也是常见的方法。
当证明相似时，我们可以通过比线段，添加平行线来构造相似三角形。
在等积式子比例换时，寻找线段也是很关键的。
直接证明有困难时，我们可以通过等量代换来简化问题。
在计算圆的相关问题时，我们可以利用半径与弦长计算，或者利用勾股定理来计算切线长度。
同时，在判断是否为切线时，我们可以通过半径垂线来进行辨别。
在解决相交圆的问题时，我们需要注意作公共弦。
对于内外相切的两个圆，我们可以通过切点来构造公切线。
同时，我们也可以利用连心线来确定切点。
在绘制图形时，我们需要注意勿改变虚线的位置。
基本作图也是很关键的，我们需要熟练掌握。
在解题时，我们需要多动脑筋，经常总结方法。
同时，我们也需要注意方法的灵活性，不要盲目乱添线。
在选用分析综合方法时，我们需要根据具体情况进行选择。
最重要的是，我们需要虚心勤学，加以苦练，才能在数学上取得更好的成绩。
斜边上作高线，比例中项一大片。
--。
在斜边上作高线，可以得到比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
--。
通过计算半径和弦长，可以得到弦心距。
初中数学几何模型大全
几何模型大全---第一部分一、全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转模型一：对称全等模型以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
模型二：对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
模型三：旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（一）旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
（二）自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称（三）共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
（三）中点旋转模型说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
初中数学几何模型大全及解析
初中数学几何模型大全及解析几何是数学中的重要分支，它研究的是形状、大小、结构和空间关系等内容。
初中数学中的几何部分主要包括平面几何和立体几何两个方面。
为了更好地理解和应用几何知识，我们可以通过各种模型来帮助我们进行学习和解析。
本文将介绍一些常见的初中数学几何模型及其解析，帮助学生更加直观地理解几何概念。
一、平面几何模型1. 平面图形模型平面图形模型可以通过纸片、卡纸或者其他材料制作而成。
例如，矩形模型可以通过两个相等的矩形纸片叠放而成，学生可以直观地观察到矩形的性质，如长宽相等、对角线相等、相邻边互相垂直等。
类似地，三角形、正方形、梯形等不同的图形也可以通过相应的材料来制作模型，帮助学生更好地理解其性质和特点。
2. 折纸模型折纸模型是平面几何中常用的模型之一。
学生可以通过纸张的折叠来制作出不同的图形。
例如，通过将一个正方形纸张对折，可以制作出一个正方形、一个矩形或者一个等边三角形。
通过折纸模型的制作和观察，学生可以更好地理解各种图形的性质，并且锻炼了空间想象能力和手工操作能力。
3. 各类角度模型角度是几何中的重要概念。
为了更好地理解和判断各类角度，可以使用角度模型进行学习和实践。
例如，通过两条相交的直线和一把量角器或者两个相等的直角三角形，可以制作出不同的角度模型，比如直角、锐角和钝角。
通过观察和实践，学生可以深入了解角度的概念和性质，并且能够通过角度模型进行角度测量和判断。
二、立体几何模型1. 空间几何模型立体几何模型可以帮助学生更好地理解和判断空间关系。
例如，通过连接适量的珠子和棍子，可以制作出不同的空间模型，如正方体、长方体、圆柱体等。
这样的模型能够帮助学生深入理解不同立体图形的性质，如面数、棱数和顶点数，并且能够帮助学生进行体积和表面积的计算。
2. 立体切割模型立体切割模型可以将复杂的立体图形简化为多个平面图形的组合。
例如，通过将一个长方体切割成多个长方形和正方形，可以帮助学生更好地理解长方体的各种性质和关系。
初中数学几何模型大全+经典题型及答案解析
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
初中数学经典几何模型总结上册
初中数学经典几何模型总结上册几何图形初步模型（一）线段双中点 (2)几何图形初步模型（二）——双角平分线 (6)相交线与平行线模型（三）——猪蹄模型 (11)相交线与平行线模型（四）——铅笔头模型 (15)相交线与平行线模型（五）——锯齿模型 (20)三角形模型（六）——8字模型 (23)三角形模型（七）——飞镖模型 (28)三角形模型（八）——A字模型 (32)三角形模型（九）——老鹰抓小鸡模型 (35)三角形模型（十）——双角平分线模型 (38)全等三角形模型（十一）——K型模型 (44)全等三角形模型（十二）——手拉手模型 (48)全等三角形模型（十三）——倍长中线模型 (53)全等三角形模型（14）——平行线中点模型 (56)全等三角形模型（十五）——雨伞模型 (60)全等三角形模型（十六）——半角模型 (63)全等三角形模型（十七）——胖瘦模型（SSA） (70)轴对称模型（十八）——将军饮马模型 (75)轴对称模型（十九）——海盗埋宝模型 (82)轴对称模型（二十）——婆罗摩笈多模型 (86)几何图形初步模型（一）线段双中点◎结论1：已知点C 在线段AB 上，点M、N 分别是AC，BC 的中点，则MN=21AB.【证明】∵点M、N 分别是AC，BC 的中点，∴CM=21AC，CN=21BC 【奇思妙想消消消：等号左边CM，CN 消掉共同字母C,得MN。
等号右边21AC，21BC 消掉共同字母C，得21AB】∴MN =CM+CN =21AC+21BC =21（AC+BC）=21AB ◎结论2：已知点C 在线段AB 延长线上，点M、N 分别是AC，BC 的中点，则MN=21AB.【证明】∵点M、N 分别是AC，BC 的中点，∴MC=21AC，NC=21BC，【奇思妙想消消消：等号左边MC，NC 消掉共同字母C,得MN。
等号右边21AC，21BC 消掉共同字母C，得21AB】∴MN =MC -NC =21AC-21BC =21（AC -BC）=21AB ○巧○记○口○诀一半一半又一半已知点C 是线段BA 延长线上一点，点M，N 分别是AC，BC 的中点，则MN=21AB无论线段之间的和差关系如何变，MN 的长度只与AB 有关.即MN=21AB.1.（2022·山西晋城·七年级期末）已知线段5cm AB =，在线段AB 上任取一点C ，其中线段AC 的中点为E 、线段BC 的中点为F ．则线段EF 的长度是_______．2.（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校七年级期末）如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点．(1)若AM =1，BC =4，求MN 的长度．(2)若AB =6，求MN 的长度．1．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，线段13cm AB =，点C 是线段AB 上一点，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的长为__________cm ．2．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB =10cm ，线段AC =16cm ，且AB 、AC 在同一条直线上，点B 在A 、C 之间，此时AB 、AC 的中点M 、N 之间的距离为（）A ．13cmB ．6cmC ．3cmD ．1.5cm 3．（2022·云南保山·七年级期末）如图，点M 是AB 的中点，点N 是BD 的中点，AB ＝6cm ，BC ＝10cm ，CD ＝8cm ．则MN 的长为（）A ．12cmB ．11cmC ．13cmD ．10cm4．（2021·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）如图，已知线段AB ＝12cm ，点C 为线段AB 上的一个动点，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点．(1)若AC ＝4cm ，求DE 的长；(2)若把“点C 在线段AB 上”改为“点C 在直线AB 上”，当AC ＝4cm 时，求DE 的长．（请画出图形，说明理由）5．（2022·山东·龙口市培基学校期中）如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点．(1)若AM ＝2，BC ＝8，求MN 的长度；(2)若AB ＝14，求MN 的长度．1．（2018·湖南邵阳·中考模拟）如图，点C 在线段AB 上，点,M N 分别是AC BC 、的中点．（1）若9,6AC cm CB cm ==，求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB acm +=，其它条件不变，你能求出MN 的长度吗？请说明理由．（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC bcm M N -=分别为AC 、BC 的中点，你能求出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．2．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C D 、是线段AB 上的两个点，点M N 、分别为AC BD 、的中点．（1）若16AB cm =，6CD cm =，求AC BD +的长和M N ，的距离；（2）如果AB m =，CD n =，用含m n ，的式子表示MN 的长．几何图形初步模型（二）——双角平分线◎【结论1】如图，已知OP 为∠AOB 内一条射线，OM 平分∠BOP，ON 平分∠AOP，则∠MON=21∠AOB【证明】∵OM 平分∠BOP，ON 平分∠AOP，∴∠POM=21∠BOP，∠PON=21∠AOP，∴∠MON=∠POM+∠PON=21∠BOP+21∠AOP =21（∠BOP+∠AOP）=21∠AOB【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON 消掉共同字母P,得∠MON。
初中数学几何模型大全及解析
初中数学几何模型大全及解析一中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE．（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.二角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为 .三手拉手模型【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 .四邻边相等的对角互补模型五半角模型六一线三角模型七弦图模型八最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】综合练习已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．⑴求证：EG=CG且EG⊥CG；⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？。
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中点模型
【模型1】倍长
、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交A
角平分线模型
1】构造轴对称
2】角平分线遇平行构造等腰三角形
【条件】结
论
】
OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠，，OAC OBD ≅V V ；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；
AED ∠平分；
手拉手模型
】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，【结论】AC平分
180 BAD BCD ABC ADC︒∠+∠=∠+∠=
BCD
∠
邻边相等对角互补模型
B
A A
1】
【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，，
180BAD BCD ABC ADC ︒∠+∠=∠+∠=1
2
BAD E BC F CD =∠，点在直线上,点在直线上
半角模型
【条件】【结论】A
EDF B C DE DF ∠=∠=∠=，且BDE CFD
≅V V 一线三等角模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段【结论】新构成了同心的正方形
H
H
D
A
D
A
弦图模型
【两点之间线段最短】、将军饮马
B
P'
A
B
最短路径模型
【例19】如图1，ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE =AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交
于点F ，连接AF ．
(1)若BE =2EC ，AB =，求AD 的长；(2)求证：EG =BG +FC ；
(3)如图2，若AF =，EF =2，点是线段AG 上的一个动点，连接，将沿翻折得，连接，试求当取得最小值时的长．
1325M ME GME ∆ME ME G '∆'DG 'DG GM
图3
图2图1
A
E
B
F
C
D
A
E
B F
C
G
D
A
E B
F C
G
D 课后练习题
【练习1】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于。
已知、的长分别为3cm 、5cm ，求三角形的面积．
【练习2】
问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，∠MBN =
∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；
问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =
∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
【练习3】已知：如图1，正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．⑴求证：EG =CG 且EG ⊥CG ；
⑵将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不立，请说明理由．
⑶将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？
附录
AB ABE 90AEB ∠=︒AC BD O AE BE OBE 1
2
1
2。