数学奥林匹克问题
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G, 联 结 G A 、GD 、 B F. 易知 DF = DA = DB ,
图1
上期问题解答
初 159 已知 p 为正整数且为常数 . 求满足下 列条件的最大和最小正整数 n ,对于这个 n ,有唯一 的正整数 k ,满足 p+1 n p < < . 2p +1 n + k 2p - 1
∠BDF = 20° .
48
中 等 数百度文库学
x g ( x) = ( g (1) ) ,对任意的 x ∈Q.
所以 , ∠DB F = ∠DFB = 80° . 易知 ∠DBG = 30° = ∠DFG ,所以 , F 、 B、 D、 G四 点共圆 . 于是 , ∠FDG = ∠FBG = 80° - 30° = 50° . 从而 , ∠GAD = ∠GDA = 60° - 50° = 10° . 易算出 ∠GA E = 60° = ∠A EG , 即 △A EG 是正三 角形 . 所以 , GD = GA = GE. 从而 , ∠GDE =
⑤
且 g ( x ) 为连续函数 . 由式 ⑤ 及数学归纳法可知 n g ( nx) = ( g ( x ) ) ,对任意的 n ∈N+ . 在式 ⑥ 中令 x = 1 , x =
g ( n) = ( g (1) ) g ( m) = g m n x
n
= =
x- y n 3 n 3 [ x ( x + y) - y ( x + y ) ] ( x + y 3 ) ( x3 + y )
i n
或 A ( r) = 1 + 4[ r ] + 8
1 ≤s ≤
∑
r
2
.
特别地 ,对正数 x 及正整数 n 有
n n n [ x ] ≥[ x ] ,[ x ] ≥[ x ] .
2
其中 ,[ x ] 表示不超过 x 的最大整数 .
4 4 3 Ζ 5 ( x5 + y5 + t ) ≥ 4( x + y + t + t )
p
②
由 k<
np 得 k ( p + 1) < np . 所以 , p+1 np - 1 . p+1
k ( p + 1) + 1 ≤np .
解得 k ≤
③
由式 ②、 ③ 得 n ( p - 1) + 1 ≤ ≤np - 1 k . p p+1 解得 n ≥ 2 p + 1. 当 n = 2 p + 1 时 ,代入式 ④ 得 k = 2 p - 1.
( 8) 对正实数 x 、 y有
由 1 - 4t ≥ 0 知最后这一不等式成立 ,从而 ,
x
2 3
Ζ 5 (1 - 4 t + 5 t ) ≥ 4 (1 - 3 t + 2 t + t )
n n
,
n
.
⑧
由式 ⑤ 知
2
g ( x) =
g
2
m n
> 0 ,对任意的 x ∈R.
⑨
n- 1 n- 1 x y ≥1 ≥… 3 + 3 2 x+ y x + y 2 2 2 x y 1 ≥n . 3 + 3 -1 x+ y x + y 2
由式 ⑦、 ⑧、 ⑨ 知
g m n
则
,m、 n ∈N+ .
x
④
故 n 的最小值为 2 p + 1. (李 明 安徽省五河县第三中学 ,233300) 初 160 在 △ABC 中 , ∠BAC = 100° , ∠ABC =
50° ,点 D 在 BC 上 , ∠BAD = 50° , 点 E 在 AC 上 ,
∠AB E = 20° . 求 ∠ADE 的度数 . 解 : 如图 1 , 在 △ABD 的内侧作正 △ADF , 作 ∠A FD 的平 分 线 交 B E 于
内部不含整点 ,它的面积最大是 1. ( 2) 内部不含整点的正方形面积 ,最大是
2. (3) 内部只含一个整点的最大正方形面
时 ,[ x1 ] ≤[ x2 ] 成立 .
( 5) 设 n ∈Z ,则 [ n + x ] = n + [ x ] .
n n
积是 4.
3. 圆内整点问题
2 2 2 设 A ( r) 表示区域 x + y ≤r 上的整点
g ( x + y) = g ( x) g ( y) ,
f (1) ψ即 设 b = f (0) ≠ 0 ,c = > 0 ,式 λ f (0) x f ( x ) = bc ,对任意的 x ∈R.
经验证 f ( x ) = bcx ( b ≠ 0 , c > 0) 满足式 ①. 故所求的 f ( x ) = bcx ( b ≠ 0 , c > 0 , b、 c 为常数) . ( 赵军鹏 河北省石家庄二中高三 22 班 ,050000) 高 160 已知 x 、 y 为满足 x + y = 1 的正数 , n 为 不小于 2 的整数 . 求证 : n n 4- n x y 2 ≥ . 3 + 3 5 x+ y x + y 证明 : 因为函数 z = tm ( m 为大于 0 的常数 ) 在 (0 , + ∞ ) 上是增函数 ,则有 ( x - y) ( x n + 3 - y n + 3 ) ≥ 0,
⑥
m 得 n
1 n +3 n +3 [ ( x - y) ( x - y ) + ( x + y 3 ) ( x3 + y ) n- 1 n- 1 xy ( x - y ) ( x - y )]
x y ≥1 3 + 3 2 x+ y x + y
n +1 n +1
≥ 0. ⑦ 所以 ,
x y 3 + 3 x+ y x + y
由 g (0) = 1 及式 ⑩、 ϖ知 λ
Ζ 5[ x2 ( x3 + y ) + y2 ( x + y3 ) ] 3 3 ≥ 4 ( x + y ) ( x + y)
2005 年第 9 期
49
竞赛常用知识手册
13 整点
2 2 2 此外 , 当 r 充分大时 , 区域 x + y ≤r 上的格点数 A ( r) 接近于πr .
S=N+ L
设 x ∈R ,则 [ x ] 表示不超过 x 的最大整 数.
2. 函数 [ x ] 的性质 (1) y = [ x ] 的定义域为实数集 R , 值域
2
- 1.
2. 正方形内的整点 ( 1) 各边均平行于坐标轴的正方形 ,如果
为整数集 Z.
( 2) x = [ x ] + r ,0 ≤r < 1. ( 3) x - 1 < [ x ] ≤x < [ x ] + 1. ( 4) y = [ x ] 是广义增函数 , 即当 x1 ≤x2
n
x+ y
3
+
y
3
n
x + y
2≥ 2
n
x
2 3
x+ y
+
y
3
2
x + y
.
= ( g (1) )
⑩
f (0) 又 g (0) = (0) = 1 ,故由式 ⑤ 得 f g
-
m n
=
g (0) m g n
= ( g (1) )
- m n
.
ϖ λ
2 x+ y 1 4 4 令 t = xy , 则 t ≤ = ,且 x + y = 2 4 2 5 5 2 1 - 4 t + 2 t , x + y = 1 - 5 t + 5 t . 于是 , 2 2 x y ≥4 3 + 3 5 x+ y x + y
2 p - 2 < k < 2 p , k = 2 p - 1.
2 2 2
故 n 的最大值为 2 p ( p + 1) . n ( p - 1) 另一方面 ,根据式 ①,由 < k得
p n ( p - 1) < kp .
所以 , n ( p - 1) + 1 ≤kp. n ( p - 1) + 1 解得 k ≥ .
( 6) [
i =1
∑
xi ] ≥
i =1
[ x ]. ∑
i
数 , r 是正实数 ,则
A ( r) = 1 + 4[ r ] + 4
1 ≤s ≤r
( 7) 对正实数 x1 , x2 , …, x n 有
∑[
[
2
r - s ] r - s ]- 4
2
2
2
n
n
[
r
2
i =1
∏
xi ] ≥
i =1
[ x ]. ∏
1 1 ∠BGD = ∠B FD = 40° . 2 2
ω λ ξ λ
ω 由式 λ 及 g ( x ) 的连续性知 x g ( x) = ( g (1) ) ,对任意的 x ∈R.
( ) ξ及 g ( x ) = f x ,即知 由式 λ f (0)
f ( x ) = f (0) f (1) f (0)
解 :因 p 、 n、 k 均为正整数 ,将原不等式变形得 n ( p - 1) np < k< . ① p p+1 对于 n ,有唯一正整数 k 满足式 ①,所以 , np n ( p - 1) ≤ 2. p+1 p 解得 n ≤ 2 p ( p + 1) . 当 n = 2 p ( p + 1) 时 ,代入式 ① 得
2005 年第 9 期
47
数学奥林匹克问题
本期问题
初 161 点 P、 Q、 R 分别在 △ABC 的三 边 BC 、 CA 、 AB 上 , 并 且 将 周 长 三 等 分 . 设 △ABC 的三边长分别为 a 、 b、 c. 求 S = AQ ・ B P + BR ・ CQ + CP・ AR 的最大值 . (贺 斌 湖北省谷城县第三高级中学 , 441700) 初 162 是否存在 1 ,2 , …,2 005 的一个 排列 a1 , a2 , …, a2 005 ,使得 f ( n) = n + an ( n = 1 ,2 , …,2 005) 都是完全平方数 ? ( 张延卫 江苏省宿迁市教育局 ,223800) 高 161 n 位歌手参加一次艺术节的演 出 ,组织者共为他们安排 m 场演出 . 要求每 场演出由其中 4 位歌手登场 , n 位歌手中每 两位同场演出的场次数都一样多 . 请设计一 种方案 ,使得整个演出的场次数 m 最小 . 当 ( 1) n = 6 , ( 2) n = 7 , ( 3) n = 9 时 ,分别求 m 的最小值 . (李成章 南开大学数学科学学院 ,300071) 高 162 已知锐角 △ABC 是一个定三角 形 , 两个动点 D 、 E 分别在边 AB 、 AC 上 , 又 DF ⊥BC , EG ⊥BC , F 、 G 是垂足 . 设 B E ∩ CD = O , FE ∩GD = P. 证明 : 直线 OP 恒过某 一个定点 . (黄全福 安徽省怀宁县江镇中学 ,246142)
( x - y) ( x n - 1 - y n - 1 ) ≥ 0.
x y 3 + 3 x+ y x + y
n +1 n +1 n+1
①
②
③ ④
故2
= 2x
-
x y 3 + 3 x+ y x + y
n
n
n n +1 n - x ( x + y) 2 y - y ( x + y) + 3 3 x+ y x + y n n x ( x - y) y ( y - x) = + 3 3 x+ y x + y
在平面直角坐标系中 ,横 、 纵坐标均为整 数的点叫做整点 , 整点也叫格点 . 类似地 , 可 定义空间直角坐标系中的整点 .
1. 整点多边形的面积公式
4. 不存在整点正三角形 . 5. 当 n ≥ 5 时 ,不存在整点正 n 边形 . 14 函数 [ x ] 1. 定义
顶点都在整点上的简单多边形 ( 即不自 交的多边形) , 其面积为 S , 多边形内的整点 数为 N ,多边形边上的整点数为 L ,则
x
,对任意的 x ∈R.
ψ λ
故 ∠ADE = 40° - 10° = 30° . ( 万喜人 湖南省沅江市白沙乡机关 ,413105) 高 159 设连续函数 f : R →R \ {0} ,且对于任意 的 x、 y ∈R 满足 2 2 f ( x ) f (2 y ) + f ( y ) f (2 x) = 2 f ( x) f ( y) f ( x + y) . 求 f ( x) . 解 :令 y = 0 得 2 2 2 f ( x ) f (0) + f (0) f (2 x) = 2 f ( x ) f (0) . 2 2 f ( x) f ( y) 故 f (2 x) = ( ) , f (2 y ) = ( ) . f 0 f 0 将式 ② 代入式 ① 得 f ( x ) f ( y ) ( f ( x ) f ( y ) - f (0) f ( x + y ) ) = 0. 由式 ③ 及 f ( x) ≠ 0 , f ( y) ≠ 0 ,得 f ( x ) f ( y ) - f (0) f ( x + y ) = 0. f ( x) 令 g ( x ) = (0) ,则由式 ④ 可知 f
图1
上期问题解答
初 159 已知 p 为正整数且为常数 . 求满足下 列条件的最大和最小正整数 n ,对于这个 n ,有唯一 的正整数 k ,满足 p+1 n p < < . 2p +1 n + k 2p - 1
∠BDF = 20° .
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中 等 数百度文库学
x g ( x) = ( g (1) ) ,对任意的 x ∈Q.
所以 , ∠DB F = ∠DFB = 80° . 易知 ∠DBG = 30° = ∠DFG ,所以 , F 、 B、 D、 G四 点共圆 . 于是 , ∠FDG = ∠FBG = 80° - 30° = 50° . 从而 , ∠GAD = ∠GDA = 60° - 50° = 10° . 易算出 ∠GA E = 60° = ∠A EG , 即 △A EG 是正三 角形 . 所以 , GD = GA = GE. 从而 , ∠GDE =
⑤
且 g ( x ) 为连续函数 . 由式 ⑤ 及数学归纳法可知 n g ( nx) = ( g ( x ) ) ,对任意的 n ∈N+ . 在式 ⑥ 中令 x = 1 , x =
g ( n) = ( g (1) ) g ( m) = g m n x
n
= =
x- y n 3 n 3 [ x ( x + y) - y ( x + y ) ] ( x + y 3 ) ( x3 + y )
i n
或 A ( r) = 1 + 4[ r ] + 8
1 ≤s ≤
∑
r
2
.
特别地 ,对正数 x 及正整数 n 有
n n n [ x ] ≥[ x ] ,[ x ] ≥[ x ] .
2
其中 ,[ x ] 表示不超过 x 的最大整数 .
4 4 3 Ζ 5 ( x5 + y5 + t ) ≥ 4( x + y + t + t )
p
②
由 k<
np 得 k ( p + 1) < np . 所以 , p+1 np - 1 . p+1
k ( p + 1) + 1 ≤np .
解得 k ≤
③
由式 ②、 ③ 得 n ( p - 1) + 1 ≤ ≤np - 1 k . p p+1 解得 n ≥ 2 p + 1. 当 n = 2 p + 1 时 ,代入式 ④ 得 k = 2 p - 1.
( 8) 对正实数 x 、 y有
由 1 - 4t ≥ 0 知最后这一不等式成立 ,从而 ,
x
2 3
Ζ 5 (1 - 4 t + 5 t ) ≥ 4 (1 - 3 t + 2 t + t )
n n
,
n
.
⑧
由式 ⑤ 知
2
g ( x) =
g
2
m n
> 0 ,对任意的 x ∈R.
⑨
n- 1 n- 1 x y ≥1 ≥… 3 + 3 2 x+ y x + y 2 2 2 x y 1 ≥n . 3 + 3 -1 x+ y x + y 2
由式 ⑦、 ⑧、 ⑨ 知
g m n
则
,m、 n ∈N+ .
x
④
故 n 的最小值为 2 p + 1. (李 明 安徽省五河县第三中学 ,233300) 初 160 在 △ABC 中 , ∠BAC = 100° , ∠ABC =
50° ,点 D 在 BC 上 , ∠BAD = 50° , 点 E 在 AC 上 ,
∠AB E = 20° . 求 ∠ADE 的度数 . 解 : 如图 1 , 在 △ABD 的内侧作正 △ADF , 作 ∠A FD 的平 分 线 交 B E 于
内部不含整点 ,它的面积最大是 1. ( 2) 内部不含整点的正方形面积 ,最大是
2. (3) 内部只含一个整点的最大正方形面
时 ,[ x1 ] ≤[ x2 ] 成立 .
( 5) 设 n ∈Z ,则 [ n + x ] = n + [ x ] .
n n
积是 4.
3. 圆内整点问题
2 2 2 设 A ( r) 表示区域 x + y ≤r 上的整点
g ( x + y) = g ( x) g ( y) ,
f (1) ψ即 设 b = f (0) ≠ 0 ,c = > 0 ,式 λ f (0) x f ( x ) = bc ,对任意的 x ∈R.
经验证 f ( x ) = bcx ( b ≠ 0 , c > 0) 满足式 ①. 故所求的 f ( x ) = bcx ( b ≠ 0 , c > 0 , b、 c 为常数) . ( 赵军鹏 河北省石家庄二中高三 22 班 ,050000) 高 160 已知 x 、 y 为满足 x + y = 1 的正数 , n 为 不小于 2 的整数 . 求证 : n n 4- n x y 2 ≥ . 3 + 3 5 x+ y x + y 证明 : 因为函数 z = tm ( m 为大于 0 的常数 ) 在 (0 , + ∞ ) 上是增函数 ,则有 ( x - y) ( x n + 3 - y n + 3 ) ≥ 0,
⑥
m 得 n
1 n +3 n +3 [ ( x - y) ( x - y ) + ( x + y 3 ) ( x3 + y ) n- 1 n- 1 xy ( x - y ) ( x - y )]
x y ≥1 3 + 3 2 x+ y x + y
n +1 n +1
≥ 0. ⑦ 所以 ,
x y 3 + 3 x+ y x + y
由 g (0) = 1 及式 ⑩、 ϖ知 λ
Ζ 5[ x2 ( x3 + y ) + y2 ( x + y3 ) ] 3 3 ≥ 4 ( x + y ) ( x + y)
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竞赛常用知识手册
13 整点
2 2 2 此外 , 当 r 充分大时 , 区域 x + y ≤r 上的格点数 A ( r) 接近于πr .
S=N+ L
设 x ∈R ,则 [ x ] 表示不超过 x 的最大整 数.
2. 函数 [ x ] 的性质 (1) y = [ x ] 的定义域为实数集 R , 值域
2
- 1.
2. 正方形内的整点 ( 1) 各边均平行于坐标轴的正方形 ,如果
为整数集 Z.
( 2) x = [ x ] + r ,0 ≤r < 1. ( 3) x - 1 < [ x ] ≤x < [ x ] + 1. ( 4) y = [ x ] 是广义增函数 , 即当 x1 ≤x2
n
x+ y
3
+
y
3
n
x + y
2≥ 2
n
x
2 3
x+ y
+
y
3
2
x + y
.
= ( g (1) )
⑩
f (0) 又 g (0) = (0) = 1 ,故由式 ⑤ 得 f g
-
m n
=
g (0) m g n
= ( g (1) )
- m n
.
ϖ λ
2 x+ y 1 4 4 令 t = xy , 则 t ≤ = ,且 x + y = 2 4 2 5 5 2 1 - 4 t + 2 t , x + y = 1 - 5 t + 5 t . 于是 , 2 2 x y ≥4 3 + 3 5 x+ y x + y
2 p - 2 < k < 2 p , k = 2 p - 1.
2 2 2
故 n 的最大值为 2 p ( p + 1) . n ( p - 1) 另一方面 ,根据式 ①,由 < k得
p n ( p - 1) < kp .
所以 , n ( p - 1) + 1 ≤kp. n ( p - 1) + 1 解得 k ≥ .
( 6) [
i =1
∑
xi ] ≥
i =1
[ x ]. ∑
i
数 , r 是正实数 ,则
A ( r) = 1 + 4[ r ] + 4
1 ≤s ≤r
( 7) 对正实数 x1 , x2 , …, x n 有
∑[
[
2
r - s ] r - s ]- 4
2
2
2
n
n
[
r
2
i =1
∏
xi ] ≥
i =1
[ x ]. ∏
1 1 ∠BGD = ∠B FD = 40° . 2 2
ω λ ξ λ
ω 由式 λ 及 g ( x ) 的连续性知 x g ( x) = ( g (1) ) ,对任意的 x ∈R.
( ) ξ及 g ( x ) = f x ,即知 由式 λ f (0)
f ( x ) = f (0) f (1) f (0)
解 :因 p 、 n、 k 均为正整数 ,将原不等式变形得 n ( p - 1) np < k< . ① p p+1 对于 n ,有唯一正整数 k 满足式 ①,所以 , np n ( p - 1) ≤ 2. p+1 p 解得 n ≤ 2 p ( p + 1) . 当 n = 2 p ( p + 1) 时 ,代入式 ① 得
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本期问题
初 161 点 P、 Q、 R 分别在 △ABC 的三 边 BC 、 CA 、 AB 上 , 并 且 将 周 长 三 等 分 . 设 △ABC 的三边长分别为 a 、 b、 c. 求 S = AQ ・ B P + BR ・ CQ + CP・ AR 的最大值 . (贺 斌 湖北省谷城县第三高级中学 , 441700) 初 162 是否存在 1 ,2 , …,2 005 的一个 排列 a1 , a2 , …, a2 005 ,使得 f ( n) = n + an ( n = 1 ,2 , …,2 005) 都是完全平方数 ? ( 张延卫 江苏省宿迁市教育局 ,223800) 高 161 n 位歌手参加一次艺术节的演 出 ,组织者共为他们安排 m 场演出 . 要求每 场演出由其中 4 位歌手登场 , n 位歌手中每 两位同场演出的场次数都一样多 . 请设计一 种方案 ,使得整个演出的场次数 m 最小 . 当 ( 1) n = 6 , ( 2) n = 7 , ( 3) n = 9 时 ,分别求 m 的最小值 . (李成章 南开大学数学科学学院 ,300071) 高 162 已知锐角 △ABC 是一个定三角 形 , 两个动点 D 、 E 分别在边 AB 、 AC 上 , 又 DF ⊥BC , EG ⊥BC , F 、 G 是垂足 . 设 B E ∩ CD = O , FE ∩GD = P. 证明 : 直线 OP 恒过某 一个定点 . (黄全福 安徽省怀宁县江镇中学 ,246142)
( x - y) ( x n - 1 - y n - 1 ) ≥ 0.
x y 3 + 3 x+ y x + y
n +1 n +1 n+1
①
②
③ ④
故2
= 2x
-
x y 3 + 3 x+ y x + y
n
n
n n +1 n - x ( x + y) 2 y - y ( x + y) + 3 3 x+ y x + y n n x ( x - y) y ( y - x) = + 3 3 x+ y x + y
在平面直角坐标系中 ,横 、 纵坐标均为整 数的点叫做整点 , 整点也叫格点 . 类似地 , 可 定义空间直角坐标系中的整点 .
1. 整点多边形的面积公式
4. 不存在整点正三角形 . 5. 当 n ≥ 5 时 ,不存在整点正 n 边形 . 14 函数 [ x ] 1. 定义
顶点都在整点上的简单多边形 ( 即不自 交的多边形) , 其面积为 S , 多边形内的整点 数为 N ,多边形边上的整点数为 L ,则
x
,对任意的 x ∈R.
ψ λ
故 ∠ADE = 40° - 10° = 30° . ( 万喜人 湖南省沅江市白沙乡机关 ,413105) 高 159 设连续函数 f : R →R \ {0} ,且对于任意 的 x、 y ∈R 满足 2 2 f ( x ) f (2 y ) + f ( y ) f (2 x) = 2 f ( x) f ( y) f ( x + y) . 求 f ( x) . 解 :令 y = 0 得 2 2 2 f ( x ) f (0) + f (0) f (2 x) = 2 f ( x ) f (0) . 2 2 f ( x) f ( y) 故 f (2 x) = ( ) , f (2 y ) = ( ) . f 0 f 0 将式 ② 代入式 ① 得 f ( x ) f ( y ) ( f ( x ) f ( y ) - f (0) f ( x + y ) ) = 0. 由式 ③ 及 f ( x) ≠ 0 , f ( y) ≠ 0 ,得 f ( x ) f ( y ) - f (0) f ( x + y ) = 0. f ( x) 令 g ( x ) = (0) ,则由式 ④ 可知 f