信号与系统(周期信号傅里叶级数)
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奥本海姆《信号与系统》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(上册)-第3章 周期信号的傅里叶级
6．共轭及共轭对称 将一个周期信号 x(t)叏它的复数共轭，在它的傅里叶级数系数上就会有复数共轭幵迚行 时间反转的结果。即若
则
（1）弼 x(t)为实函数时，由亍 x(t)＝x*(t)，傅里叶级数系数一定是共轭对称的，即
（2）若 x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。 （3）若 x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 7．连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理 （1）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：
8．连续时间傅里叶级数性质列表 表 3-1 连续时间傅里叶级数性质
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1．成谐波关系的复指数信号的线性组合 一般的周期序列的线性组合就有如下：
序列φk[n]只在 k 的 N 个相继值的匙间上是丌同的，因此上式的求和仅仅需要包括 N 项。 因此将求和限表示成 k＝（N），即离散时间傅里叶级数为
三、傅里叶级数的收敛 连续时间信号的傅里叶级数收敛的条件——狄里赫利条件： 1．条件 1 在仸何周期内，x(t)必须绝对可积，即
这一条件保证了每一系数 ak 都是有限值。 2．条件 2 在仸意有限匙间内，x(t)具有有限个起伏发化；也就是说，在仸何单个周期内，x(t)的
最大值和最小值的数目有限。 3．条件 3 在 x(t)的仸何有限匙间内，只有有限个丌连续点，而丏在这些丌连续点上，函数是有限
则
（1）施加亍连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反 转。
（2）若 x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也为偶，若 x(t)为奇函数，则其傅里叶级 数系数也为奇。
4．时域尺度发换 时间尺度运算是直接加在 x(t)的每一次谐波分量上的，傅里叶系数仍是相同的。 x（αt）的傅里叶级数表示：
则
（1）弼 x(t)为实函数时，由亍 x(t)＝x*(t)，傅里叶级数系数一定是共轭对称的，即
（2）若 x(t)为实偶函数，那么它的傅里叶级数系数也为实偶函数。 （3）若 x(t)为实奇函数，那么它的傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 7．连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理 （1）连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理：
8．连续时间傅里叶级数性质列表 表 3-1 连续时间傅里叶级数性质
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1．成谐波关系的复指数信号的线性组合 一般的周期序列的线性组合就有如下：
序列φk[n]只在 k 的 N 个相继值的匙间上是丌同的，因此上式的求和仅仅需要包括 N 项。 因此将求和限表示成 k＝（N），即离散时间傅里叶级数为
三、傅里叶级数的收敛 连续时间信号的傅里叶级数收敛的条件——狄里赫利条件： 1．条件 1 在仸何周期内，x(t)必须绝对可积，即
这一条件保证了每一系数 ak 都是有限值。 2．条件 2 在仸意有限匙间内，x(t)具有有限个起伏发化；也就是说，在仸何单个周期内，x(t)的
最大值和最小值的数目有限。 3．条件 3 在 x(t)的仸何有限匙间内，只有有限个丌连续点，而丏在这些丌连续点上，函数是有限
则
（1）施加亍连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反 转。
（2）若 x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也为偶，若 x(t)为奇函数，则其傅里叶级 数系数也为奇。
4．时域尺度发换 时间尺度运算是直接加在 x(t)的每一次谐波分量上的，傅里叶系数仍是相同的。 x（αt）的傅里叶级数表示：
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
信号与系统周期信号的傅立叶级数展开
满足一定条件的周期函数 f ( t ) 可用三角函数集表示为
狄里 赫利
f(t)a 0 a nco sn0 tb nsinn0 t
n 1
0
2 T
条件
a0
1 T
t1T t1
f(t)dt
a n , bn
称为傅立叶系
数
an
t0 T t0
f (t) cos n0tdt
t0 T t0
cos2
n0tdt
信P87号图与4系-2-2统f( t) 4 [ s in0 t 1 3 s in 3 0 t 1 5 s in 5 0 t L 1 n s in n 0 t L ]
f1
(t)
4
sin
0tfLeabharlann 2(t)4
(sin 0t
1 3
sin
30t)
2
0
2 t
2
0
2 t
(a)
f
3
(t)
4
(sin
周期信号
周期信号的特点：
（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间
范围为(, )
（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成 f 0 ( t )，则周期信号 f ( t )
可以写成
f (t) f0(t nT) n
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有
aT
bT
T
f(t)dt f(t)dtf(t)dt
f(t)A0Ancon s0tn
n1
两种形式之间系数有如下关系:
A0 a0
An an2 bn2
n 1, 2, L
或
n
arctg
信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号
奥本海姆《信号与系统》配套题库【名校考研真题】(周期信号的傅里叶级数表示)
______。[四川大学 2007 研]
【答案】4
【解析】因是周期信号，其角频率
2π T
π
，则： a0
2 T
2 f (t)dt 2
0
T
2 dt 2，k 0
0
2
ak T
2 f (t) cos(kt)dt 2
0
T
2
cos(kπt)dt
sin(kπt)
2
0， k
1, 2,
0
kπ 0
所以：
ak 2 4
k
3 ． x t 是 一 连 续 时 间 周 期信 号 ， 其 基 波 频率 为 1 ， 傅 里 叶 系 数 为 ak ， 现 已 知
y(t) x(1 t ) x(t 1，) 问 y(t) 的基本频率 2 与 1 是什么关系？______； y(t) 的傅里叶级数
系数 bk 与 ak 的关系是什么？______。[华南理工大学 2007 研]
t0 T
1
bk T
T
t0 T x 1 t
x
t 1
e jkt dt
1 T
T
x 1t
t0 T
e jktdt 1 T
T x t 1 e jktdt
t0 T
1 T
T x 1 t ejktd 1 t 1
t0 T
T
T
x
t0 T
t 1
e jkt d
t 1
ak ak
2．一连续时间
LTI
系统的频率响应
H ( j)
1, 0,
≥250 ，当输入基波周期 T＝ π ，
其余
7
傅立叶级数系数为 ak 的周期信号 x t 时，发现输出 y(t) x(t) 。ak 需满足什么条件？（ ）
【答案】4
【解析】因是周期信号，其角频率
2π T
π
，则： a0
2 T
2 f (t)dt 2
0
T
2 dt 2，k 0
0
2
ak T
2 f (t) cos(kt)dt 2
0
T
2
cos(kπt)dt
sin(kπt)
2
0， k
1, 2,
0
kπ 0
所以：
ak 2 4
k
3 ． x t 是 一 连 续 时 间 周 期信 号 ， 其 基 波 频率 为 1 ， 傅 里 叶 系 数 为 ak ， 现 已 知
y(t) x(1 t ) x(t 1，) 问 y(t) 的基本频率 2 与 1 是什么关系？______； y(t) 的傅里叶级数
系数 bk 与 ak 的关系是什么？______。[华南理工大学 2007 研]
t0 T
1
bk T
T
t0 T x 1 t
x
t 1
e jkt dt
1 T
T
x 1t
t0 T
e jktdt 1 T
T x t 1 e jktdt
t0 T
1 T
T x 1 t ejktd 1 t 1
t0 T
T
T
x
t0 T
t 1
e jkt d
t 1
ak ak
2．一连续时间
LTI
系统的频率响应
H ( j)
1, 0,
≥250 ，当输入基波周期 T＝ π ，
其余
7
傅立叶级数系数为 ak 的周期信号 x t 时，发现输出 y(t) x(t) 。ak 需满足什么条件？（ ）
信号与系统信号3-1
2
0
Fn 在 n 有值，称为谱线；
第三章第1讲
14
周期T不变，脉冲宽度变化 ②
情况
2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n )
T
1 Sa( n
88
)，
第一个过零点为
n
=8
。
脉冲宽度缩小一倍
f (t)
1
T
2
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
T
Fn
1 8
第三章第1讲
3
傅里叶系数间的关系
傅里叶系数：
an
2 T
T
2 f (t) cos ntdt
T 2
n 0, 1, 2,
bn
2 T
T
2 f (t)sin ntdt
T 2
n 1, 2,
An an2 bn2 复傅里叶系数。
n
arctg
bn an
An
bn
n
an
Fn
第三章第1讲
22
周期信号频谱的性质
时移特性：
若
f
(t)
Fn ，则
f (t ) Fne jn
Fn
1 T
证：设
f (t )e
f (t )
jn tdt
1 T
Fn
f (x)e
jn
( x
)dx
1 T
e
jn
f (x)e jn xdx Fne jn
信号与系统知识要点
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
信号与系统 第三章 周期信号的傅里叶级数展开
1 T
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
电子信息与电气工程学院
本章内容
连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
2 n 2
T1
f (t ) dt
F ( n1 )
左边是周期信号f(t)在一个周期里的平均功率（即单位时间内的能量）
2 2 1 1 2 jnt F ( n ) e dt F ( n ) dt F ( n ) 而同时有 T 1 1 1 T1 1 T1 T1
n 1
——余弦形式
x(t ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1
——正弦形式
(1). f (t ) a0 an cosnt bn sin nt
n1
三角函数形式
(2). f (t ) A0 An cos(nt n )
而无物理意义。将来可以看出，指数函数形式比正弦函数形式在数 学上处理起来要方便的多。
§3.2 周期矩形脉冲的谱线特点
x(t )
E
T1
t
2 2
T1
脉冲为 ，脉冲高度为E，周期为T1
1 21 1 E 1 jn1t jn1t 2 X (n1 ) T1 x(t )e dt E e dt e jn1t T1 2 T1 2 T1 jn1 jn jn 1 2E 1 1 2 2 e sin(n1 ) e jn1T1 2 n1T1 sin(n1 ) E E 2 Sa (n1 ) T1 n T1 2 1 2
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连续时间周期信号的傅立叶级数表示 周期矩形脉冲的谱线特点
§3.1 连续时间周期信号的傅立叶级数表示
{1, cos n1t ,sin n1t} n=1,2, , 是一个完备的正交函数集
信号与系统公式汇总分类
信号与系统公式汇总分类信号与系统是电子信息工程、自动化、计算机科学等学科的重要基础课程，是研究和分析信号在系统中的变换、传递及其对系统特性的影响的一门学科。
信号与系统涉及到的知识点较多，包括信号的表示与描述、连续与离散信号、线性时不变系统、傅里叶变换与频谱分析等方面。
以下是信号与系统中常用的公式汇总分类：一、信号的表示与描述1.单位阶跃函数：u(t)=1，当t>=0；u(t)=0，当t<0。
2.单位冲激函数：δ(t) = du(t)/dt。
3.周期信号的傅里叶级数：x(t) = A0/2 + ∑(An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt))。
4.脉冲信号：δ(t) = lim_{n→∞} [rect(t/T)/T]，其中rect(t/T)为矩形函数。
二、连续信号与离散信号1.连续时间冲激响应h(t)与输入信号x(t)之卷积：y(t)=∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ。
2.离散时间冲激响应h[n]与输入信号x[n]之卷积：y[n]=∑[x[k]*h[n-k]]。
三、线性时不变系统1.线性时不变系统输入输出关系的微分方程表示：a0*y(t) + a1*(dy(t)/dt) + a2*(d^2y(t)/dt^2) + ... = b0*x(t) + b1*(dx(t)/dt) + b2*(d^2x(t)/dt^2) + ...2.线性时不变系统频域表达式：Y(ω)=H(ω)*X(ω)，其中H(ω)为系统的频率响应函数。
四、傅里叶变换与频谱分析1.连续时间傅里叶变换：X(ω) = ∫[x(t)*e^(-jωt)]dt。
2.连续时间频谱密度：S(ω)=，X(ω)，^23.离散时间傅里叶变换：X(e^(jω))=∑[x[n]*e^(-jωn)]，其中n为离散取值。
4.离散时间频谱密度：S(e^(jω))=，X(e^(jω))，^2以上仅是信号与系统中的部分公式，覆盖了信号表示与描述、系统分析与描述以及信号的频谱分析等方面的内容。
信号与系统3.3典型信号的傅里叶级数
1 2
sin2ω1t
1 3
sin3ω1t
1 4
sin4ω1t
E
(1) n1
n 1
1 n
sin(n1t)
周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅
度以 1 的规律收敛。 n
第3章 傅里叶变换
四、周期三角脉冲信号
周期三角脉冲信号如图3-10所示。
f (t)
E
tT1ຫໍສະໝຸດ T1 20T1 2
第3章 傅里叶变换
三、周期锯齿脉冲信号
周期锯齿脉冲信号如图3-9所示。
f (t)
E
2
T1
2
t
T1
0
2
E
2
图3-9 周期锯齿脉冲信号
显然它是奇函数，因而an=0，由式(3-4)可以求出傅里
叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅 里叶级数为
第3章 傅里叶变换
f(t)
E π
sinω1t
1 5
cos51t
2E
cos1t
1 3
cos31t
1 5
cos51t
其频谱函数如图3-8所示 由于对称方波的偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值 点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波。 该信号既是偶函数，又是奇谐函数，因此在它的频谱 中只包含基波和奇次谐波的余弦分量。
第3章 傅里叶变换 图3-8 对称方波频谱
T1
E
为ω１。脉冲间隔
T1
越大，谱线越密。
信号的周期T1增大 时，谱线的间隔变
小。反之变大
2
n
谱线包络 按抽样函 数衰减
4
2
4
第3章 傅里叶变换
第2章 信号与系统分析基础2
[f2(t)] = F2(ω) • 时域卷积定理
[f1(t)﹡f2(t)]=F1(ω)F2(ω) • 频域卷积定理
[f1(t) ·f2(t)]=1/(2π) F1(ω)﹡F2(ω)
例2.5.13利用卷积定理求三角脉冲的频谱
f(t)=g(t)g(t)
F(ω)=G(ω)·G(ω)
g(t)
例2.5.14利用卷积定理求有限长余弦信号的 频谱
dt
= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
f(t)=
F(nω1)
e-jnω1t
n-
=
F(nω1)
/
ω1•
e-jnω1t
Δ(nω1)
nω1-
在极限情况下， nω1ω， Δ(nω1) dω1, nωF1(-nω1)∫∞/-∞ω1F(ω) / 2π
f(t)=1/(2π) ∫∞-∞F(ω)ejωt dω
结论:
(4)频带宽度（带宽）
频谱图上第一个零点以内的范围，记作B。 例：对周期矩形脉冲信号，
Bω=2 π /τ
或
Bf=1/τ
2.5.2傅里叶变换
• 傅里叶正变换
F(ω)= [f(t)]= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
F(ω)=|F(ω)|e jφ(ω)
• 傅里叶逆变换
f(t)= -1 [F(ω)]= 1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωt dω
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
T1
t
f(t)=a0+∑ [ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)] n=0
其中：
a0=1/T1∫T1/2-T1/2f(t)dt=1/T1∫τ/2τ/2Edt=Eτ/T1 an=2/T1 ∫T1/2-T1/2f(t)cos(nω1t)dt
奥本海姆《信号与系统》配套题库【章节题库】(周期信号的傅里叶级数表示)
第3章 周期信号的傅里叶级数表示一、计算题1．求如图3-1所示信号的傅里叶级数。
答：（1）求三角傅里叶级数。
傅里叶级数展开表达式图3-10111()[cos()sin()]2n n n a f t a nw t b nw t ∞==++∑利用分部积分三角傅里叶级数为（2）指数形式傅里叶级数展开：11()()jnw t n f t F nw e ∞=-∞=∑，其中011011()t T jnw t n t F f t e dt T +-=⎰求指数傅里叶级数。
指数傅里叶级数为2．将如图3-2所示的三角形信号在时间区间(,)ππ-上展开为有限项的三角傅里叶级数，使其与实际信号间的方均误差小于原信号()f t 总能量的1％。
写出此有限项三角傅里叶级数的表达式。
图3-2解：如图3-2所示三角形信号的数学表达式为由()f t 在(,)ππ-上的偶对称特性知其傅里叶系数0n b =。
又展开的时间区间为(,)ππ-，故2T π=，从而1Ω=。
下面求系数0a 和n a 。
于是在(,)ππ-上，另一方面，信号的总能量若取()f t 傅里叶级数中第一项来近似()f t ，则方均误差为再考虑取()f t 傅里叶级数中前两项来近似()f t ，则方均误差为由于满足要求，所以此有限项三角傅里叶级数的表达式为24()cos 2A Af t t π≈+3．求如图3-3所示信号f （t ）的傅里叶级数。
图3-3答：f'（t ）、f''（t ）的波形如图3-4（a ）、（b ）所示，于是得f''（t ）的傅里叶系数为图3-4故f （t ）的傅里叶系数为所以f （t ）的傅里叶级数为111(1)()2222n jn t jn tn n n jf t A e e n π∞∞⋅ΩΩ=-∞=-∞-=+=+∑∑ （原书中有错，第二项的2j n 应改为2jπ） 讨论傅里叶级数的时域微分性质：这样，若已知f （k ）（t ）的傅里叶系数，则f （t ）的傅里叶系数这里注意此式不适用于n=0的情况。
信号与系统(第3章)_例题
1 a0 = T
∫
t0 + T
t0
x (t ) dt
直流分量 余弦分量幅度 正弦分量幅度
2 an = T 2 bn = T
∫ ∫
t0 + T
t0 t0 + T
x ( t ) cos n tdt x ( t ) sin n tdt
t0
(1)x(t) = a0 + ∑( an cos nt + bn sin nt )
周期信号傅立叶级数展开 周期信号傅立叶级数展开
三角形式傅立叶级数: 一. 三角形式傅立叶级数: 周期信号x(t)=X(t+nT) ,满足狄氏条件时,可展成: 满足狄氏条件时,可展成: 周期信号
x(t) = a0 + ∑( an cos nt + bn sin nt )
n=1 ∞
2π ( = ) T
其中: 其中:
| F ( jω ) |~ ω :幅度频谱
1 T2 a0 = ∫T x(t)dt =0 T 2
对称于坐标原点
an = 0
2 T bn = ∫ x(t ) sin ntdt T 0
4 T2 = ∫ x(t ) sin ntdt ≠ 0 T 0
奇函数展开成傅立叶级数后, 奇函数展开成傅立叶级数后,直流分量和余 弦项为零,正弦项不为零. 弦项为零,正弦项不为零.
π ≤ t ≤ π
tdt = 0
-
π π
-
∫π
π
2 an = ∫ t cos ntdt = 0 T π 其中:T = 2π 2 π 2 bn = ∫ t sin n tdt = ( 1) n +1 n = 1, 2,3, L n T π
信号与系统第3章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱(3.1,3.2)
变换域分析的基本思想为：将信号分解为 基本信号之和或积分的形式，再求系统对基本 信号的响应，从而求出系统对给定信号的响应 （零状态响应）。 在第二章中我们以 t 为基本信号将任意信号
进行分解
f t f t t
f t d
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
a0 1 2 T
T 2 T 2
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
f (t )
1 Fn T
n
T 2 T 2
F e
n
jnt
f ( t )e
jnt
e e cos x 2
jx
jx
将上式第三项中的 n 用 n 代换，并考虑到 An 是 n的 偶函数，即 An An ； n 是 n 的奇函数, n n 则上式可写为 :
A0 1 1 j n jnt j n jnt f (t ) Ane e An e e 2 2 n 1 2 n 1 A0 1 1 Ane j n e jnt A ne j n e jnt 2 2 n1 2 n 1
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
, 0 2 1 cosn 4 , n n
信号与系统中典型周期信号的傅里叶级数
1 = ∑(−1) sin( nw t) 1 π n=1 n 此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。 此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。 1/n的规律收敛
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
周期三角脉冲信号，是偶函数。 周期三角脉冲信号，是偶函数。 f (t) 解：Q 它是偶函数 E
四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解
周期半波余弦信号，是偶函数。 周期半波余弦信号，是偶函数。 f (t) 解：Q 它是偶函数 E
∴ bn = 0
−T 1
− T0 1 2 T 1 2
T 1
t
可求出傅里叶级数的系数a 可求出傅里叶级数的系数a0,an, 留给同学们做。 留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为： 其傅里叶级数表达式为： E E 4 4 f (t) = + cos(w t) + cos(2w t) − cos(4w t) +L 1 1 1 π 2 3π 15 E 2E ∞ 1 nπ 2π = − ∑(n2 −1) cos( 2 ) cos(nw1t) w1 = T π π n=1 1 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量， 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 的规律收敛。 以1/n2的规律收敛。
4π
τ
w
幅度谱与相位谱合并
Cn c0
2π 4π
实数频谱： 实数频谱：
τ
τ
0 w2w 1 1
w
Fn
Eτ T1
2π 2π 4π
复数频谱： 复数频谱：
−
τ
τ
τ
0 w 2w1 1
w
举例： （3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数
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时对应的谐波分量。 *例3 Page 131 3.2
傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级
数被分解成无数多个复指数- 谐波分量的线性组合。11
二.频谱（Spectral）的概念
信号集 k中( t )的每一个信号，除了成谐波关系外，
每个信号随时间 的变t 化规律都是一样的，差别仅
仅是频率不同。
其中每个信号都是以 2 为周期的，它们的公共 周期为 ，2 且该集合k中 所0 有的信号都是彼此独
0
立的。
如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有
-
9
x(t)
akejk0t
k
显然 x (也t ) 是以 为2 周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数(指数型的）， 为傅a立k 叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
在许多领域已发挥了巨大的作用。
-
4
傅里叶生平
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何 周期信号都可以用正 弦函数的级数来表示”
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表 “热的分析理论”
1768—1830
• 1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件
-
5
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不 同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅 度，用线段的位置表示相应的频率。
-
12
分量e j 0 t 可表示为
1
0
cos0t
1(ej0t 2
ej0t)
1
1
2
2
0 0
0
因此，当把周期信号 x ( t )表示为傅里叶级数
示信号的方法称为频域表示法。
三.傅里叶级数的其它形式
若 x 是( t )实信号,则有 x(t) x(t) ，于是
x ( t) k a k e jk 0 t * k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t
Q a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
表明 a 的k 模关于 偶k 对称，幅角关于 奇k 对称。
-
15
x(t)a 0 [A kejk0 tej kA kejk0 tejk] k 1
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
-
6
Page128 结论：
• 复指数函数 e 、s t 是z n 一切LTI系统的特征函
数。 H ( s ) 、 H 分( z )别是LTI系统与复指数信号相对
应的特征值。
H(s) h(t)estdt
H(z) h(n)zn
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多
人不懈的努力而来的, 其中有争论, 还有人为之献
出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在科学的
领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我
们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长
的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，
也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法
k
❖只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。
对时域的任何一个信号 x ( t或) 者 x ,(若n )能将其表示
为下列形式：
x(t) a 1 es1 t a 2 es -2 t a 3 es3 t
7
利用系统的齐次性与叠加性
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t 所以有
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐
波分量。
例1：
x(t)cos0t
1ej0t 2
1ej0t 2
-
10
显然该信号中，有两个谐波分量，
a
1
为 1相应分量 2
的加权因子。
例2： x(t)co s 0 t 2co s3 0 t
1[ej0tej0t]ej30tej30t 2
在该信号中，有四个谐波分量，即 k1,3,
x ( t ) y ( t ) a 1 H ( s 1 ) e s 1 t a 2 H ( s 2 ) e s 2 t a 3 H ( s 3 ) e s 3 t
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n) akZkn
k
Page130：例3.1
y(t) akH(sk)eskt
k
y(n) akH(Zk)Zkn
x(t) akejk0t时，就可以将 x ( t ) 表示为 k
a
a 1
0
a1
gggg a
a
3
2
a 2 a 3 gggg
0 0
-
这样绘出的图 称为频谱图
13
频谱图其实就是将
a
随频率的分布表示出来，
k
即 ak ~关 系。由于信号的频谱完全代表了信号，
研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表
Signals and Systems
第3章 周期信号的 傅里叶级数表示
Fourier Series Representation
of Periodic Signals
-
1
本章内容：
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质(不讲解）
-
2
3.0 引言 Introduction
• 时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。 2)LTI系统满足线性、时不变性。
• 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求：
1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
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3
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
ak ak 或 ak* ak
-
14
若令ak Akejk 则 a 为0 实数
x ( t) A k e jk e jk 0 t a 0 1A k e j(k 0 t k ) A k e j(k 0 t k )
k
k
k 1
a0 [A kejk0tejk A kejk0tejk] k1
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？-83.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集: k(t){ejk0t}