信号与系统(周期信号傅里叶级数)
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• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
-
6
Page128 结论：
• 复指数函数 e 、s t 是z n 一切LTI系统的特征函
数。 H ( s ) 、 H 分( z )别是LTI系统与复指数信号相对
应的特征值。
H(s) h(t)estdt
H(z) h(n)zn
Signals and Systems
第3章 周期信号的 傅里叶级数表示
Fourier Series Representation
of Periodic Signals
-
1
本章内容：
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质(不讲解）
-
2
3.0 引言 Introduction
Q a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
表明 a 的k 模关于 偶k 对称，幅角关于 奇k 对称。
-
15
x(t)a 0 [A kejk0 tej kA kejk0 tejk] k 1
ak ak 或 ak* ak
-
14
若令ak Akejk 则 a 为0 实数
x ( t) A k e jk e jk 0 t a 0 1A k e j(k 0 t k ) A k e j(k 0 t k )
k 来自百度文库
k
k 1
a0 [A kejk0tejk A kejk0tejk] k1
其中每个信号都是以 2 为周期的，它们的公共 周期为 ，2 且该集合k中 所0 有的信号都是彼此独
0
立的。
如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有
-
9
x(t)
akejk0t
k
显然 x (也t ) 是以 为2 周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数(指数型的）， 为傅a立k 叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
x(t) akejk0t时，就可以将 x ( t ) 表示为 k
a
a 1
0
a1
gggg a
a
3
2
a 2 a 3 gggg
0 0
-
这样绘出的图 称为频谱图
13
频谱图其实就是将
a
随频率的分布表示出来，
k
即 ak ~关 系。由于信号的频谱完全代表了信号，
研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐
波分量。
例1：
x(t)cos0t
1ej0t 2
1ej0t 2
-
10
显然该信号中，有两个谐波分量，
a
1
为 1相应分量 2
的加权因子。
例2： x(t)co s 0 t 2co s3 0 t
1[ej0tej0t]ej30tej30t 2
在该信号中，有四个谐波分量，即 k1,3,
x ( t ) y ( t ) a 1 H ( s 1 ) e s 1 t a 2 H ( s 2 ) e s 2 t a 3 H ( s 3 ) e s 3 t
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n) akZkn
k
Page130：例3.1
y(t) akH(sk)eskt
k
y(n) akH(Zk)Zkn
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？
-
8
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集: k(t){ejk0t}
在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不 同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅 度，用线段的位置表示相应的频率。
-
12
分量e j 0 t 可表示为
1
0
cos0t
1(ej0t 2
ej0t)
1
1
2
2
0 0
0
因此，当把周期信号 x ( t )表示为傅里叶级数
• 时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。 2)LTI系统满足线性、时不变性。
• 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求：
1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
-
3
3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
时对应的谐波分量。 *例3 Page 131 3.2
傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级
数被分解成无数多个复指数- 谐波分量的线性组合。11
二.频谱（Spectral）的概念
信号集 k中( t )的每一个信号，除了成谐波关系外，
每个信号随时间 的变t 化规律都是一样的，差别仅
仅是频率不同。
在许多领域已发挥了巨大的作用。
-
4
傅里叶生平
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何 周期信号都可以用正 弦函数的级数来表示”
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表 “热的分析理论”
1768—1830
• 1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件
-
5
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多
人不懈的努力而来的, 其中有争论, 还有人为之献
出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在科学的
领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我
们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长
的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，
也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法
k
❖只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。
对时域的任何一个信号 x ( t或) 者 x ,(若n )能将其表示
为下列形式：
x(t) a 1 es1 t a 2 es -2 t a 3 es3 t
7
利用系统的齐次性与叠加性
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t 所以有
示信号的方法称为频域表示法。
三.傅里叶级数的其它形式
若 x 是( t )实信号,则有 x(t) x(t) ，于是
x ( t) k a k e jk 0 t * k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t
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Page128 结论：
• 复指数函数 e 、s t 是z n 一切LTI系统的特征函
数。 H ( s ) 、 H 分( z )别是LTI系统与复指数信号相对
应的特征值。
H(s) h(t)estdt
H(z) h(n)zn
Signals and Systems
第3章 周期信号的 傅里叶级数表示
Fourier Series Representation
of Periodic Signals
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1
本章内容：
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质(不讲解）
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3.0 引言 Introduction
Q a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
表明 a 的k 模关于 偶k 对称，幅角关于 奇k 对称。
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x(t)a 0 [A kejk0 tej kA kejk0 tejk] k 1
ak ak 或 ak* ak
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若令ak Akejk 则 a 为0 实数
x ( t) A k e jk e jk 0 t a 0 1A k e j(k 0 t k ) A k e j(k 0 t k )
k 来自百度文库
k
k 1
a0 [A kejk0tejk A kejk0tejk] k1
其中每个信号都是以 2 为周期的，它们的公共 周期为 ，2 且该集合k中 所0 有的信号都是彼此独
0
立的。
如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有
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x(t)
akejk0t
k
显然 x (也t ) 是以 为2 周 期的。该级数就是傅里叶级
0
数(指数型的）， 为傅a立k 叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，
x(t) akejk0t时，就可以将 x ( t ) 表示为 k
a
a 1
0
a1
gggg a
a
3
2
a 2 a 3 gggg
0 0
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这样绘出的图 称为频谱图
13
频谱图其实就是将
a
随频率的分布表示出来，
k
即 ak ~关 系。由于信号的频谱完全代表了信号，
研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表
即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐
波分量。
例1：
x(t)cos0t
1ej0t 2
1ej0t 2
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显然该信号中，有两个谐波分量，
a
1
为 1相应分量 2
的加权因子。
例2： x(t)co s 0 t 2co s3 0 t
1[ej0tej0t]ej30tej30t 2
在该信号中，有四个谐波分量，即 k1,3,
x ( t ) y ( t ) a 1 H ( s 1 ) e s 1 t a 2 H ( s 2 ) e s 2 t a 3 H ( s 3 ) e s 3 t
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n) akZkn
k
Page130：例3.1
y(t) akH(sk)eskt
k
y(n) akH(Zk)Zkn
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？
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3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集: k(t){ejk0t}
在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不 同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅 度，用线段的位置表示相应的频率。
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分量e j 0 t 可表示为
1
0
cos0t
1(ej0t 2
ej0t)
1
1
2
2
0 0
0
因此，当把周期信号 x ( t )表示为傅里叶级数
• 时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。 2)LTI系统满足线性、时不变性。
• 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求：
1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
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3.1历史的回顾 （A Historical Perspective）
时对应的谐波分量。 *例3 Page 131 3.2
傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶级
数被分解成无数多个复指数- 谐波分量的线性组合。11
二.频谱（Spectral）的概念
信号集 k中( t )的每一个信号，除了成谐波关系外，
每个信号随时间 的变t 化规律都是一样的，差别仅
仅是频率不同。
在许多领域已发挥了巨大的作用。
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傅里叶生平
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何 周期信号都可以用正 弦函数的级数来表示”
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表 “热的分析理论”
1768—1830
• 1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件
-
5
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多
人不懈的努力而来的, 其中有争论, 还有人为之献
出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在科学的
领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我
们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长
的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，
也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法
k
❖只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。
对时域的任何一个信号 x ( t或) 者 x ,(若n )能将其表示
为下列形式：
x(t) a 1 es1 t a 2 es -2 t a 3 es3 t
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利用系统的齐次性与叠加性
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t 所以有
示信号的方法称为频域表示法。
三.傅里叶级数的其它形式
若 x 是( t )实信号,则有 x(t) x(t) ，于是
x ( t) k a k e jk 0 t * k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t