矩阵相似的若干判别法及应用讲解

本科生毕业论文

矩阵相似的若干判别法及应用

学号： 2011562010

姓名：邵坷

年级： 2011级本科班

系别：数学系

专业：数学与应用数学

指导教师：由金玲

完成日期： 2015 年4月30日

承诺书

我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任.

毕业论文（设计）作者签名：

日期：年月日

目录

摘要 ..................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................... II 前言 (1)

第一章基本概念 (2)

1.1 矩阵 (2)

1.1.1 矩阵的概念 (2)

1.1.2 矩阵的性质 (2)

1.2 矩阵相似 (3)

1.2.1矩阵相似的概念 (3)

1.2.2 矩阵相似的性质 (4)

第二章矩阵相似的判别 (5)

2.1 特征值与特征向量法判定 (5)

2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法 .................................. 错误！未定义书签。

2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (5)

2.2用初等变法换判定 (8)

2.3 应用分块矩阵相似判定 (10)

第三章矩阵相似的应用 (13)

3.1 利用相似变换把方阵对角化 (13)

3.2 矩阵相似性质的简单应用 (13)

3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (14)

结论 (16)

参考文献 (17)

致谢 (18)

摘要

相似矩阵是高等代数课程范围内,一个很重要的基本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系.

本文从矩阵的基本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进行判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进行了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.

关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵

Abstract

The similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the advanced algebra. In addition, the similarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes.

This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vector, the diagonalization of matrix, the invertible transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the understanding.

Keywords: Eigen value;Eigen vector;Similarity of matrix;Distinguish;Partitioned mat rix

前言

在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的发展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的特征值与特征向量等.其中，矩阵相似理论也是在矩阵的发展之后才进一步发展和应用的起来的.矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型.相似矩阵间有很多相同的性质,比如秩,矩阵对应的行列式,迹（对角线元素之和）,特征值,特征多项式,初等因子都相同.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值,通过相似变换,可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质.利用矩阵相似的一些性质，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.

本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以及矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以及由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似及它的一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进行相似的判别，是对相似矩阵性质的综合运用，理论及方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.