矩阵相似的若干判别法及应用讲解
矩阵相似例题
矩阵相似例题【原创版】目录1.矩阵相似的定义和性质2.矩阵相似的判定方法3.矩阵相似的应用举例正文一、矩阵相似的定义和性质矩阵相似是指两个矩阵之间存在一种特殊的关系，使得它们在某种意义上相似。
设 A 和 B 是两个 n 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P^(-1)AP=B，则称矩阵 A 与矩阵 B 是相似矩阵。
显然，相似关系具有自反性、对称性和传递性，即相似是一个等价关系。
矩阵相似的性质包括：1.相似矩阵具有相同的特征多项式，因此它们的特征值相同。
2.相似矩阵具有相同的行列式值、迹和秩。
3.相似矩阵具有相同的几何重数（每个特征值所对应的特征向量的最大个数）。
4.相似矩阵具有相同的最小多项式。
二、矩阵相似的判定方法要判断两个矩阵是否相似，可以采用以下几种方法：1.矩阵的特征值相同：如果两个矩阵的特征值相同，则它们一定是相似矩阵。
2.矩阵的行列式值相同：如果两个矩阵的行列式值相同，则它们可能是相似矩阵。
此时，需要进一步检查它们的特征多项式是否相同。
3.矩阵的秩相同：如果两个矩阵的秩相同，则它们可能是相似矩阵。
此时，需要进一步检查它们的特征值和特征向量的个数是否相同。
三、矩阵相似的应用举例矩阵相似在实际问题中有广泛的应用，下面举一个简单的例子：例：求解矩阵 A=[[2, 1], [1, 0]] 与矩阵 B=[[1, 2], [0, 1]] 是否相似，并求出相似矩阵。
解：首先计算矩阵 A 和矩阵 B 的特征值和特征向量：矩阵 A 的特征值λ1=2，λ2=0，对应的特征向量为 v1=[1, 1]^T 和v2=[1, 0]^T。
矩阵 B 的特征值λ1=1，λ2=2，对应的特征向量为 v1=[1, 1]^T 和v2=[0, 1]^T。
可以看出，矩阵 A 和矩阵 B 的特征值不同，因此它们不是相似矩阵。
第二章第二章矩阵的相似及应用矩阵的相似及应用
x1 x2 = ( α 1 , α 2 , Λ , α n )Ａ Μ x n
x1 x2 λξ = (α 1 , α 2 , Λ , α n )λ Μ x n
T ξ = λξ
T(α1,α2 ,Λ ,αn )x = λ(α1,α2 ,Λ ,αn )x
(α1,α2 ,Λ ,αn )Ax= (α1,α2,Λ ,αn )λx
,α
n
x1 x2 其中 x = Μ x 坐标。 n
x1 x2 ( A λ I ) Μ x n
= 0
(2.1.4)
是特征向量 ξ 在基
s 下的
（2.1.4）有非零解 x 的充分必要 条件是：
( λ ) = det( λ I A ) = 0
定义2.1.2 λ I A 为矩阵 A 的特征矩阵，
T
酉矩阵 U ，使得 u1是它的第1列量。
定理 2.1.6
（Schur定理) A 设 n 为
阶方阵，λ1 ,λ 2 ,Λ , λn 是 A 的特征值，不论 它们是实数还是复数，总存在相似酉矩 阵 U 使得
A = UTU H ,
其中
T
为三角矩
λ 阵，对角线上的元素1 ,λ 2 ,Λ , λn
是
.
推论 1
x1 x1 x2 x2 (α 1 , α 2 , Λ , α n )Ａ = (α 1 , α 2 , Λ , α n )λ Μ Μ x x n n （２ １ . ３） .
（2.1.3）成立可以等价于 α 1 , α 2 , Λ
ξj 在变换
T 下满足：
Tξ j = λ jξ j
定义2.1.1 ξ ≠ 0 是线性空间 V 中的 向量，如果对于线性变换
Tξ = λξ λ ∈Ｐ
11550504031-陈黎明-数学与应用数学-矩阵相似的若干种判别法
其中 1 , 2 , , n 为 n 阶矩阵 A 的 n 个特征根.对于上述的等式，两边同时乘以 k 得
T ( kA)T 1 kdiag (1 , 2 , 3 , , n ) ，
显然 T 可逆,所以有 T (kA)T 1 diag (k1 , k2 , k3 , , kn ) .所以 kA 与对角矩阵相似.
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广东第二师范学院
本科毕业论文------矩阵相似的若干种判别法
摘
要
在高等代数中，矩阵具有举足轻重的地位，而矩阵相似又是矩阵的一个很 重要的内容.它与对角矩阵、非对角矩阵、方块矩阵、可逆矩阵、矩阵的特征根 和特征向量等有密切的联系.本文主要总结矩阵相似的若干种证明方法，以便我 们更好地理解矩阵相似，掌握矩阵相似的证明法以及灵活地应用到实践中去. [关键词]：矩阵相似；对角矩阵；可逆矩阵；方块矩阵
II
广东第二师范学院
本科毕业论文------矩阵相似的若干种判别法
目
录
摘要…………………………………………………………………………………I Abstract…………………………………………………………………………II
一．引言 …………………………………………………………………………1 二．主要内容………………………………………………………………………1 1.利用矩阵定义判断两矩阵是否相似 ……………………………………1 2.矩阵与对角矩阵相似的判别法 ………………………………………2
A 的特征多项式，再利用二元一次方程两根所涉及的韦达定理判断,判断 A 的是
否有两个不相同的特征根，若 A 有两个不相同的特征根，则 A 相似于对角矩 阵；若 A 没有两个不相同的特征根，则 A 不相似于对角矩阵,如例 5.
证明矩阵相似的几种方法
证明矩阵相似的⼏种⽅法
判断特征值是否相等、判断⾏列式是否相等、判断迹是否相等、判断秩是否相等。
两个矩阵相似充要条件是特征矩阵等价⾏列式因⼦相同不变，因⼦相同初等因⼦相同，且特征矩阵的秩相同，转置矩阵相似。
两个矩阵若相似于同⼀对⾓矩阵，这两个矩阵相似。
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。
设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与矩阵B相似，记为A~B。
n阶矩阵A与对⾓矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性⽆关的特征向量。
定理的证明过程实际上已经给出了把⽅阵对⾓化的⽅法。
若矩阵可对⾓化，则可按下列步骤来实现：
求出全部的特征值；对每⼀个特征值，设其重数为k，则对应齐次⽅程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性⽆关的特征向量；上⾯求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性⽆关的特征向量。
第二章 矩阵的相似及应用
特征向量、特征子空间
det(λ E − A) = (λ − 2)(λ − 1) 2
λ1 = 2, x = (0,0,1)T , V1 = span{α3}
dimV1 = 1
特征根重数等于特征子空间维数
2 -1 0 λ2 = 1, (1E − A) x = 4 -2 0 x = 0 -1 0 -1 2 -1 0 ran 4 -2 0 = 2, x = (1, 2, -1)T , -1 0 -1 V2 = span{ξ }, ξ = α1 + 2α 2 − α 3 dim V2 = 1
定理2 定理2.1.3线性来自间中的线性变换在不同基下的矩阵相似. 同基下的矩阵相似 证明: 证明:
S = {α1 ,α2 ,⋯,αn }
S* = { β 1 , β 2 ,⋯ , β n }
( β 1 , β 2 ,⋯ , β n ) = (α 1 , α 2 , ⋯ , α n )P
T → A,
(α1,α2 ,⋯,αn )Ax= (α1,α2 ,⋯,αn )λx
x1 x1 x2 x2 (α 1 , α 2 , ⋯ , α n )Ａ = (α 1 , α 2 , ⋯ , α n )λ ⋮ ⋮ x x n n （２ . ３ . （２ １ ）
Tξ = λξ
并且因为
那么
x1 x2 ξ = x1α1 + x 2α 2 + ⋯ + xnα n = (α1 , α 2 ,⋯, α n ) ⋮ x n
Tξ = T(x1α1 + x 2α 2 + ⋯ + xnα n ) x1 x2 T(α1 , α 2 ,⋯, α n ) = ⋮ x n
矩阵相似例题
矩阵相似例题摘要：一、矩阵相似的定义与性质1.矩阵相似的定义2.矩阵相似的性质二、矩阵相似的判定方法1.秩相似2.行列式相似3.迹相似4.标准型相似三、矩阵相似的应用1.矩阵对角化2.线性变换的性质3.矩阵函数的性质四、矩阵相似的例题解析1.矩阵相似的判定例题2.矩阵相似的应用例题正文：矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它涉及到矩阵的性质及其应用。
本文将详细介绍矩阵相似的定义、性质、判定方法及其应用。
一、矩阵相似的定义与性质矩阵相似是指存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A 与矩阵B 满足关系式：B = P^(-1) * A * P。
其中，A 和B 称为相似矩阵。
矩阵相似具有以下性质：1.相似矩阵具有相同的特征多项式；2.相似矩阵具有相同的行列式值；3.相似矩阵具有相同的迹；4.相似矩阵具有相同的秩。
二、矩阵相似的判定方法矩阵相似的判定方法有多种，常见的有以下四种：1.秩相似：当两个矩阵的秩相等时，它们是相似矩阵；2.行列式相似：当两个矩阵的行列式值相等时，它们是相似矩阵；3.迹相似：当两个矩阵的迹相等时，它们是相似矩阵；4.标准型相似：当两个矩阵具有相同的标准型时，它们是相似矩阵。
三、矩阵相似的应用矩阵相似在许多领域都有广泛的应用，例如：1.矩阵对角化：通过矩阵相似可以将一个矩阵对角化，从而简化矩阵的运算和求解线性方程组；2.线性变换的性质：线性变换的性质可以通过矩阵相似进行研究；3.矩阵函数的性质：矩阵函数的性质也可以通过矩阵相似进行研究。
四、矩阵相似的例题解析以下是一些关于矩阵相似的例题：1.矩阵相似的判定例题：已知矩阵A 和B，如何判定它们是否相似？2.矩阵相似的应用例题：已知矩阵A，如何通过矩阵相似将其对角化？。
两个矩阵相似的充分必要条件
两个矩阵相似的充分必要条件在线性代数中，矩阵相似是一个重要的概念。
两个矩阵相似意味着它们具有相同的特征多项式和特征值。
然而，要确定两个矩阵是否相似并不容易。
本文将介绍两个矩阵相似的充分必要条件，并解释其背后的原理。
充分必要条件一：两个矩阵的特征多项式相同。
特征多项式是一个与矩阵的特征值相关的多项式。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式可表示为：det(A-λI)，其中det表示行列式，λ表示一个变量，I表示单位矩阵。
如果两个矩阵的特征多项式相同，即det(A-λI) = det(B-λI)，那么它们可能是相似的。
充分必要条件二：两个矩阵具有相同的特征值。
特征值是一个矩阵的特征多项式的根。
如果两个矩阵具有相同的特征值，那么它们可能是相似的。
特征值的个数等于矩阵的阶数，且每个特征值的重数（即特征值的代数重数）等于其对应的特征值的几何重数。
充分必要条件三：两个矩阵的特征向量具有一定的关联性。
特征向量是与特征值相关联的向量。
对于一个n阶矩阵A和其特征值λ，如果存在一个非零向量v使得Av = λv，那么v就是A的一个特征向量。
如果两个矩阵具有相同的特征值，并且它们的特征向量之间存在一定的线性关系，那么它们可能是相似的。
充分必要条件四：两个矩阵的相似矩阵存在。
相似矩阵是一个矩阵与另一个矩阵相似的矩阵。
如果两个矩阵相似，那么它们一定存在相似矩阵。
相似矩阵可以通过矩阵的特征向量来构造。
基于以上充分必要条件，我们可以判断两个矩阵是否相似。
首先，我们可以计算两个矩阵的特征多项式，如果它们相同，则满足充分必要条件一。
然后，我们计算两个矩阵的特征值，如果它们相同，则满足充分必要条件二。
接下来，我们可以求解特征值对应的特征向量，并判断它们之间是否存在一定的线性关系，如果存在，则满足充分必要条件三。
最后，我们可以构造相似矩阵，如果存在相似矩阵，则满足充分必要条件四。
总结一下，两个矩阵相似的充分必要条件包括：特征多项式相同、特征值相同、特征向量具有一定的关联性以及存在相似矩阵。
证明矩阵相似的五种方法
证明矩阵相似的五种方法矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述的是两个矩阵之间存在某种相似性质，即它们可以通过某种变换相互转换。
在实际应用中，矩阵相似常常用于求解线性方程组、矩阵特征值和特征向量等问题。
本文将介绍五种证明矩阵相似的方法，希望对读者有所帮助。
方法一：矩阵相似的定义矩阵相似的定义是指存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B 满足B=PAP^-1。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是找到一个可逆矩阵P，使得它们满足这个等式。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
假设A的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 0], v2=[0.41 0.82 0], v3=[-0.41 -0.41 1]，则可得到：P = [v1 v2 v3] = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]因此，我们可以验证B=PAP^-1，即：B = PAP^-1 = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1][12 3; 4 5 6; 7 8 9][-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]^-1 = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]因此，A和B是相似的。
方法二：矩阵的特征值和特征向量矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的特征值和特征向量。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的特征值和特征向量，并比较它们是否相同。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
矩阵相似的判定条件
矩阵相似的判定条件矩阵的相似判定条件，对于线性代数的研究非常重要，因其关乎矩阵的结构，这是决定矩阵运算、数值计算的基础。
在这篇文章中，我们将详细阐述矩阵的相似性判定条件。
首先，我们从基本概念出发，来详细讨论矩阵相似性。
矩阵的相似性是指，当两个或多个矩阵满足特定的条件时，它们结构上有相似性。
这些条件有如下几种：1. 换矩阵存在这样的矩阵T，使A=TBT，其中B是另外一个矩阵。
这时，A与B是相似的；2. A的特征矩阵P的每一行（或列）都能经过同样的线性变换得到B的特征矩阵Q的每一行（或列）时，A与B是相似的；3. 果A可由对角阵和它上三角阵的乘积表示，而B可以由另一个对角阵和它上三角阵的乘积表示（并且两个对角阵都是可逆的），则A与B是相似的。
除此之外，在高等数学中，我们还发现了另一种能够用来检测矩阵相似性的条件矩阵等价的判定条件，它与矩阵的相似性有密切的关系，但也有一些不同点。
矩阵等价的判定条件可以用如下四个条件来表述：1.在一个矩阵Q，使得A＝Q＊B，其中B是另一个矩阵。
这时，A 与B是等价的；2.A的特征矩阵P的每一行（或列）都能经过一定的线性变换得到B的特征矩阵Q的每一行（或列），A与B是等价的；3.果A可以由对角阵和它上三角阵的乘积表示，而B可以由另一个对角阵和它上三角阵的乘积表示（并且两个对角阵都是不可逆的），则A与B是等价的；4.果A可以由三角阵和它下三角阵的乘积表示，而B可以由另一个三角阵和它下三角阵的乘积表示，则A与B是等价的。
除了这些条件，还存在着一些更抽象的条件，如加性等价、维数等价，以及域同调等价。
这些抽象的条件也可以用来检测矩阵相似性或矩阵等价性，有着与上述判定条件同样的效果。
矩阵的相似性和等价性在数学中的应用非常大。
首先，根据定义，一个矩阵的相似性或等价性可能会带来某种变换，这种变换可以用来简化某些矩阵运算。
其次，矩阵的相似性和等价性也可以用来研究矩阵的特性，比如在求解线性方程组时，特征值和特征向量的计算由此受益。
论文_矩阵相似的若干判定方法
长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练矩阵相似的若干判定方法系部：信息与计算科学系专业：数学与应用数学学号：2009031112姓名：杨文升成绩：2012年6月矩阵相似的若干判定方法杨文升长沙学院 信息与计算科学系，湖南 长沙，410022摘要：高等代数课程范围内，矩阵是一个很重要的基本问题。
矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系，矩阵的相似涉及到λ矩阵，矩阵可逆，同时矩阵相似可应用于两分块矩阵中和求可逆矩阵中。
在这里我们着重讨论了矩阵相似的基本概念和其性质。
并且总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论，以便我们能对矩阵的相似有进一步的了解。
关键词: 矩阵相似，λ矩阵，可逆矩阵 ，分块矩阵绪言本文主要介绍除了高等代数中通过两矩阵的特征矩阵等价判定矩阵的相似的其他方法．本文主要讨论了矩阵相似的基本概念及其相关性质，研究了两个方块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A00的相似．以此介绍几种判定矩阵相似的方法，让我们对矩阵的相似有进一步的认识．1 有关概念定义1[1] 设A ，B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ,使得AX X B 1-= 就说A 相似B 记作B A ~定义2[3] 设)(λij a )...,2,1,,...,2,1(n j m i ==是数域P 上的多项式，以)(λij a 为元素的n m ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)()(............)(...)()()(...)()()(212222111211λλλλλλλλλλmn m m n n a a a a a a a a a A 称为λ矩阵。
记[]()(nm P A ⨯∈λλ[]nm P ⨯λ为数域∈P 的λ矩阵的全体）。
定义3[3] 相似关系~为数域K 上的n 阶矩阵之间的等价关系，对任何nn KA ⨯∈，集合[]{}BA KB B A nn ~,|~⨯∈=称为矩阵A 形成的~等价类。
矩阵相似的若干判别法及应用讲解
矩阵相似的若干判别法及应用
学号：2011562010
姓名：邵坷
年 级：2011级本科班
系别：数学系
专 业：数学与应用数学
指导教师：由金玲
完成日期：2015年4月30日
承诺书
我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取 得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经 发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿 意承担一切责任.
有更进一步的了解•
关键词：特征值；特征向量；相似矩阵；判别；分块矩阵
Abstract
The similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the adva need algebra .In additi on, the similarity of matrix is an eleme ntary relati on ship betwee n the matrixes.
-
a22…
a2n
a
am1
am2
amn
我们把它称为s行t列矩阵，简s t阵矩，其中aj称为矩阵A的第i行第j列元素；如果矩阵A的行数和列数相等，则我们也把矩阵A叫做方阵A.
定义1.2如果一个矩阵的元素全为零,我们就称之为零矩阵，记为Omn,我们也可以简单的记为O.
定义1.3如果方阵A中的元素能够满足条件aj=0(i=j),则我们就把方阵叫
毕业论文（设计）作者签名：
日期：
摘 要I
AbstractII
、八、-丄
前 言1
第一章 基本概念2
论文_矩阵相似的若干判定方法
论文_矩阵相似的若干判定方法
矩阵相似性是一个重要的数学概念，在线性代数和矩阵论中被广泛研究和应用。
矩阵相似性指的是两个矩阵具有相同的特征值，即它们在某种意义上相似。
在实际应用中，判定矩阵相似性是非常重要的，下面介绍几种常见的判定方法。
1. 特征值判定法：矩阵A和矩阵B相似的充要条件是它们具有相同的特征值。
可以通过计算矩阵的特征值，然后对比两个矩阵的特征值集合是否相同来判定它们是否相似。
2. 特征向量判定法：矩阵A和矩阵B相似的充要条件是它们具有相同的特征值和相似的特征向量。
可以通过计算矩阵的特征向量，然后对比两个矩阵的特征向量来判定它们是否相似。
3. 规范形判定法：矩阵相似与它们的规范形有关。
规范形可以将矩阵变换为一种标准形式，具有相同的结构特征。
可以通过计算矩阵的规范形，然后对比两个矩阵的规范形来判定它们是否相似。
4. 矩阵相似的充分条件：若矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A 与矩阵B有相同的秩、不变因子和不动点。
5. 相似矩阵的性质：矩阵相似具有传递性，即若矩阵A与矩
阵B相似，矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
这些是常见的矩阵相似性判定方法，可以根据具体的应用场景选择合适的方法进行矩阵相似性的判断。
在实际应用中，还可以结合计算机算法和数值计算方法来判定矩阵相似性，提高计算效率和准确性。
(完整版)5-3.4相似矩阵
证 设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为 使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0
矩阵相似_精品文档
矩阵相似1. 引言矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中有广泛的应用。
矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值，相同的特征多项式和相同的秩。
2. 矩阵相似的定义设A和B是两个n阶复矩阵，如果有一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称矩阵A和B相似。
其中P-1是矩阵P的逆矩阵。
3. 矩阵相似的性质矩阵相似是一种等价关系，即具有反身性、对称性和传递性。
反身性是指任何矩阵都与它自己相似，对称性是指如果矩阵A与矩阵B 相似，则矩阵B也与矩阵A相似，传递性是指如果矩阵A与矩阵B 相似，矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
4. 矩阵相似与特征值矩阵相似的一个重要性质是两个相似的矩阵具有相同的特征值。
特征值是指矩阵对应的线性方程组Ax=λx中的λ值，其中x是非零向量。
相似的矩阵具有相同的特征值的原因是它们对应的特征多项式相同。
特征多项式是指将矩阵减去λI（其中I是单位矩阵）后的行列式，它的根就是矩阵的特征值。
5. 矩阵相似与秩矩阵相似的另一个性质是两个相似的矩阵具有相同的秩。
秩是指矩阵中线性无关列的最大个数。
由于相似的矩阵具有相同的特征值，所以它们对应的特征向量的个数相同，而特征向量是线性无关的，因此两个相似的矩阵的秩也相同。
6. 矩阵相似与对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换变成对角矩阵的过程。
相似矩阵具有相同的特征值，因此可以通过选择适当的变换矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是对角矩阵。
对角矩阵是一个只有主对角线上有非零元素的矩阵。
对角化可以大大简化矩阵的运算，对于一些特定的应用来说非常有用。
7. 应用领域矩阵相似在许多领域中有广泛的应用。
在物理学中，矩阵相似性是量子力学中重要的概念之一，用于描述系统的量子态之间的变换。
在图论中，矩阵相似性与图的同构性密切相关，用于研究网络结构的相似性。
在机器学习和数据挖掘中，矩阵相似性可以用于聚类分析和模式识别。
8. 结论矩阵相似性是线性代数中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。
线代课件-相似矩阵
【答】 特征值为：-1,4,1；
1
相似对角阵为
4
1
.
1 1 1
【例
5】设
A
x 3
4 3
y 5
，已知
A有
3
个线性无关特征向量，
2是 A的二重特征值，求可逆阵 P ，使得 P1AP为对角阵.
【答】 特征值为：2,2,6；
x 2, y 2,
1
P
1 0
1 0 1
1
2
2 3
,
P
1 AP
则 E B ．
答案 -6．
三.相似對角化問題 （方陣何時與對角陣相似）
【定义 2】 对n阶方阵 A，若存在可逆阵 P ，使
1
P1AP
2
diag(1
,
2
,
n
则称方阵 A可相似对角化.
,n )，
【注 2】若A与B相似，则 Ak与Bk相似, A的多项式 g( A)与B的多项式 g(B)相似.
【注 3】若A与相似，则 Ak与k相似，从而可以简便计算 Ak .
【定理 2】n阶方阵 A可相似对角化的充分必要条件是
A有n个线性无关的特征向量.
分析：若A可對角化 ，則
1
P 1
AP
2
n
AP
1
1
P
2
n
A(P1 , P2 , ...,
Pn )
(P1 ,
P2 , ...,
Pn
)
2
2
.
6
§5.3 相似矩陣
2012-10-12
74-<#>
一. 相似矩陣定義
【定义 1】 设 A, B为n阶矩阵，若存在可逆阵 P 使 P1AP B， 则称 A与B相似.
相似矩阵的判定及其应用
相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ； （3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
矩阵相似判定总结
矩阵相似判定总结引言矩阵相似判定是线性代数中的重要概念之一。
在计算机科学领域，矩阵相似判定在数据分析、图像处理、机器学习等领域中经常被使用。
本文将对矩阵相似判定进行总结，包括定义、判定方法和应用场景等方面的内容。
定义两个矩阵A和B被称为相似矩阵，是指存在一个可逆矩阵P，使得以下等式成立：PAP⁻¹ = B其中，P是可逆矩阵，P⁻¹是P的逆矩阵。
矩阵相似判定的目标就是判断给定的两个矩阵是否相似。
判定方法特征值相似性判定特征值相似性判定是矩阵相似判定中最常用的方法之一。
它基于以下定理：两个矩阵相似当且仅当它们的特征值相同。
具体的判定步骤如下：1.对于矩阵A和B，计算它们的特征值。
2.将特征值按照非递减的顺序排列。
3.比较两个矩阵的特征值是否完全相同，如果相同则判定它们相似，否则不相似。
秩相似性判定秩相似性判定是另一种常用的矩阵相似判定方法。
它基于以下定理：两个矩阵相似当且仅当它们的秩相同。
具体的判定步骤如下：1.计算矩阵A和B的秩。
2.比较两个矩阵的秩是否相同，如果相同则判定它们相似，否则不相似。
Jordan标准形相似性判定Jordan标准形相似性判定是一种更复杂但更准确的矩阵相似判定方法。
它基于以下定理：两个矩阵相似当且仅当它们具有相同的Jordan标准形。
具体的判定步骤如下：1.对于矩阵A和B，计算它们的Jordan标准形。
2.比较两个矩阵的Jordan标准形是否完全相同，如果相同则判定它们相似，否则不相似。
应用场景矩阵相似判定在各种应用场景中都有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：数据分析在数据分析中，矩阵相似判定可以用于判断两个数据集之间的相似性。
通过比较两个矩阵的相似性，可以评估它们之间的关联程度，进而进行数据聚类、异常检测等操作。
图像处理在图像处理中，矩阵相似判定可以用于图像匹配和图像变换等任务。
例如，在图像匹配中，可以通过将图像矩阵转化为特征矩阵，然后进行相似判定，以找到相似的图像。
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本科生毕业论文矩阵相似的若干判别法及应用学号： 2011562010姓名：邵坷年级： 2011级本科班系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：由金玲完成日期： 2015 年4月30日承诺书我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任.毕业论文（设计）作者签名：日期：年月日目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (1)第一章基本概念 (2)1.1 矩阵 (2)1.1.1 矩阵的概念 (2)1.1.2 矩阵的性质 (2)1.2 矩阵相似 (3)1.2.1矩阵相似的概念 (3)1.2.2 矩阵相似的性质 (4)第二章矩阵相似的判别 (5)2.1 特征值与特征向量法判定 (5)2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法 .................................. 错误！未定义书签。
2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (5)2.2用初等变法换判定 (8)2.3 应用分块矩阵相似判定 (10)第三章矩阵相似的应用 (13)3.1 利用相似变换把方阵对角化 (13)3.2 矩阵相似性质的简单应用 (13)3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (14)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)摘要相似矩阵是高等代数课程范围内,一个很重要的基本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系.本文从矩阵的基本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进行判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进行了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵AbstractThe similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the advanced algebra. In addition, the similarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes.This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vector, the diagonalization of matrix, the invertible transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the understanding.Keywords: Eigen value;Eigen vector;Similarity of matrix;Distinguish;Partitioned mat rix前言在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的发展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的特征值与特征向量等.其中，矩阵相似理论也是在矩阵的发展之后才进一步发展和应用的起来的.矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型.相似矩阵间有很多相同的性质,比如秩,矩阵对应的行列式,迹（对角线元素之和）,特征值,特征多项式,初等因子都相同.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值,通过相似变换,可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质.利用矩阵相似的一些性质，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以及矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以及由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似及它的一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进行相似的判别，是对相似矩阵性质的综合运用，理论及方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.第一章 基本概念1.1 矩阵矩阵是现代数学中极其重要、应用非常广泛的一个重要内容.利用这一数学工具,可以把所研究的多数据、多数量关系的问题化成简明的易于理解和分析的形式.1.1.1 矩阵的概念定义1.1 由t ⨯s 个数),2,1,,,2,1(n j m i a ij ==排成的s 行t 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 我们把它称为s 行t 列矩阵,简t s ⨯阵矩,其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素;如果矩阵A 的行数和列数相等,则我们也把矩阵A 叫做方阵A .定义 1.2 如果一个矩阵的元素全为零,我们就称之为零矩阵,记为mn O ,我们也可以简单的记为O .定义1.3 如果方阵A 中的元素能够满足条件)(0j i a ij ≠=,则我们就把方阵叫做对角阵.定义 1.4 如果一个n n ⨯矩阵除了主对角线上的元素,别的元素都是0,且主对角线是1的元素⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001 我们把它称之为n 级单位矩阵,记作n I ,一般情况下简写为I .1.1.2 矩阵的性质定义1.5 设ms ik a A )(=,sn kj b B )(=,那么矩阵mn ij c C )(=,其中∑==++++=sk kj ik sj is j i j i j i ij b a b a b a b a b a c 1332211 (1-1)我们将其称之为A 与B 的乘积,记为AB C =.注意,在乘法预算中方阵,要求前面方阵的行与后面方阵的列数位相同 定义 1.6 由方阵A 中的元素保持其原来相对的位置不变而构成的行列式称为方阵A 的行列式,记作A 或A det .定义1.7 对于数域P 上的n 阶方阵A ,如果满足0≠A ,则我们称其为非退化的;反之我们称它为退化的.定义1.8 对于n 级方阵A ,如果有一个n 级方阵B ,使得I BA AB == (1-2) 成立,我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.定义 1.9 如果有n 级方阵B 适合（1-2）,那么我们就把方阵B 叫做方阵A 的逆矩阵,记作1-A . 引理1.1 0≠A 是n 阶方阵可逆的充要条件.定义1.10 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 中元素ij a 的代数余子式,则矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111* 就是矩阵A 的伴随矩阵.定理1.1 如果A 方阵是非退化的,那么它是可逆的;反之方阵A 可逆,则它也一定是非退化的有*11A dA =- (0≠=A d ). (1-3) 定义1.11 矩阵的行秩是指以矩阵每一行的元素作为行向量而构成的行向量组的秩;矩阵的列秩是指以矩阵每一列的元素作为列向量而构成的列向量组的秩. 定理1.2 矩阵的行秩和列秩相等.因为矩阵的行秩和列秩相等,所以我们将行秩和列秩统称为矩阵的秩,矩阵A 的秩记为)(A R .1.2 矩阵相似相似的矩阵有很多共同的性质,所以只要从与A 相似的矩阵中找到一个特别简单的矩阵,只需通过对这个简单矩阵性质的研究就可以知道A 的性质.1.2.1 矩阵相似的概念定义1.12[1] 有A ,B 方阵在数域F 上,若是F 上有n 阶可逆方阵T 使等式：AT T B 1-=成立,那么就说B 与A 相似,并且写作.~B A定义1.13[1] 设)(λij a )...,2,1,,...,2,1(n j m i ==是数域F 上的多项式,以)(λij a 为元素的n m ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)()(............)(...)()()(...)()()(212222111211λλλλλλλλλλmn m m n n a a a a a a a a a A 称为λ矩阵.记[]()(n m P A ⨯∈λλ[]n m P ⨯λ表示数域∈P 的λ矩阵的全体）.定义 1.14 方阵上的相似关系~与数域K 上的n 阶方阵之间的关系是互推的,对任何n n K A ⨯∈,存在集合 []{}B A K B B A n n ~,|~⨯∈=则我们可称矩阵A 形成的相似(~)等价类.1.2.2 矩阵相似的性质性质1.1 反身性：由于AI I A 1-=所以每一个n 级方阵都是和自己相似的.即A A ~.性质1.2 对称性：如果B A ~,那么 A B ~ ;如果B A ~ ,那么有X ,使TX X B 1-=令1-=X Y就有BY Y XBX A 11--==所以A B ~.性质1.3 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.事实上,由AT T B 1-=和BU U C 1-=得)()(111TU A TU ATU T U C ---== （2-1）由等式AT T B 1-=可知,对于n 维向量空间上的两个线性变换的基它们相似.矩阵相似还有具有如下一些性质.（1）相似矩阵的行列式相等;（2）相似矩阵有相同的秩;（3）相似矩阵有相同的可逆性,且它们可逆时,它们的逆矩阵也相似;（4）相似矩阵的幂仍相似;（5）相似矩阵有相同的特征值.第二章 矩阵相似的判别研究矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似变换可以让任何一个矩阵变为若当标准型.若当标准型是尽可能最简单的一种矩阵,这种矩阵在运算上有许多方便之处.另一种好处是矩阵相似有许多相同的属性,这样可以将对形式复杂矩阵的研究转化为对简单形式矩阵的研究.本章给出三种判别矩阵相似的方法.2.1 特征值与特征向量法判定矩阵的特征值与特征向量作为一个极为重要的数学概念,它在数学中有着最为广泛的应用.应用特征值与特征向量将矩阵对角化,进而做矩阵相似的判断,是较为常用的、基本的判别矩阵相似的方法.2.1.1 特征值和特征向量定义及求法矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念,是判定矩阵相似的工具之一.定义2.1[1] 我们假设A 为n 阶方阵,如果有复数λ及n 维非零列向量，x 得x Ax λ= (1-1) 或者0)(=-x A E λ (1-2) 那么把λ看作是A 的特征向量,而x 则是λ的特征向量.求n 阶矩阵A 的特征值与特征向量有一般如下步骤：第一步：我们应先求出矩阵的特征多项式||E A λ-;第二步： 那么接下来我们应需要知道||A E -λ0=的所有根值n λλλ,,,21 并且n λλλ,,,21 便是矩阵的所有特征值;假如i λ是特征方程的单根,则称i λ为A 的单特征值;若是j λ是特征方程的k 重根,那么A 的k 重特征值是j λ,并且j λ的重数是k .第三步：对A 的相异特征值中的每个特征值i λ,再求得齐次线性方程组 0)(=-A E i λ (1-3) 的一个基础解系j ik i i ξξξ,,,21 ,则有j ik i i ξξξ,,,21 即为对应于特征值i λ的特征空间的一个基,则有A 的属于i λ的全部特征向量为j j ik k i i c c c x ξξξ+++= 2211其中j k c c c ,,,21 是不全部为零的任意常数.2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定性质2.1 设n n ij a A ⨯=)(的全部特征值为n λλλ,,,21 ,则存在着||,21121A a n ni ii n ==+++∑=λλλλλλ在这里咱们可以利用性质1.3.1去简化特征值的问题的一些相关的运算. 性质 2.2 如果λ是方阵A 的特征值,x 是相应的特征向量矩阵,然后任意正整数k ,有x 是k A 的特征值的特征向量且特征值为k λ.性质 2.3 假使λ是可逆矩阵A 的一个特征值,若λλ1,0≠为1-A 的一个特征值,且λ||A 为*A 的一个特征值.性质 2.4 如果有i x ),,2,1(m i =是方阵A 的相互存在差别的特征值m λλλ,,,21 的特征向量,那么存在着线性无关的向量组m x x x ,,,21 .并且,如果i λ的线性无关特征向量为i ik i i x x x ,,,21 ),,2,1(m i =,那么向量组,,,,11211i k x x x m mk m m k x x x x x x ,,,,,,,,21222212为线性无关.性质2.5 假使0λ是方阵A 的k 重特征值,那么0λ有不多过k 的个数的性无关的特征向量.定理 2.1[6] 设存在着两个n 阶的方阵A 与B ,它们有n 个互不相同的特征值,并且它们两个的特征值是完全一样的,那么则矩阵A 与矩阵B 相似. 证明 假使n λλλ，，， 21是A 的n 个互不相同的特征值,那么存在着可逆的 方阵1P ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n AP P λλλ 21111 又因为方阵B 的特征值也是n λλλ，，， 21,那么则会有2P 可逆矩阵,使得 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n BP P λλλ21212 所以212111BP P AP P --=.而()()1211121121112-----=P P A P P P AP P P ,即存在可逆矩阵P P P =-121,使得B AP P =-1,而矩阵A 与矩阵B 相似.定理2.2 存在着n 阶方阵A ,且它的每一个i S 重特征值i λ,能使得秩()i i S n A E -=-λ那么A 相似于对角矩阵,否则不相似.例2.1 证明矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=122212221A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=30241112065B 相似.解 A 的特征多项式为()()()311122212221--+=------=-λλλλλλλA E所以A 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλA 的属于特征值3,1,1-的全部特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1112α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103α.若令(123,,)P ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300011001,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011AP P ,而B 的特征值为 ()()()311--==-λλλλB E所以B 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλB 的属于特征值3,1,1-的特征向量为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1222β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1433β令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1114232321Q ,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011BQ Q .显然 BQ Q AP P 11--=,()()11111-----==QP B QP BQP PQ A记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-1011111231QP U ,有BU U A 1-=,所以A 与B 相似.例题2.2 证明下方矩阵是否相似于对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=16-3-05-3-064A (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130013B解 （1）由于()()()212+-=λλλA f ,所以A 的特征值是11=λ（重数1S 2=),22-=λ(重数12=S ).又由()1231S n A E r -=-==-,()==--22A E r 113S n -=-可知矩阵A 相似于对角矩阵.（2）因为()()33-=λλB f ,所以B 的特征值是3=λ（重数3=S ）,又由于()03323=-=-≠==-S n r A E r ,故B 不相似于对角阵.2.2 用初等变换法判定引理2.1 如果)(λA 是数域P 上的一个λ方阵,那么有数域P 上的可逆λ方阵)(λV ,使得)(λA )(λV 为上三角方阵.引理 2.2 如果A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么A 与B 相似的充要条件是数域P 上会有两个可逆的λ方阵)(),(λλV U ,能让A E VB E U -=-λλλλ)())(( （1-1） 并且A 与B 相似时有B AT T =-1,使得)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值.定理 2.3[12] 假使A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么方阵A 与B 相似的充要条件是在数域P 上有可逆的λ矩阵)(),(),(21λλλV V U ,成立12()()()()()U E B V E A V λλλλλ-=- （1-2） 有方阵A 与B 相似时有B AT T =-1,并且)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值. 证明 充分性：当存在)(),(),(21λλλV V U ,可逆,我们把（1-2）式两端同时都在右边乘上12)(-λV 有,)()())((121A E V V B E U -=--λλλλλ令121)()()(-=λλλV V V ,那么)(λV 可逆,且A E VB E U -=-λλλλ)())((,由引理2.2可知,A 与B 相似. 必要性：可在（1-1）式中让E V V V ==)(),()(21λλλ那么可得（1-2）式.在A 与B 相似时,我们可以通过引理2.2得出B AT T =-1,那么)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值.定理2.4[6] 如果有两个n 阶矩阵A ,B 存在于数域P 上,则存在可逆的λ方阵)(),(),(),(2121λλλλV V U U 在数域P 上,他们是矩阵A 与B 相似的充分必要条件 可以使得：)())(()())((2211λλλλλλV A E U V B E U -=- （1-3） 当方阵A 与B 相似时会有有B AT T =-1,同时有)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.证明 充分性：假使)(),(),()(2121λλλλV V U U 可逆,当我们把（1-3）式两端同时左乘上12)(-λU 得到)()()())(()(21112λλλλλλV A E V B E U U -=--令)()()(112λλλU U U -=则)(λU 可逆,并且有)()()())((21λλλλλV A E V B E U -=-由定理2.3得A 与B 相似.必要性: 可以在(1-2)式中让E U U U ==)(),()(21λλλ那么可得(1-3)式.在A 与B 相似时,通过引理 2.2得B AT T =-1,那么)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.例题 2.3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011121111,211111110B A .判断A 与B 两个方阵是否相似,并且当相似时求可逆矩阵P ,使得B AP P =-1. 解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=--++-+++10011023133001101231330011123100111121011112121111111223223)](23[2)]1(32[2)](31[)]2(31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-+-+-+1000010112212001111000010101110011110011010121001111)|(22)]1(12[2)](31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλE B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+--+--+-−−−−→−--++-++-+10010011111012243423133100001111011122434133231000010110111224341332310000101101012243413323222223222232)]1(2[222232)]1(32[222232)]12(31[)]24(21[22λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以,A 与B 相似. 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+-=000111122434)(222λλλλλλλU则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100111123000000244000000111)(2λλλU 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==011111101100111123000000244211111110000000111423212322100111123000000244000000111)(2A A A U P l 则⎢⎢⎢⎣⎡-011111101 ⎥⎥⎥⎦⎤100010001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--101011001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--110011001 ⎢⎢⎢⎣⎡→100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤----110211111 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1102111111P 所以B AP P =-12.3 分块矩阵相似判定在上一节我们通过利用矩阵的特征值与特征向量定理研究了矩阵的相似,那么这一小节我们来了解矩阵中的分块矩阵是否相似,现有两个分块矩阵着⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00,在著名的Roth （罗斯）定理中表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00相似的一个充要条件是方阵方程C XB AX =- (1-1)有解．定理2.5[10] 如果已知有A ,B 两个矩阵,并且有2A A =与B B =2,那么B AC +C C =则是分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0与⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00相似的充分必要条件. 证明 必要性 已知分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00,要是它中的A 和B 两个方阵都幂等的,那么它也必然为幂等的方阵.所以如果⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似,那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0也是幂等方阵的,也就是20⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0 把两边矩阵分别展开得到C CB AC =+.充分性 已知A 和B 这两个幂等方阵,因此它们可以分解为11000,000--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q IQ Q B P IP P A (1-2) 把它们代入（1-1）式中,得知PCQ IQ PXQ PXQ IP =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡000000 (1-3) 我们让⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321Y Y Y Y PXQ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321F F F F PCQ (1-4) 通过（1-4）式可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321323121000000F F F F Y Y Y Y Y Y (1-5) 那么01=F 和04=F 是方程有解的充要条件,我们通过（1-2）,（1-4）,则可明确的知道等价于0=ACB 和0)()(=--B I C A I n m所以这两个方程也等价于C CB AC =+.由此可知,在C CB AC =+条件下,方程（1-1）有解,所以两个分块方阵0A C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00相似,证明完毕. 例题 2.4 设存在两矩阵C 和D ,并且D C ~其中B A ~,求证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A 00~00. 证 因为B A ~,且矩阵.~D C 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--C A Y X Y E E X C O A E X Y E 00000000000001111⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-D B YCY AX X Y X 0000001 又由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----Y E E XY E E X E X Y E 0000000000001111111 故.00~00⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A第三章 矩阵相似的应用3.1 利用相似变换把方阵对角化定义 3.1 相对应n 阶方阵A ,假使存在可逆矩阵P ,让B AP P =-1变为对角矩阵,那么我们就称矩阵A 可对角化，且可对角化为B .定理3.1 如果n 阶矩阵A 可对角化,那么它对角矩阵相似. ⇔A 中存在着n 个线性无关的特征向量.推论 3.1 如果n 阶矩阵A 存在n 个不同的特征值,那么矩阵A 与对角矩阵相似.例题3.1 利用相似变换将矩阵A 对角化..2-4242-2-22-1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A解λλλλ-------=-242422221E A()()0722=+--=λλ得.7,2321-===λλλ当221==λλ时,齐次线性方程组()20A E X -=的基础解系为121,0P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2201P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当37λ=-时,齐次线性方程组()70A E X +=的基础解系为3122P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭因为，02-10201122-≠所以321,,P P P 线性无关,即A 有3个线性无关的特征向量,所以,利用线性变换221102012P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,可将矩阵A 对角化为200020007⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪-⎝⎭,即矩阵A 与矩阵Λ相似.3.2 矩阵相似性质的简单应用应用矩阵相似的简单性质我们可以在方阵乘法的运算中可以简化运算的过程,大量的节省时间,极大的方便了我们.例3.2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-1-2-020021A ,求证100A .解（1）先算出A 方阵特征值与特征向量.由)2)(1)(1(112020021)(-+-=+---=-=λλλλλλλA E A f A 所以,A 的3个互异特征值为,2,1,1321==-=λλλ故A 可以对角化,对每个(),3,2,1=i i λ求得分别属于211-321===λλλ，，的特征向量为.35121-01100321⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα，，（2） 令=P 1(α,2α,,3511100210)3⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=α 有.2000100011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-AP P（3） 因为11001100100100()010002P A P P AP --⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭所以100110010011110001210030100010101100025002010113A P P -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10110113100100100100012111220002120020.501051120(12)033-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.3 矩阵相似在实际生活中的应用矩阵相似有许多相同的属性,如秩矩阵,行列式,微量（对角）,特征值,特征多项式,主要因素是相同的.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值.通过相似变换的性质特点,可以使复杂运算变成更加简单的求值计算.例3.3 一实验生产线每年二月为熟练和非熟练工人的数量统计,然后把61熟练工人支持其他生产部门,招募新的非熟练工人完成的空缺.旧的和新的非熟练工人通过培训和时间,年终考核将有52成为熟练的工人.假使过了n 年在二月份的一次统计中熟练工人与非熟练工人在总人数中为百分之n x 与百分之n y ,我们把它写为向量.⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x（1）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x 的关系式并写成方阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x .⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n y x A （2）求证A 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11-1421ηη，这两个不相关的特征向量,然后在分别算出他们的特征值;解 （1）根据上述已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++n n n n n n n y x y y x x x 615361526511化简得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++n n n n n n y x y y x x 531015210911对其用矩阵表示即为,531015210911⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n y x y x 于是.5310152109⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A（2） 令，），（⎥⎦⎤⎢⎣⎡==111-421ηηP 则由05≠=P 知,21ηη，这两个特征向量线性无关.因.1411ηη=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A 所以这个特征向量1η属于矩阵A .并且相应的11=λ为特征值.因22212121ηη=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--A 故2η为A 的特征向量,且相应的特征值.212=λ结论本文以矩阵及矩阵的性质和矩阵相似的一些相关的性质为主要理论依据,从矩阵和矩阵相似的相关性质与应用处着手,主要论述了矩阵相似的几个判别方法,并在第三章中将矩阵相似的一些应用展示给了大家,通过将矩阵和矩阵相似的一些相关理论进行整理分析，找出了它们之间的转化关系.同时,在研究过程中,培养了应用数学的意识和能力.运用矩阵相似的性质和判别法,解决了几类较为基本的矩阵相似的应用问题.参考文献[1] 张禾瑞,郝鈵新,张禾瑞郝鈵新编.高等代数[M].北京:高等代数出版社,2007:327-328.[2] 冯天祥,李世宏.矩阵的QR分解[J].西南民族学院学报,20:4(2001),418-421.[3] 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Linear Algebra［J］.USA:Create Space.2008,（124-205）.致谢四年的大学生活即将结束,回头望去,百感交集.四年里,陪伴我的是敬爱的老师、亲爱的同学,所以,我要感谢母校黑河学院,您是养育我的土壤;我要感谢我的老师,是你们让我有了实现自我的能力和勇气;我要感谢我的同学们,是你们给了我家一样的感觉.另外,我要感谢我的指导老师由金玲老师,由于她的悉心指导,使我能够圆满地完成论文的撰写.在这段时间里,我深深的体会到由金玲老师的耐心与细致，以及她严谨的治学态度,这一切都将成为我今后生活、工作的榜样.再次由衷的感谢我的指导老师,您辛苦了！。