§1 定积分的概念
《定积分的定义》课件
总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可 乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是 线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积 分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函 数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与 区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度 乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即 函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分， 函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些 性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积 分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以 计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
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微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它 为解决各种实际问题提供了重要的数 学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算 各种函数的定积分，从而解决诸如面 积、体积、长度、平均值、极值等问 题。此外，它也是微分方程求解的重 要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严 谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意 义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和 积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积
定积分的概念-精品文档
[ x , x ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) : i 1 i
T m a x x 1 , 2 ,, n . ii
就能保证分割越来越细. 则 当 T 0 时 ,
i
x n1 b
x
i
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边
梯形的面积.
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如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A , A , , A , 1 2 n
xx , 2 , , x } , 即在 [ a , b ] 上找到 n 1 个分点 { 1 n 1
积.
一分为二
y
y f x
S(A)
O
a
x
1
b
x
前页 后页 返回
y 一分为四
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
2
x
3
b
x
前页 后页 返回
y
一分为八
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
3
x 81 b
x
前页 后页 返回
一分为 n
y
y f x
S(A)
O
a x
1
x i1 x
用 T x , x , , x 或 T = , , 来 记 这 个 分 割 . 0 1 n 0 n
i
1 定积分的概念
§1.定积分的概念※ 学习目标1．理解定积分产生的背景；2．掌握定积分问题的基本思想和解决方法. ※ 学习过程 一、课前准备 复习：导数的的概念；导数在几何、物理上的意义；应用导数在解决数学最值问题上的方法步骤二、研读课本 课本问题1图中阴影部分时由抛物线f(x)=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形的面积S.新知总结积分问题的基本思路及步骤 1、分割：将区间[a ，b]插入n －1个点（一般都是均匀插入这些点），使得：a=x 0<x 1<x 2<…<x 1-i <x i <…<x 2-n <x 1-n <x n =b ，则将区间分成了[a ，x 1]，[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，…，[x 1-i ，x i ]，…，[x 2-n ，x 1-n ]，[x 1-n ，b]n 个区间，记第i 个区间[x 1-i ，x i ]长度为△x i （i=1，2，3，…，n ），过每个分点x i 作x 轴的垂线段，则将曲边梯形分割成了n 个小的曲边梯形；2、近似代替：在第i 个区间[x 1-i ，x i ]内任取一个值ξi （一般都是取左端点x 1-i 或者右端点x i ），那么这个曲边梯形可以近似看作是一个矩形，其高为f(ξi )，易知宽为x i －x 1-i =△x i ，那么这个小曲边梯形的面积就可以近似看作S i ≈ f(ξi )·△x i （i=1，2，3，…，n ）；3、求和：S ≈S 1+S 2+ S 3+…+S 1-n +S n = f(ξ1)·△x 1+ f(ξ2)·△x 2+ f(ξ3)·△x 3+…+ f(ξ1-n )·△x 1-n + f(ξn )·△x n =∑=∆ξni i i x f 1)(4、取极限：分割的细度n →∞，则S=∞→n lim∑=∆ξni iif 1)(课本问题二想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s 后停下，在这一过程中，汽车的速度v （单位：m/s ）是时间t 的函数：v （t ）=t 2－10t+25(0≤t ≤5).请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.例 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值： （1）⎰12dx （2）⎰21xdx （3）⎰--1121dx x小结：定积分的几何意义就是求曲边梯形的面积.知识点： 定积分有如下性质：性质1⎰ba dx 1=性质2 ⎰b a dx x kf )(=性质3 ⎰±b a dx x g x f )]()([=性质4 ⎰b ax f )(=⎰cax f )(+⎰bcx f )(三 动手试试 练1. 面积问题：设S 表示由曲线y=x ，直线x=1以及x 轴所围成平面图形的面积.(1）画出该平面图形；（2）试估计该平面图形的面积，并写出估计值的误差.练2. 做功问题一根弹性系数为0.4N/cm 的弹簧，其拉力F 随着弹簧拉伸的长度x 的变化而不断变化，根据胡克定律可知：F=F(x)=0.4x.如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端固定在物体上，在不考虑摩擦力的情况下物体在力F 作用下匀速移动，从原来位置 移动10cm.估计这一过程中拉力所做的功W.练3．用图形表示下列定积分： （1）⎰102dx x （2）⎰21ln xdx （3）⎰-11dx e x※ 总结提升 学习小结1. 积分问题的基本思路及步骤：1、分割；2、近似代替；3、求和；4取极限． 2. 积分的几何意义就是求曲边梯形的面积． ※ 课后练习：（1-4选择题）1．利用定积分的几何意义求下列定积分（1）⎰212xdx （2）⎰-224dx x（3）⎰-11dx x2．已知⎰10dx e x=e ，⎰102dx x ，求下列定积分：（1）⎰+12)(dx x e x（2）⎰-12)2(dx x e x3．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v （t ）=20t ，0≤t ≤5，试估计汽车在这段时间内走过的距离，并写出估计值的误差.4．设力F （单位：N ）的方向与抛物线运动的方向一致，力的大小随着物体走过的路程x （单位：m ）而变化，可以表示为F=F(x)=x11,估计力F 在0—10m 这段路程内所做的功，要求误差不超过1N ·m.。
数学课件第4章 1.1、1.2 定积分的概念
一、功和能的关系
1．能量 (1)概念：一个物体能够对其他物体___做__功_______，我们就 说这个物体具有能量．
(2)形式：能量有各种不同的形式，如机械能、内能、光能、 化学能、核能等，不同的运动形式对应于不同形式的能．
2．功与能的关系 做功的过程就是__能_量__转__化_____的过程，做了多少功，就有 多少___能_________发生转化，所以功是能量转化的量度．
估计误差不会超过 S－s＝1.32－1.02＝0.3.
利用定积分的几何意义求定积分
用定积分的几何意义求下列各式的值．
1
(1)－1
4－x2dx；
(2) (1＋sin x)dx.
b
[思路点拨] 定积分af(x)dx 的几何意义是介于 x＝a，x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴 上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．
2
∴ 0
f(x)dx＝32＋1＝52.
b
1．由定义可得定积分af(x)dx 是一个常数，它的值仅取决
b
于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即af(x)dx
b
b
＝af(t)dt＝af(u)du.
2．性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立，性质 4 对于
0f(x)dx－0g(x)dx＝－5.
1
两式相加，得 20f(x)dx＝－2.
1
故0f(x)dx＝－1.
b
b
(2)由a2f(x)dx＝2af(x)dx＝5，
得baf(x)dx＝25.
故13ba[2－f(x)]dx＝31ab2dx－abfxdx＝
所以估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
定积分的概念
04
定积分的应用
面积计算
几何图形面积
定积分可用于计算各种几何图形的面 积，如矩形、圆形、三角形等。通过 选取适当的积分变量和积分区间，可 以将面积表示为定积分的形式，进而 求出面积。
参数方程面积
对于由参数方程定义的曲线所围成的 图形，也可以利用定积分计算其面积。 通过消去参数，将参数方程转化为直 角坐标方程或极坐标方程，再利用定 积分进行计算。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将不定积分的被积函 数拆分成两个或多个函数的乘积，利用 乘积法则进行分部积分，从而简化计算 过程。
VS
详细描述
分部积分法的基本思想是将不定积分的被 积函数拆分成两个或多个函数的乘积，然 后利用乘积法则进行分部积分。这种方法 需要掌握基本的乘积法则和分部积分公式 ，并能够灵活运用以解决复杂的不定积分 问题。
起考虑，以确定函数值的累积结果。
特殊情况的积分上下限
当积分区间是无限区间时，积分上下限可能是无穷大或无穷小 的情况。这些特殊情况的积分上下限需要特殊处理和考虑。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再求和或求差。
具体形式
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换原不定积分中的变量，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分，从而简化 计算过程。
详细描述
换元积分法的基本思想是将原不定积分中的变量替换为另一个变量，使得新的不定积分更易于计算。这种方法需 要灵活运用变量代换技巧，选择合适的代换公式，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。
应用
积分中值定理在解决定积分问题时非 常有用，特别是当我们需要找到一个 特定的点，使得函数在该点的值等于 整个区间的定积分时。
定积分的概念存在条件与性质
• 定积分的概念 • 定积分的存在条件 • 定积分的性质 • 定积分的应用
01
定积分的概念
定义与背景
定义
定积分是积分的一种，是函数在 区间上各点的定积分值相加的总 和。
背景
定积分是为了解决实际问题而产 生的数学工具，如计算曲线下面 积、变速直线运动的路程等。
定积分的几何意义
计算体积
通过微元法，可以将体积转化为定 积分，从而求出给定立体的体积。
微元法在物理学中的应用
计算做功
利用微元法，可以将力在物体上 做的功转化为定积分，从而求出 做功的值。
计算压力
在流体动力学中，利用微元法可 以将压力转化为定积分，从而求 出压力的值。
计算质心
在质点系中，利用微元法可以将 质心位置转化为定积分，从而求 出质心的位置。
详细描述
如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，那么对于任意实数k和l，函数k*f(x) + l*g(x)在区间[a, b]上也可积， 且
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指对于任意分 割的两个子区间，其对应的定积分之 和等于原函数在整体区间上的定积分。
详细描述
如果[a, b]被分成两个子区间[a, c]和[c, b]，那么∫(b, a)f(x) dx = ∫(b, c)f(x) dx + ∫(c, a)f(x) dx。
绝对收敛
如果定积分存在且其值小于等于某个正数，则该定积分是绝 对收敛的。
定积分存在的必要条件
区间不可分
如果闭区间不能被分成有限个开子区间，则该函数在该闭区间上不可积。
无界
如果函数在闭区间的任意子区间上都无界，则该函数在该闭区间上不可积。
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
定积分的概念及性质课件
03
定积分的应用
面积计算
平面面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，例如矩形、圆形、三角形等。通过选取 适当的积分变量和积分区间，可以将面积表示为函数与积分区间的乘积，进而 求出面积。
曲面面积
定积分也可以用来计算曲面面积，例如球面、锥面等。通过选取适当的参数和 积分变量，可以将曲面面积表示为函数与积分区间的乘积，进而求出面积。
定积分的性质
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行 积分后再求和或求差。
详细描述
定积分的线性性质是定积分的一个重要性质，它表明对于任意两个函数f和g，以 及常数a和b，有∫(a×f+b×g) dx = a×∫f dx + b×∫g dx。这个性质在计算定积 分时非常有用，特别是当被积函数难以直接积分时，可以通过拆分被积函数来简 化计算。
函数可加性与积分可加性
总结词
函数可加性与积分可加性是指对于任意 两个区间[a, b]和[c, d]，若函数f在每个 区间上可加（即可以表示为两个非负函 数的差），则∫(f) dx在[a, b]和[c, d]上的 积分值之差等于∫(f) dx在[a, c]上的积分 值与∫(f) dx在[c, d]上的积分值之差。
体积计算
旋转体体积
定积分可以用来计算旋转体的体积，例如圆 柱、圆锥、球等。通过选取适当的积分变量 和积分区间，可以将旋转体的体积表示为函 数与积分区间的乘积，进而求出体积。
曲顶柱体体积
定积分也可以用来计算曲顶柱体的体积，例 如圆环、椭圆环等。通过选取适当的积分变 量和积分区间，可以将曲顶柱体的体积表示 为函数与积分区间的乘积，进而分法是通过引入新的变量替换原变量，将复杂的 积分转换为更易于计算的积分。
第2讲 定积分定义
任取ξi ∈[ xi−1, xi ], 作和：
n
∑ f (ξi )Δxi .
i =1
上述和式称为 f 在分割 T 下的一个积分和或黎曼和.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的概念
若 ∀ε > 0，∃δ > 0, 使得对任意分割
T : a0 = x0 < x1 < < xn = b,
通过类似分析,速度 v(t) 质点运动的路程为
b
s = ∫a v(t)dt;
密度为 ρ( x) 线状物体的质量为
b
m = ∫a ρ( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的概念
关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1 ∑ 和式 f (ξi )Δxi 不仅与 n 和 T 有关,还与
∫ ∑ b
n
J=
a
f ( x)dx
=
lim
T →0
i =1
f (ξi )Δxi .
其中称 f 为被积函数,[a, b] 为积分区间, x 为积分变量，
a, b 分别为积分下限和上限.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的概念
由定义,曲边为 f ( x)的曲边梯形的面积为
b
S = ∫a f ( x)dx.
高等教育出版社
§1 定积分的概念
以后将知道 f (x) 在[a, b] 上连续时, 利用 f (x) 在 [a, b] 上的一致连续性, 可证 f (x)在[a, b]上可积.
下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.
∫ 例1 求 1 x2dx. 0
《定积分的概念》课件
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
第四章 §1 定积分的概念
b a b a
2．定积分的几何意义
x＝a 与_____ x＝b ， y＝0 (1)当 f(x)≥0 时， f(x)dx 表示的是_______ ______ y＝f(x) 所围成曲边梯形的面积． 和________
[一点通] 解决这类问题， 是通过分割自变量的区间求得过剩 估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当 分割成的小区间的长度趋于 0 时，过剩估计值和不足估计值都趋 于要求的值．
1．把区间[0,1]n 等分，所得 n 个小区间，每个小区间的长度为 ( 1 A.n 3 C.n 2 B.n 1 D. 2n )
f(x)dx± g(x)dx (3) [f(x)± g(x)]dx＝________________；
f(x)dx＋ f(x)dx (4) f ( x )d x ＝ ________________. b b a
b a b a
b a b a
f(x)dx＋ g(x)dx＝3， f(x)dx－ g(x)dx＝－5，
1 0 1 0
1 0
两式相加，得2 f(x)dx＝－2， 故 f(x)dx＝－1.
1 0
(2)∵ 2f(x)dx＝2 f(x)dx＝5， 5 ∴ f(x)dx＝ . 2
b 1 1 b b ∫ ∫ 于是 [2－f(x)]dx＝ a2dx－ afxdx 3a 3
1 1 1 ×12＋ ×1.22＋ × 2 2 2 1 1 2 2 1.4 ＋ ×1.6 ＋ ×1.8 ×0.2＝ 2 2
2
第四章 §1 定积分的概念
§1定积分的概念学习目标 1.了解“以直代曲”，“以不变代变”的思想方法，会求曲边梯形的面积.2.了解定积分的概念，会用定义求定积分.3.理解定积分的几何意义，并掌握定积分的基本性质．知识点一曲边梯形的面积思考如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的平面图形称为曲边梯形，如图中阴影部分所示．求曲边梯形的面积的步骤(1)分割：将区间[a，b]n等分；(2)计算：过剩估计值S 1＝⎣⎢⎡ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －a n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2(b －a )n⎦⎥⎤＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋n (b －a )n ×b －an ；不足估计值S 2＝⎣⎢⎡ f (a )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b －a n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2(b －a )n⎦⎥⎤＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋(n －1)(b －a )n ×b －an .(3)近似代替：无论用S 1还是用S 2表示曲边梯形的面积，误差都不会超过S 1－S 2. 知识点二 定积分的概念一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，其图像如图所示．(1)将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx i .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝∑i ＝1nf (ζi )Δx i .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，容易验证，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点δ1，S ′＝∑i ＝1nf (δi )Δx i 的值也趋于该常数A ，我们称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃba f (x )d x ，即ʃb a f (x )d x ＝A .(2)ʃb a f (x )d x 中符号的意义知识点三 定积分的几何意义、物理意义 (1)定积分的几何意义当f (x )≥0时，ʃb a f (x )d x 表示的是y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 和x 轴所围曲边梯形的面积． (2)定积分的物理意义当f (x )表示速度关于时间x 的函数时，ʃb a f (x )d x 表示的是运动物体从 x ＝a 到x ＝b 时所走过的路程．知识点四 定积分的性质 (1)ʃb a 1d x ＝b －a .(2)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)． (3)ʃb a [f (x )±g (x )]d x ＝ʃb a f (x )d x ±ʃb a g (x )d x . (4)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝⎛⎭⎫i n 2近似代替．( × ) 2．定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图像以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．( √ ) 3．曲边梯形的面积S ＝ʃb a f (x )d x ；变速直线运动的位移s ＝()21d t t t t ⎰v ；变力做功W ＝ʃbaF (r )d r .( √)类型一 定积分的定义及应用例1 求抛物线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S .⎣⎡⎦⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲线梯形的面积问题 解 (1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间，即⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1.记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替：记f (x )＝x 2.当n 很大时，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上可以认为f (x )＝x 2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i －1n 处的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n .这样在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部小范围内“以直代曲”，则有 ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n (i ＝1,2，…，n )．① (3)求和：由①得S n ＝∑i ＝1nΔS i ′＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝0·1n ＋⎝⎛⎭⎫1n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝1n 3·n (n －1)(2n －1)6＝13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ，从而得到S 的近似值， 即S ≈S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n .② (4)取极限：分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到随着n 的不断增大，即Δx 越来越小时，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n 越来越趋近于S ，而当n 趋向于＋∞时，②式无限趋近于13，即所求面积为13. 反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 利用定积分的定义，求ʃ10x d x . 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 解 (1)分割：将区间[0,1]分为n 等份，形成n 个小区间[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，且每个小区间的长度为Δx ＝1n .(2)近似代替：取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫i n ·Δx ＝∑i ＝1n i n ·1n＝1n 2∑i ＝1n i ＝1n 2·n (n ＋1)2＝n ＋12n. (3)取极限：ʃ10x d x ＝lim n →＋∞S n ＝lim n →＋∞n ＋12n ＝12. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ；(2)ʃ41(6x 2)d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e－x d x ＝1－e －1， 求ʃ1－1f (x )d x .考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －x d x＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值． (1)ʃ1－14－x 2d x ；(2)π2π2sin d x x -⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝π×22×16－12×2×3＝2π3－3，S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23， ∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π2sin d x x -⎰＝0.反思与感悟 利用定积分所表示的几何意义求ʃb af (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2. ∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x ＝π－2.1．在求由函数y ＝1x的图像与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i nC ．[i －1，i ] D.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 B解析 把区间[1,2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n ，且第i 个小区间的左端点不小于1.故选B.2．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx i ，其中Δx i 为小区间的长度，那么和式S n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 和ξi 的取法都有关 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D3．下列值等于1的是( )A ．ʃ10x d xB ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ101d xD ．ʃ1012d x 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 ʃ10x d x ＝12×1×1＝12，ʃ10(x ＋1)d x ＝12×(1＋2)×1＝32，ʃ101d x ＝1×1＝1，ʃ1012d x ＝12×1＝12. 4．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以－2米/秒2的加速度刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )A ．80米B ．60米C ．40米D ．30米 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 D解析 由题意知v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，令v (t )＝0，得t ＝5，即当t ＝5秒时，汽车将停车．将区间[0,5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩估计值S ＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．5．计算：3π2π2(25sin )d x x ⎰－.考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 解 由定积分的几何意义，得3π2π22d x ⎰＝⎝⎛⎭⎫3π2－π2×2＝2π.由定积分的几何意义，得3π2π2sin d x x ⎰＝0.所以3π2π2(25sin )d x x ⎰－＝3π2π22d x ⎰－53π2π2sin d x x ⎰＝2π.1．定积分ʃb a f (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.一、选择题1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .2．当n 的值很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列函数值近似代替的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0) 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图像关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，故y 轴两侧的图像都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．4．与定积分3π20sin d x x ⎰相等的是( ) A. 3π20sin d x x ⎰ B. 3π20sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D ．π20sin d x x ⎰＋3π2πsin d x x ⎰考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分性质答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0；当x ∈⎝⎛⎦⎤π，3π2时，sin x <0.∴由定积分的性质可得，3π20sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋3π2π(sin )d x x ⎰－＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 求出的是()考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 B解析 定积分S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图像要在g (x )的图像上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图像不全在g (x )的图像上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( )A ．ʃ10[(1－y )－y ]d yB ．120[(1)]d x x x ⎰－＋－C ．120d x x ⎰＋112(1)d x x ⎰－＋D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝12，故A ⎝⎛⎭⎫12，12. 由图知阴影部分的面积可表示为120d x x ⎰＋112(1)d x x ⎰－＋.7．设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．a >b >c B ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案 A解析根据定积分的几何意义，易知ʃ10x3d x<ʃ10x2d x<ʃ10x 13d x，即a>b>c，故选A.8．若ʃa－a|56x|d x≤2 016，则正数a的最大值为() A．6 B．56C．36 D．2 016考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案 A解析由ʃa－a|56x|d x＝56ʃa－a|x|d x≤2 016，得ʃa－a|x|d x≤36，∵ʃa－a|x|d x＝a2，∴a2≤36，即0<a≤6.故正数a的最大值为6.二、填空题9．若ʃ1012f(x)d x＝1，ʃ－13f(x)d x＝2，则ʃ1－1f(x)d x＝________.考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用答案8 3解析∵ʃ1012f(x)d x＝12ʃ1f(x)d x＝1，∴ʃ10f(x)d x＝2.又ʃ0－13f(x)d x＝3ʃ0－1f(x)d x＝2，∴ʃ0－1f(x)d x＝2 3.∴ʃ1－1f(x)d x＝ʃ0－1f(x)d x＋ʃ10f(x)d x＝23＋2＝83.10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x 11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x . 因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图像过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图像．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图像与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1.15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π，求ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x .考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2. ∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . ∵圆的面积为8π， ∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·⎝⎛⎭⎫14＋16π＝2π＋43. 由定积分的几何意义得，ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝12ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。
1.定积分的概念及性质
1 i 1 i i n1
n个小的曲边梯形 .这些小的曲边梯形的面 积为 A1 , A2 ,, An 21
第二步：近似 .在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i , 以 [ xi 1 , xi ]为底, f ( i ) 为高的小矩形面积为
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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5
曲边梯形如图 , 第一步：分割 .在区间[a , b]内插入若干个分点 , a x0 x1 x2 xn1 xn b,
y
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间 [ x i 1 , x i ], 长 度为 Δx i x i x i 1 ;
b
b
因为 f ( x ) f ( x ) f ( x ) ,
b a
所以 f ( x )dx
n n
b
b
a kf ( x )dx
lim kf ( i )Δxi lim k f ( i )Δx i
0
i 1
0
i 1
k lim f ( i )Δx i k f ( x )dx .
b
n
0
i 1
a
39
2.对积分区间的可加性
性质3 设a c b, 则
v ( i )Δt i . i 1
25
i 1
路程的精确值 s lim 0
n
上述两个问题的具体含 义并不相同，一 个是几何问题，另一个 是物理问题.但是所求 的量表现了相同的数学 形式.在数学上抛开这 些问题的实际意义，抓住它们在数学关系上 共同的性质与特性加以概括，抽象出定积分 的概念.
定积分的概念-PPT精选
s a v(t)dt;
密 度 为 ( x ) 线 状 物 体 的 质 量 为
m b(x)dx. a 前页 后页 返回
关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1 表 达 式 JlT im 0i1f(i)xi 不 仅 与 n和 T有
关 , 还 与 { 1 ,2 , ,n } 有 关 , 因此定积分既不是数 列极限，也不是函数极限.
区 间 [xi1, xi]的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 [ x i 1 , x i ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) :
T m a x x i i 1 ,2 , ,n .
则 当T0时 ,就能保证分割越来越细.
n
当v(t)v0为 匀 速 运 动 时 ， s v 0 ( b a ) ; 当质量是
均 匀 分 布 时 ， 即 x 为 常 数 时 , m(ba).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下
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可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形， 如来何解决这些问题呢？ 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 合理地归为一类特殊的和式的极限. 中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
与S的差距就会越来越小.
i 1
问题是：
(1 )如 何 刻 划 分 割 越 来 越细？
n
(2 )如 何 刻 划 f(i)x i越 来 越 逼 近 于 S ? i 1
下面依次讨论这两个问题.
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( 1 ) 对 于 一 般 的 T : a 0 x 0 x 1 x n b , 不 能 用n来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
定积分的概念 课件
，求下列定积分的值：
① 0e(2x+x2)dx；
② 0e(2x2-x+1)dx.
【解题探究】1.题(1)中求
2
0
f(x)dx时需分几段?
2.在题(2)中
2
0
[f(x)-2x]dx与
02f(x)dx，02(-2x)dx有何等量关
系?
3.在题(3)②中如何用已知定积分来表示所求积分值?
【探究提示】1.需分两段求解，一是 (0x1 +1)dx，另一个是
知识点1 定积分的概念与几何意义 1.对定积分概念与几何意义的三点说明 (1)定积分的概念是对“分割、近似代替、求和、取极限”这 四个步骤的高度概括，其中包含着重要的数学思想方法—— “以直代曲”，只有理解了定积分的定义过程，才能掌握定积 分的计算与应用.
(2)定积分
b
a
f(x)dx
是一个常数——实数，一般情况下，被积
因 为n13 Δin1xi=2 12，当16 (n1→ n1∞)(时2 ，n1 Δ) x2→. 0，
n
所以
(1x2+2)dx=lim
0
n
n i1
f
i
x
lim[1 (1 1 )(2 1 ) 2] 1 2 7 .
n 6
n
n
33
【延伸探究】若题(2)的积分区间变为［-1，1］，其余不变，
a g(x)dx= a
2 0ag(x)dx.
【微思考】
(1)定积分
02(x2+x+1)dx与
2
0
x2dx，
2
0
(x+1)dx有什么关系?
提示：02(x2+x+1)dx=02
1 定积分的概念
§1 定积分的概念学习目标1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2.了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质； 学习指导 20 预习教材P 75~ P 81，找出疑惑之处问题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ,作和式：()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baf x dx ⎰， 即()baf x dx ⎰=()i ni n f nab ξ∑=∞→-1lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 叫做积分 ，a 叫做积分 。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数 ；（2）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰； 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰.性质11badx =⎰性质2 ()ba kf x dx =⎰性质312[()()]baf x f x dx ±=⎰性质4()()bc aaf x dx f x dx =+⎰⎰当堂练习:+20 1、定积分⎰bacdx （常数0c >）的几何意义是2、由sin y x =，0x =，2x π=，0y =所围成图形的面积写成定积分的形式是3、连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰badx x f )(的符号( )A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 4、与定积分dx x ⎰π230sin 相等的是( )A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdxC.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx5、定积分⎰badx x f )(的大小（ ）A 、与)(x f 和积分区间[]b a ,有关，与i ξ的取法无关B 、与)(x f 有关，与区间[]b a ,及i ξ的取法无关C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]b a ,无关D 、与)(x f 、区间[]b a ,和i ξ的取法都有关 6、下列等式或不等式成立的个数是（ ） ①⎰⎰=101)()(dx x f dt t f ②dx x dx x xdx ⎰⎰⎰=+ππππ220sin sin sin③dx x dx x a aa⎰⎰=-02④11dx <⎰⎰A 、1B 、2C 、3D 、4 7、计算下列定积分 （1）21(1)x dx +⎰； （2）22x dx -⎰； （3）a-⎰（0a >）；（4）()4f x dx ⎰其中(),011,134,34x x f x x x x ≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩.。
高中数学同步教学 第4章 §1 定积分的概念
因此1x3dx＝14. 0
• 『规律总结』 用定义法求积分的步骤 • (1)分割：将积分区间[a,b]n等分． • (2()3近)求似和：代i＝n替1 b：－n a取f(ξi点)．ξi∈[xi－1,xi],可取ξi＝xi－1或者ξi＝xi.
n
(4)求极限：bf(x)dx＝lim
a
n→∞i＝1
b－n af(ξi)．,
• 〔跟踪练习1〕
• 用定积分的定义求由y＝3x,x＝0,x＝1,y＝0围成的图形的面
积．
[解析]
①分割：把区间[0,1]等分成 n 个小区间[i－n 1，ni ](i＝1,2，…，n)，其
长度为 Δx＝1n，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，其面积记为 ΔSi＝(i＝1,2,3，…，
n)．
②近似代替：用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，ΔSi f(i－n 1)Δx＝
积时，把区间[1,2]等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为( B )
A．[i－n 1，ni ]
B．[n＋ni－1，n＋n i]
C．[i－1，i]
D．[ni ，i＋n 1]
[解析] 把区间[1,2]等分成 n 个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第 i 个
小区间的左端点不小于 1.故选 B.
3．下列值等于 1 的是( C )
0
0
互动探究学案
命题方向1 ⇨定积分的定义
典例 1 求1x3dx. 0
[思路分析] 这里的被积函数 f(x)＝x3 显然是连续函数．现按定义中包含的几 个步骤来求1x3dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1.
(2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
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7 15 1 =3× -2× =- . 3 4 2
利用定积分的性质可以把被积 函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分 问题.
变式训练 2 1:已知
9 3 2 1 dx=3, dx= , 0 x dx=9, 2
将区间[0,1]五等分,则每一小区间的长度为 0.2. s 的过剩估计值 s1 为 2 2 2 2 s1=[(-0 +2)+(-0.2 +2)+(-0.4 +2)+(-0.6 +2)+ 2 (-0.8 +2)]×0.2 =(2+1.96+1.84+1.64+1.36)×0.2 =8.8×0.2 =1.76. s 的不足估计值 s2 为
3 0 3 0
81 x dx= ,求: 4
3 0 3
3 2 (1) 3 4 x 3 x 6x 8 dx; 0
3 2 8 x 21 x 12 x 15 dx. (2) 3 0
3 2 解:(1) 3 4 x 3 x 6x 8 dx 0
3 3 2 3 3 4 x 3 x 6 x = 3 dxdx+ dx-8 0 0 0 0 1 dx
5 2 x 2 而 5 dx=2 0 0 x 2 dx
1 1 5 2 2 =2(S2-S1)=2( ×3 - ×2 )=2× =2 做直线运动,设介质的阻 力与速度成正比且速度等于 10 时的阻力为 2,求物 体从 x=0 到 x=2 阻力所做功 W 的估计值,并求估计值 的误差. 解:设阻力为 f,速度为 v,则由题意知 f=kv, ∵当 v=10 时,f=2,
81 9 =-8× +21×9-12× +15×3 4 2
=-162+189-54+45 =18.
利用定积分的几何意义求定积分
【例 3】 根据定积分的意义求 1 0
1 x 2 x dx 的值.
名师导引:(1)如何求两个函数和的定积分? (由定积分性质 3,可知
1 0
1 2 1 x 2 x dx= 1 dx+ 1 x 0 x dx, 0
一、估计值与精确值
1:在上述实例中,求解第(3)个 阴影部分的面积,分割时,由于不同的算法, 计算的曲边梯形的面积与实际上存在误差, 如何缩小误差呢? (分割越细,误差越小)
1:在解决求曲边梯形面积、变速运动 的路程问题、 变力做功的问题时,其解决过程相似: 通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估 计值.分割得越细,估计值就越接近精确值;当分 割成的小区间的长度趋于 0 时,过剩估计值和不足 估计值都趋于要求的值.
的面积的相反数. ②物理意义:若 y=f(x)表示速度与时间的函数时,则
b a f x dx 可看作物体运动时间从 a 变到 b 时所走过的
路程;若 y=f(x)表示力与力的方向上通过的距离的函
b 数时,则 a f x dx 可看作通过的距离由 a 变到 b 时力所
做的功的大小)
3 3 3 3 3
这是逼近思想的具体化:先分 割,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面 积.过剩估计值利用了小区间的右端点处的函 数值(最大值),而不足估计值则用了小区间的 左端点处的函数值(最小值).
变式训练 1 1:一做变速直线运动的物体速度为 v=-t2+2, 试求它在 0≤t≤1 内的位移 s 的估计值,并求出估计值的 误差. 解:如图所示.
若每次分割后,最大的小区间的长度趋于 0,S 与 s 的差也趋于 0,此时 S 与 s 同时趋于某一个固定的 常数 A,我们就称 A 是函数 y=f(x)在区间[a,b]上的
b 定积分,记作: b dx. 即 x a a x dx=A.
其中 叫作积分号,a 叫作积分的下限,b 叫作积分 的上限,f(x)叫作被积函数.
s2=[-0.2 +2)+(-0.4 +2)+(-0.6 +2)+(-0.8 +2)+ (-12+2)]×0.2 =(1.96+1.84+1.64+1.36+1)×0.2 =7.8×0.2 =1.56. ∴过剩估计值与不足估计值之差为 1.76-1.56=0.2. ∴估计值的误差不会超过 0.2.
2 2 3 3 2 3 解:(1) 0 dx+ 3x3 dx=3 0 x dx=3( 1 x 0 1 x dx)
1 15 =3( + )=12. 4 4
4 2 2 2 2 4 x dx=6( 1 x dx+ 4 x 6 x 2 dx=6 1 (2) 1 dx) 2
7 56 =6( + )=126. 3 3
1:(1)过剩估计值与不足估计值是如何 引起的? (如图(1)分割后按照小矩形的右边长计算得到的 是过剩估计值,而如图(2)分割后按照小矩形左边 长计算得到的是不足估计值)
(2)解决面积问题,路程问题以及做功问题的步 骤和思想是什么? (在解决这三个问题的过程中,可以发现:自变量 的区间分得越大越粗,估计值与精确值之间的差 距越大;但当把自变量的区间划分得越小越细, 那么估计值与精确值之间的差距将会越小;当把 自变量的区间分成长度趋于 0 的小区间时,估计 值与精确值间的差距将趋于 0.这样就能得到精 确值了.其解决的步骤是:(1)分割;(2)计算不足 估计值与过剩估计值;(3)写出估计值的误差)
1 1 ∴k= ,∴f= v. 5 5
4 而 v=x′=(4t )′=8t=4 x ,∴f= x. 5
2
如图所示,把区间[0,2]十等分,则每个小区间的长度为 0.2.
名师导引:求曲边梯形面积的一般步骤是什么? ((1)分割; (2)计算过剩估计值和不足估计值; (3)比较估计值之间的误差,检查是否满足 条件)
解:(1)曲线 y=x 和直线 x=1,y=0 围成的平面图 形如图所示.
3
(2)将区间[0,1]平均分成 5 份, 则所求曲边梯形的过剩估计值为 S1=(0.23+0.43+0.63+0.83+13)×0.2=1.8×0.2=0.36; 所求曲边梯形的不足估计值为 S2=(0 +0.2 +0.4 +0.6 +0.8 )×0.2=0.8×0.2=0.16. 过剩估计值与不足估计值之差为 S1-S2=0.2. 因此无论用 S1 还是用 S2 来表示曲边梯形的面积 S,误 差都不会超过 0.2.
三、定积分的性质
3:根据定积分的几何意义,你发现定积分 有哪些性质? 3:性质 1: b a 1dx=b-a;
b kf x k 性质 2: b dx= a a f x dx ;
b b f x g x f x dx 性质 3: b dx= a a a g x dx ;
二、定积分的概念
2:在实例中求解第(3)个阴影部分 的面积,如果分割区间趋近于零,那么过剩估 计值与不足估计值有什么结果? (会同时趋近于同一个常数 A)
2:已知函数 y=f(x),x∈[a,b],其 图像如图所示.将[a,b]区间分成 n 份,分点 为:a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第 i 个小区间为 [xi-1,xi],设区间长度为Δ xi,在这个小区间上 取一点ξ i,使 f(ξ i)在区间 [xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ 1)Δ x1+f(ξ 2)Δ x2+… +f(ξ i)Δ xi+…+f(ξ n)Δ xn.
2
2
2
2
定积分性质的应用
【例 2】 已知
1 2 3 15 2 2 7 4 2 56 x dx= , 1 x dx= , 1 x dx= , 2 x dx= , 4 4 3 3
1 0 3
2 3x3 dx; 求:(1) 0
4 6 x 2 dx; (2) 1
2 2 3 3 x 2 x (3) 1 dx.
i 1 n
∈[xi-1,xi],Δxi=xi-xi-1. ①几何意义:若把 y=f(x)看作一条曲线,当 f(x)≥ 0 时,则 f x dx 可看作由 y=f(x),x=a,x=b 及
b a
x 轴所围成的曲边梯形的面积;当 f(x)<0 时,则
b a f x dx 表示 y=f(x),x=a,x=b 及 x 轴所围成曲边梯形
c d f x f x dx 性质 4: b dx= a a c f x dx.
3:(1)你能说明性质 3 和性质 4 的含义吗?
b b (①性质 3: b dx= dx ± f x g x f x a a a f x dx 表示
§1
定积分的概念
1.1 定积分的背景—— 面积和路程问题 1.2 定积分
学习目标要求 问题情境导学 课堂互动探究
栏 目 导 航
课堂归纳总结
理解定积分概念形成过程中的基本思想 和定积分的概念及其几何意义,并能用定 积分的几何意义解决简单的定积分计算 问题.
【实例】 微积分在几何上有两个基本问题,第一个是如何 确定曲线上一点处的切线的斜率,第二个是如何求曲线下 方“曲边梯形”的面积.如图所示的三个阴影部分:第(1)个 阴影可以直接求出,第(2)个阴影部分可以分成每一个线段 下方的阴影部分面积之和.而第(3)个阴影部分的求法则需 要我们把图形进行分割,以直代曲再求和.
故原定积分可看成由两部分构成,其定积分值可看作两部 分面积的和) (2)如何求每个函数的定积分? (由定积分的几何意义去求)