§1 定积分的概念

2 2 3 3 2 3 解:(1) 0 dx+ 3x3 dx=3 0 x dx=3( 1 x 0 1 x dx)
1 15 =3( + )=12. 4 4
4 2 2 2 2 4 x dx=6( 1 x dx+ 4 x 6 x 2 dx=6 1 (2) 1 dx) 2
7 56 =6( + )=126. 3 3
i 1 n
∈[xi-1,xi],Δxi=xi-xi-1. ①几何意义:若把 y=f(x)看作一条曲线,当 f(x)≥ 0 时,则 f x dx 可看作由 y=f(x),x=a,x=b 及
b a
x 轴所围成的曲边梯形的面积;当 f(x)<0 时,则
b a f x dx 表示 y=f(x),x=a,x=b 及 x 轴所围成曲边梯形
3 0 3 0
81 x dx= ,求: 4
3 0 3
3 2 (1) 3 4 x 3 x 6x 8 dx; 0
3 2 8 x 21 x 12 x 15 dx. (2) 3 0
3 2 解:(1) 3 4 x 3 x 6x 8 dx 0
3 3 2 3 3 4 x 3 x 6 x = 3 dxdx+ dx-8 0 0 0 0 1 dx
2:(1)定积分的思想是什么? (把变量的取值区间进行分割,然后在小范围内以 直线代替曲线,以不变量代替变量,由估计值逐步 逼近精确值,进而得出精确值,这就是定积分的基 本思想)
(2)定积分的几何意义与物理意义是什么? (定积分 f x dx 实际上是一种特定形式的和的
b a
极限,是一个常数.它是把自变量区间 n 等分,当 n 趋向于+∞时的 f (ξi)Δxi 的极限值.其中ξi
1 1 ∴k= ,∴f= v. 5 5
4 而 v=x′=(4t )′=8t=4 x ,∴f= x. 5
2
如图所示,把区间[0,2]十等分,则每个小区间的长度为 0.2.
名师导引:求曲边梯形面积的一般步骤是什么? ((1)分割; (2)计算过剩估计值和不足估计值; (3)比较估计值之间的误差,检查是否满足 条件)
解:(1)曲线 y=x 和直线 x=1,y=0 围成的平面图 形如图所示.
3
(2)将区间[0,1]平均分成 5 份, 则所求曲边梯形的过剩估计值为 S1=(0.23+0.43+0.63+0.83+13)×0.2=1.8×0.2=0.36; 所求曲边梯形的不足估计值为 S2=(0 +0.2 +0.4 +0.6 +0.8 )×0.2=0.8×0.2=0.16. 过剩估计值与不足估计值之差为 S1-S2=0.2. 因此无论用 S1 还是用 S2 来表示曲边梯形的面积 S,误 差都不会超过 0.2.
的面积的相反数. ②物理意义:若 y=f(x)表示速度与时间的函数时,则
b a f x dx 可看作物体运动时间从 a 变到 b 时所走过的
路程;若 y=f(x)表示力与力的方向上通过的距离的函
b 数时,则 a f x dx 可看作通过的距离由 a 变到 b 时力所
做的功的大小)
c d (2)结合定积分你知道 b f(x)dx+ f(x)dx+ a b c f(x)dx
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等于什么? ( f(x)dx)
b a
求曲边梯形面积的估计值
【例 1】 设 S 表示曲线 y=x3 和直线 x=1,y=0 围成的 平面图形的面积. (1)画出该平面图形; (2)估计该平面图形的面积,并写出估计值的误差.
1:(1)过剩估计值与不足估计值是如何 引起的? (如图(1)分割后按照小矩形的右边长计算得到的 是过剩估计值,而如图(2)分割后按照小矩形左边 长计算得到的是不足估计值)
(2)解决面积问题,路程问题以及做功问题的步 骤和思想是什么? (在解决这三个问题的过程中,可以发现:自变量 的区间分得越大越粗,估计值与精确值之间的差 距越大;但当把自变量的区间划分得越小越细, 那么估计值与精确值之间的差距将会越小;当把 自变量的区间分成长度趋于 0 的小区间时,估计 值与精确值间的差距将趋于 0.这样就能得到精 确值了.其解决的步骤是:(1)分割;(2)计算不足 估计值与过剩估计值;(3)写出估计值的误差)
和(差)的积分等于积分的和(差),积分的上、下限不变.
c b f x f x ②性质 4: b dx= dx+ a a c f x dx 表示定积分对
积分区间的可加性,被积函数不变,只把积分区间分成了 两个区间而已,即被积函数在某个区间上的定积分,等于 把这个区间划分成两个区间后,被积函数分别在这两个区 间上的定积分之和)
若每次分割后,最大的小区间的长度趋于 0,S 与 s 的差也趋于 0,此时 S 与 s 同时趋于某一个固定的 常数 A,我们就称 A 是函数 y=f(x)在区间[a,b]上的
b 定积分,记作: b dx. 即 x a a x dx=A.
其中 叫作积分号,a 叫作积分的下限,b 叫作积分 的上限,f(x)叫作被积函数.
2 2 2 3 2 2 3 x (3) 1 dx=3 dx-2 3 x 2 x 1 1 x dx
7 15 1 =3× -2× =- . 3 4 2
利用定积分的性质可以把被积 函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分 问题.
变式训练 2 1:已知
9 3 2 1 dx=3, dx= , 0 x dx=9, 2
3 3 2 3 3 x x x =4 3 dx-3 dx+6 dx-8 0 0 0 0 1 dx
9 =81-27+6× -8×3 2
=81-51+27 =57.
(2) 8x 21x 12x 15 dx
3 0 3 2
3 3 2 3 3 x x x =-8 3 dx+21 dx-12 dx+15 0 0 0 0 1 dx
2
2
2
2
定积分性质的应用
【例 2】 已知
1 2 3 15 2 2 7 4 2 56 x dx= , 1 x dx= , 1 x dx= , 2 x dx= , 4 4 3 3
1 0 3
2 3x3 dx; 求:(1) 0
4 6 x 2 dx; (2) 1
2 2 3 3 x 2 x (3) 1 dx.
2

通过解题你认为解决本类问题的关 键是什么? (一是正确作出被积函数的图像;二是弄清面积与 定积分的关系(定积分为上正下负))
变式训练 3 1:说明 5 0 2 x 2 dx 的几何意义. 解:如图所示, 5 0 x 2 dx 的几 何意义 是: 5 0 x 2 dx=S2-S1.
3 3 3 3 3
这是逼近思想的具体化:先分 割,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面 积.过剩估计值利用了小区间的右端点处的函 数值(最大值),而不足估计值则用了小区间的 左端点处的函数值(最小值).
变式训练 1 1:一做变速直线运动的物体速度为 v=-t2+2, 试求它在 0≤t≤1 内的位移 s 的估计值,并求出估计值的 误差. 解:如图所示.
§1
定积分的概念
1.1 定积分的背景—— 面积和路程问题 1.2 定积分
学习目标要求 问题情境导学 课堂互动探究
栏 目 导 航
课堂归纳总结
理解定积分概念形成过程中的基本思想 和定积分的概念及其几何意义,并能用定 积分的几何意义解决简单的定积分计算 问题.
【实例】 微积分在几何上有两个基本问题,第一个是如何 确定曲线上一点处的切线的斜率,第二个是如何求曲线下 方“曲边梯形”的面积.如图所示的三个阴影部分:第(1)个 阴影可以直接求出,第(2)个阴影部分可以分成每一个线段 下方的阴影部分面积之和.而第(3)个阴影部分的求法则需 要我们把图形进行分割,以直代曲再求和.
三、定积分的性质
3:根据定积分的几何意义,你发现定积分 有哪些性质? 3:性质 1: b a 1dx=b-a;
b kf x k 性质 2: b dx= a a f x dx ;
b b f x g x f x dx 性质 3: b dx= a a a g x dx ;

故原定积分可看成由两部分构成,其定积分值可看作两部 分面积的和) (2)如何求每个函数的定积分? (由定积分的几何意义去求)
解: 1 0

1 x 2 x dx 表示的是图(1)与图(2)中阴影部

分的面积之和,
π 1 ∵S1= ,S2= , 4 2
∴
1 0

π 1 1 x x dx =S1+S2= + . 4 2
81 9 =-8× +21×9-12× +15×3 4 2
=-162+189-54+45 =18.
利用定积分的几何意义求定积分
【例 3】 根据定积分的意义求 1 0

1 x 2 x dx 的值.

名师导引:(1)如何求两个函数和的定积分? (由定积分性质 3,可知
1 0

1 2 1 x 2 x dx= 1 dx+ 1 x 0 x dx, 0
s2=[-0.2 +2)+(-0.4 +2)+(-0.6 +2)+(-0.8 +2)+ (-12+2)]×0.2 =(1.96+1.84+1.64+1.36+1)×0.2 =7.8×0.2 =1.56. ∴过剩估计值与不足估计值之差为 1.76-1.56=0.2. ∴估计值的误差不会超过 0.2.
将区间[0,1]五等分,则每一小区间的长度为 0.2. s 的过剩估计值 s1 为 2 2 2 2 s1=[(-0 +2)+(-0.2 +2)+(-0.4 +2)+(-0.6 +2)+ 2 (-0.8 +2)]×0.2 =(2+1.96+1.84+1.64+1.36)×0.2 =8.8×0.2 =1.76. s 的不足估计值 s2 为
5 2 x 2 而 5 dx=2 0 0 x 2 dx
1 1 5 2 2 =2(S2-S1)=2( ×3 - ×2 )=2× =5. 2 2 2
【例 1】 物体按规律 x=4t2 做直线运动,设介质的阻 力与速度成正比且速度等于 10 时的阻力为 2,求物 体从 x=0 到 x=2 阻力所做功 W 的估计值,并求估计值 的误差. 解:设阻力为 f,速度为 v,则由题意知 f=kv, ∵当 v=10 时,f=2,
二、定积分的概念
2:在实例中求解第(3)个阴影部分 的面积,如果分割区间趋近于零,那么过剩估 计值与不足估计值有什么结果? (会同时趋近于同一个常数 A)
2:已知函数 y=f(x),x∈[a,b],其 图像如图所示.将[a,b]区间分成 n 份,分点 为:a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第 i 个小区间为 [xi-1,xi],设区间长度为Δ xi,在这个小区间上 取一点ξ i,使 f(ξ i)在区间 [xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ 1)Δ x1+f(ξ 2)Δ x2+… +f(ξ i)Δ xi+…+f(ξ n)Δ xn.
一、估计值与精确值
1:在上述实例中,求解第(3)个 阴影部分的面积,分割时,由于不同的算法, 计算的曲边梯形的面积与实际上存在误差, 如何缩小误差呢? (分割越细,误差越小)
1:在解决求曲边梯形面积、变速运动 的路程问题、 变力做功的问题时,其解决过程相似: 通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估 计值.分割得越细,估计值就越接近精确值;当分 割成的小区间的长度趋于 0 时,过剩估计值和不足 估计值都趋于要求的值.
c d f x f x dx 性质 4: b dx= a a c f x dx.
3:(1)你能说明性质 3 和性质 4 的含义吗?
b b (①性质 3: b dx= dx ± f x g x f x a a a f x dx 表示