数学建模-优化题目[精华]

月份 单位成本(元)
1
70
2
72
3
80
4
76
销售量
60 70 120 60
求一生产计划,使 1)满足需求; 2)不超过生产能力; 3)成本(生产成本与存储费之和)最低.
线性规划模型
解:假定1月初无库存,4月底卖完,当月生产的不库 存,库存量无限制.
模： 型x设 i为i月 第产di为 量销 ，售 ei为量 存， 储
s . t .
x ij d j ,
i1
4
x ij 100
j i
x ij 0 且为整数
本题3个模型为整数规划模型.
j1,2,3,4
i 1,2,3,4
i, j1,2,3,4
线性规划模型
线性规划模型特 点
• 决策变量：向量(x1… xn)T ,决策人要考虑 和控制的因素非负；
• 约束条件：线性等式或不等式； • 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极
相应的目标函数的值称为最优值。
线性规划模型
线性规划问题的性质:
• 比例性 每个决策变量对目标函数以及右端项
的贡献与该决策变量的取值成正比. • 可加性
每个决策变量对目标函数以及右端项的 贡献与其他决策变量的取值无关. • 连续性
每个决策变量的取值都是连续的.
线性规划模型
应用
• 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价， 新产品开发，制定销售计划)
解:xi 10,,
选 择 Ai 否则
7
bi xi b
i1
7
x1 x2 x3 2
maxf ci xi s.t .
i1
x4 x5 1
x6 x7 1
xi 0或1
i 1,2,..., 7
线性规划模型
下料问题
现要做100套钢架,用长为2.9m、2.1m和1.5m的元 钢各一根,已知原料长7.4m,问如何下料,使用的原材料 最省?
约 束 条 件
30
矩阵形式
线性规划模型
记 c(c1,c2, cn)A ,aijm n,xx1,x2, xnT,
bb 1,b2, bnT,矩 阵 形 式 为
min f cx
L
s.t
.
Ax b x0
x0指x的每一分 xj 量 0, A称 为 约 束 矩 阵 。
线性规划模型
满足约束条件的变量的值称为可行解， 可行解的集合称为可行域。 使目标函数达到最大（小）值的可行解称为最优解，
• 09B 眼科病床的合理安排 层次分析法 整数规划 动 态规划 排队论
• 10A 储油罐的变位识别与罐容表标定 非线性规划 多 元拟合
• 10B 2010年上海世博会影响力的定量评估 数据收集 和处理，层次分析法 时间序列分析
解 规划 图论 差微 数据拟合 优化 数据 其它
法 问题
分方 模拟处理
动态规划、排队论、图论 微分方程、优化 非线性规划
• 07A 人口问题
微分方程、数据处理、优化
• 07B 乘公交，看奥运 多目标规划、动态规划、图论
0-1规划
• 08A 照相机问题
非线性方程组、优化
• 08B 大学学费问题 数据收集和处理、统计分析、
回归分析
• 09A 制动器试验台的控制方法分析 微元分析法
99B,01B 97B 09A 06A,07A 04B,06A 10B 00A
02A,03B 98B 06A,06B 99B
08B,10A 07A,08A
00B
10B
07B,09B 07B
10A
合
17
85
13
计
12
66
赛题发展的特点：
• 1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛 题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工 计算不能完成，如03B，某些问题需要使用计 算机软件，01A。问题的数据读取需要计算机 技术，如00A（大数据），01A（图象数据， 图象处理的方法获得），04A（数据库数据， 数据库方法，统计软件包）。计算机模拟和以 算法形式给出最终结果。
需要量
245
线性规划模型
结合存量限制和需量限制得数学模型：
m f 1 i x 1 n 2 2 x 2 4 8 x 3 3 x 4 0 1 x 5 2 2 x 64
x1 x2 x3 4
x4 x5 x6 8
s .t .
x1 x4 2 x2 x5 4
x3 x6 5
s5 0
0xi 10且 0 为 整 i数 1， 2， 3， ， 4
si 0且 为 整i数 1， 2， 3， 4
线性规划模型
解法 化为运输问题
设xij表示第i月生产的产品在j月第卖出的
数
量, ci
表
j
示
第i月生
产
的产
品
在j月第卖
出时
的
生产
成
本与
存 费储 之
和,d
表示
j
的
第j月的销售量 . 月份 单位成本(元) 销售量
• 2. 赛题的开放性增大解法的多样性，一 道赛题可用多种解法。开放性还表现在 对模型假设和对数据处理上。
3. 试题向大规模数据处理方向发展 4. 求解算法和各类现代算法的融合，
• 5.更关注于当年的实事问题eg：04A奥 运会临时超市网点设计，07B 乘公交， 看奥运，10B 2010年上海世博会影响力 的定量评估等；
Ⅰ
Ⅱ
现有原 材料
A1
21 8
A2
10 3
A3
01 4
线性规划模型
解:设生 ,产 两 种产品 x1,x分 2吨 ,别为
max f= 5x1 +2x2
求最大利润
2x1 + x2 8
s.t .
x1 3
x2 4
x1，x2 0
三种材料量的限制 生产量非负
线性规划模型
运输问题
有两个粮 A1,库 A2向三个粮 B1,站 B2,B3调运大, 米 两个粮库现存大为米 4吨分 ,8吨 别,三个粮站至少需要 大米分别 2,4为 ,5吨,两个粮库到三个距粮离 (站 单的 位 :公里 )如下 ,问如何调运使运。费最低
线性规划模型
生产计划问题
某 工 厂 计 划 用 三料种A1， 原A2材 和A3生 产， 两 种 产 品 ， 已知 ，生 每产吨 所 需 原 材 料 及 现 原 材 料 （ 单 位 ：下吨表,） 且如 ,的 利 润 分5别, 为 2万 元/吨.问 如 何 安 排,可 计使 划利 润 最 ? 大
原单材位料消耗 产品
0 xi 100且为正整数i 1,23,4
线性规划模型
模型 ： xi设 为i月 第产 di为 量销 ，e 售 i为量 存， 储
ci为单位成 i月本 初， 的设 si库 . 第 存量
4
4
mifn cixi eisi
i1
i1
s.t. si1 si xi di, i1,2,3,4
s1 0
1源自文库
70
60
2
72
70
3
80
120
4
76
60
线性规划模型
1 2 3 4 销量
1 2 3 4 产量
70 72 74 76 100 - 72 74 76 100 - - 80 82 100 - - - 76 100 60 70 120 60
线性规划模型
4
j
min f
c ij x ij
j1 i1
j
c ij x ij
总运价
i1 j1
n
x ij a i , j1
s .t . m x ij b j i1 x ij 0
i 1,..., m
j 1,..., n i 1,..., m ; j 1,..., n
产量限制 需量限制 运量非负
线性规划模型
假设产销平衡:
m
n
ai bj
xj 0, j 1,2,3,4,5,6,7,8;xj取 整
截得每种 根长的总
数至少100
例3,4中的此例的变量xi只取正整数, 故建立的模型也称整数规划. 0-1规划是整数规划的特殊情形.
线性规划模型
阶段生产问题 某公司生产某产品,最大生产能力为100单位,每单位 存储费2元,预定的销售量与单位成本如下:
距离 粮站
粮库
B1 B2 B3
A1
12 24 8
A2
30 12 24
线性规划模型
解：设A1,A2调运到三个粮站的大米分别为x1， x2， x3， x4， x5， x6吨。
题设量可总到下表：
粮距库离及运量粮站 B1
B2
B3
库 存 量
A1
12
24
8
x1 x2 x3 4
A2
30
12
24
x4 x5 x6 8
线性规划模型
分派问题
设有n件工作B1, B2, … Bn,分派给n人A1, A2, … An去 做,每人只做一件工作且每件工作只派一个人去做,设Ai 完成Bj的工时为cij,问应如何分派才能完成全部工作的 总工时最少.
变量xi只取0和1,故 建立 的模型也称0-1规划.
解 :设 xij 1 0n
数学建模之 优化方法 王明春
历年回顾:
92A题施肥效果分析 92B题实验数据分解 93A非线性交调的频率设计 93B足球队排名 94A逢山开路 94B锁具装箱问题 95A飞行管理问题 95B天车与冶炼炉的作业调度 96A最优捕鱼策略 96B节水洗衣机
回归分析 数据拟合 离散模型、组合最优化 拟合、规划 图论、层次分析、整数规划 图论、插值、动态规划 图论、组合数学 非线性规划、线性规划
• 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、 库存、劳力综合”)
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 0
线性规划模型
一般运输问题
m个产地A1,…,Am联合供应n个销地B1,…,Bn,各产 地至各销地单位运价(单位:元/吨)为cij，问如何调运使 总运费最少?
解:设从A 产 i到地 销 Bj的 地运输 xij.量为
mn
min f
分析 （排
程
理论 队运
输离
散）
相关 93A,93B 93B 96A 92A,93A 92B,96A 93B 92B
赛 题
94A,95A 95B,96B
94A 94B
03A 07A
97B,99A 98A,98B 01A,04A 99A,00B
04A 94A 09A 94B
97A,98A 95B 08A 04B,05A 02B,04A 09B 95B
分析:
下料方式：
最省：
1.所用刚架根数最少； 2.余料最少
线性规划模型
原料截成所需 长度的根数
下料方法
ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ
所 2.9m
2
1
1
1
0
0
0
0
需
根 长
2.1m
0
2
1
0
3
2
1
0
1.5m
1
0
1
3
0
2
3
4
剩余料头
0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
设xi表示按i种 第办法下料的原根材数 ,料 则问题的线性规为划 : 模型
工B 作 j分派 Ai去 给做 否则
n
minf
cijxij
每件工作只派1人
i1 j1
n
xij 1
（j 1,2,..., n）
s.t .
i 1 n
x ij
1
j1
（ i 1,2,..., n） 每个人只派做1件
xij 0或1 （i, j 1,2,..., n）
线性规划模型
选址问题
i 1
j 1
mn
min f
c ij x ij
i1 j1
n
x ij a i , j1
s .t . m x ij b j i1 x ij 0
i 1,..., m
j 1,..., n i 1,..., m ; j 1,..., n
在很多实际问题中,解题思想和运输问题同出一辙, 也就是说我们可以用运输模型解决其他问题.
线性规划模型
m f 0 . 1 x 1 0 i . 3 x 2 n 0 . 9 x 3 0 x 4 1 . 1 x 5 0 . 2 x 6 0 . 8 x 7 1 . 4 x 8
2x1 x2 x3 x4 100
s.t.x12xx2333xx3432xx5623xx67x47x8101000 不同方法
ci为 单 位 成 本 ，
4
3
j
j
e mifn c j x j xi di
j1 j
j 1 ji1
i 1
j1
4个月总生产
成本
xi di
i1
i 1
j 1,2,3
第共j3+个1个月月的的库库存存费量费
s.t.
4
4
xi di
i1
i1
到4个本月月总总生生产产量量等大于于总等销于售 销量售量
某公司拟定在,汉 在口 武 ,汉昌阳建立专,拟 卖议 店中
有7个地址 :中商 (A1),亚贸 (A2),司门(口 A3),武广 (A4),步 行街 (A5),二十一世 (A6纪 ),汉商 (A7),并规定 :武昌至2多 个,汉 口 汉 阳1至 个,少 若 选 Ai ,投 资 bi元,每 年 可 获 ci元 利 , 总投资不b超 元,过 问如何选择地址的使年公利司润?最大
大或极小；
线性规划模型
一般形式
目标函数
max min f c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t .
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
x1 , x2 , xn 0