§2.2 函数的基本性质

1
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x a, 1 x 0, 3.(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)= 2 其 x ,0 x 1, 5 5 9 中a∈R.若f =f ,则f(5a)的值是 . 2 2
2,故选C.
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4.(2013山东,3,5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x)=x2+ ,则 f(-1)= A.-2 答案 A B.0 C.1 D.2
1 x
(
)
因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.
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5.(2014湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+ g(1)=( A.-3 答案 ) B.-1 C.1 D.3
(
)
D.y=ex-e-x
答案
D
y= x 的定义域为[0,+∞),所以y= x 为非奇非偶函数;y=|sin x|与y=cos x为偶函数;令y=
f(x)=ex-e-x,x∈R,则满足f(-x)=-f(x),所以y=ex-e-x为奇函数,故选D.
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8.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x> 时, f x =f x .则f(6)= 2 2
∵∀x∈R, f(x-1)≤f(x),
∴6a2≤1,即- 6 ≤a≤ 6 ,故选B.
6 6
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2.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f 2 5
+ f(1)= 答案 解析 -2
.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),
又∵f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减, ∴f(|x-1|)>f(2),∴|x-1|<2,∴-2<x-1<2, ∴-1<x<3,∴x∈(-1,3). 思路分析 根据函数奇偶性和单调性将不等式等价转化为f(|x-1|)>f(2),即可得到结论.
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考点二
函数的奇偶性与周期性 .
(2015课标Ⅰ,13,5分,0.593)若函数f(x)=xln(x+ a x 2 )为偶函数,则a= 答案 解析 1
C 解法一:∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1,故选C. 解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,∴f(1)+g(1)=12+1-13=1.选C.
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高考理数
(课标2专用)
第二章 函数概念与基本初等函数
§2.2 函数的基本性质
栏目索引Baidu Nhomakorabea
五年高考
A组
考点一 函数的单调性
统一命题·课标卷题组
1.(2017课标全国Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2) ≤1的x的取值范围是 A.[-2,2] B.[-1,1] ( )
5
9
所以f =f ,即- +a= ,解得a= ,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+ =- . 2 5 5 5 2 2 10
1
1
1
1
3
3
2
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三年模拟
A组 2015—2017年高考模拟·基础题组
(时间：20分钟 分值：30分)
C.[0,4]
答案 D
D.[1,3]
本题考查利用函数的性质求解不等式.
已知函数f(x)在(-∞,+∞)上为单调递减函数,且为奇函数,则 f(-1)=-f(1)=1,所以原不等式可化为 f(1)≤f(x-2)≤f(-1),则-1≤x-2≤1,即1≤x≤3,故选D.
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2.(2014课标Ⅱ,15,5分,0.409)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范 围是 答案 解析 (-1,3) ∵f(2)=0, f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2), .
解法一:由已知得f(-x)=f(x),即-xln( a x 2 -x)=xln(x+ a x 2 ),则ln(x+ a x 2 )+ln( a x 2 -x)
=0,
∴ln[( a x 2 )2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1. 解法二:令g(x)=ln(x+ a x 2 ),由题意知g(x)为奇函数,故g(x)+g(-x)=0,即ln a=0,∴a=1.
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B组
考点一 函数的单调性
自主命题· 省（区、市）卷题组
1.(2014陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是 A. f(x)= x
1 2
x
(
)
B. f(x)=x3 D. f(x)=3x
1 C. f(x)= 2
答案
故选D.
D
∵f(x+y)=f(x)f(y),∴f(x)为指数函数模型,排除A,B;又∵f(x)为单调递增函数,∴排除C,
大小是比较函数值大小的常用方法.
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3.(2013广东,2,5分)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是 A.4 答案 B.3 C.2 D.1
(
)
C 函数y=x3,y=2sin x为奇函数,y=2x为非奇非偶函数,y=x2+1为偶函数,故奇函数的个数是
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9.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f = 6 ) A.
1 2
23
(
B. A
3 2
C.0
D.-
1 2
答案
∵f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x),∴f(x)的周期T=2π,
1
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3.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)> f(- 2 ),则a的取值范围是 答案 解析
1 3 , 2 2
.
由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(- 2 ),f(- 2 )=f( 2 ),所以f(2|a-1|)>
5 =0, 6
又∵当0≤x<π时, f(x)=0,∴f

1 即f =f +sin =0,∴f = , 2 6 6 6 6
1 23 ∴f =f 4 =f = .故选A. 6 6 2 6


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C组
考点 函数的奇偶性与周期性
教师专用题组
1.(2014湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)= (|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀
x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
A. , 6 6 1 1
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2.(2013安徽,4,5分)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(
)
答案
C 充分性:当a<0时, f(x)=|(ax-1)· x|=-ax2+x为图象开口向上的二次函数,且图象的对称轴
答案 解析
-
2 5
∵f(x)是周期为2的函数,∴f =f 2 =f ,f =f 4 =f ,又∵f =f , 2 2 2 2 2 2 2 2

5

1
1 9

1
1
又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x), 即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.
1 5 1 又∵f =f =-f =- 4 2 =-2. 2 2 2 5 ∴f +f(1)=-2. 2
D.是偶函数,且在R上是减函数
答案 A 本题考查指数函数的奇偶性和单调性.
x
易知函数f(x)的定义域关于原点对称.
1 x 1 ∵f(-x)=3 - = -3 =-f(x), 3 3
-x
x
∴f(x)为奇函数.
1 又∵y=3 在R上是增函数,y=- 在R上是增函数, 3
|a-1|
f( 2 ),所以2 < 2 ,解之得 <a< .
1 2
1 2
3 2
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考点二
函数的奇偶性与周期性
x
x
1 1.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3 - ,则f(x) 3
(
)
A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数
1 <0,故f(x)在(0,+∞)上为增函数;当a=0时, f(x)=x为增函数. 2a
1
为直线x=
必要性:当a≠0时, f =0, f(0)=0, f(x)在(0,+∞)上为增函数,则 <0,即a<0, f(x)=x时,为增函数,此 a a 时a=0,故a≤0. 综上,a≤0为f(x)在(0,+∞)上为增函数的充分必要条件.
1 2
(
) D.
3 3 , 3 3
B.


6 6 , 6 6
C. , 3 3 1 1
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答案
B
x 3a 2 , x 2a 2 , 2 2 2 当x≥0时, f(x)= a , a x 2a , 画出图象,再根据f(x)是奇函数补全图象. x, 0 x a 2 ,
1 1
1 2
(
)
A.-2 答案 D
B.-1
1
C.0

D.2
1 1
当x> 时,由f x =f x 可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1= 2 2 2
-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.
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6.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是
(
)
A.y= 1 x2
答案 D
B.y=x+
1 x
C.y=2x+
1 2x
D.y=x+ex
易知y= 1 x2 与y=2x+
1 1 是偶函数 , y = x + 是奇函数,故选D. x 2x
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7.(2015福建,2,5分)下列函数为奇函数的是 A.y= x B.y=|sin x| C.y=cos x
C 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1)>f(x2)>0,∴x1 f(x1)>x2 f(x2),∴g(x) 在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,由 g(x)在(0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c,故选C. 解题关键 本题的解题关键是得出g(x)的奇偶性和单调性.将自变量转化到同一单调区间得出
x
x
1 ∴f(x)=3 - 在R上是增函数.故选A. 3
x
x
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2.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a, b,c的大小关系为( A.a<b<c 答案 B.c<b<a ) C.b<a<c D.b<c<a