线性代数总复习-做题技巧公式大全

n
n ji A ×=)(*A 一、伴随矩阵
1*)(det −=A
A A (A 可逆时) E
A AA A A )(det **==(一般情形) ⎪⎩
⎪⎨⎧−<−===1rank ,01
rank ,1rank ,rank *n n n n A A A A 定式
二、A =βαT ，α和β是n 维列向量且αT β=d ≠0A A 1T 1T T )
()(−−===k k k k d αβαββα1rank =A )
)()((T T ββαβββαβd ===A )
1rank rank 1(≤≤≤βA A 的非零特征值为d ，对应的特征向量为β；0为A 的n -1重特征值。

Ax = 0的基础解系含n -1个线性无关的特征向量；或直接计算得
1
))(()det(−−−=−n λλd λE A A 相似于对角矩阵)
0,,0,diag(L d 1)2)3)4)5)
设A 为m ×n 矩阵
，m ≤A rank ；
n ≤A rank 1)2)若A ≠O ，则rank A > 0;
3)；
A A rank rank T =4)=)rank(A λ⎩⎨⎧0rank ≠λ，A 0
0=λ，三、矩阵的秩的有关结果
6)，A AB rank )rank(≤；B AB rank )rank(≤5)；
B A B A rank rank )rank(+≤+7)若A 可逆，则rank(AB )=rank B ;
rank(CA )=rank C ;
设A 为m ×n 矩阵，且AB = O ，则
n
≤+B A rank rank 9)B 为n ×s 矩阵，
10)设A 为n 阶方阵，则
⎪⎩
⎪⎨⎧−<−===1rank ,01
rank ,1rank ,rank *n n n n A A A A 11)A rank =A 的行向量组的秩
=A 的列向量组的秩8)；A AA A A rank )rank()rank(T
T ==
四、向量组的有关性质
1)向量组与它的任一个极大无关组等价。

3)设向量组T 1的秩为r ，向量组T 2的秩为s ，
若T 1可由T 2线性表示，则。

s r ≤4)等价的向量组有相同的秩。

如果T 1线性无关，且T 1可由T 2线性表示。

则；s r ≤2)设向量组T 1含r 个向量，向量组T 2含s 个向量，如果，s r >则T 1线性相关。

五、线性方程组的有关结论
设系数矩阵n m ij a ×=)(A ；
r =A rank ，0≠b 右端向量增广矩阵。

),(ˆb A A =，
),,,(21n αααL =b Ax =A A
rank ˆrank =⇔⇐
m =A rank ⇐
时0
det ≠A ⇔b 可由n ααα,,,21L 线性表示⇔n ααα,,,21L 向量组与b ,,,,21n αααL 等价
1)有解n m =0=Ax 必有解
b Ax =n =A rank ⇔时0det ≠A ⇔n ααα,,,21L 线性无关2)有解时
n m =0
=Ax 只有零解)
(1)解唯一
⇔(n <A rank ⇔时0
det =A ⇔n ααα,,,21L 线性相关n m =0
=Ax 有非零解)(2)无穷多解
⇔((3)0=Ax 的解向量构成向量空间，
其维数为A
rank −n
②若b Ax =的解向量不构成向量空间。

(4)①若21ηη，
是b Ax =的解，则21ηη−是的解；
0=Ax η是b Ax =的解，
ξ是的解，0=Ax 则的解。

t ηη,,1L 是b Ax =ξη+③若是b Ax =的解，
则是b Ax =的解。

t t k k ηη++L 11)
1(1=++t k k L
的基础解系，(5)0=Ax 的通解为
++=2211ξξt t x r
n r n t −−+ξL 其中r n −ξξξ,,,21L 是0=Ax r n t t t −,,,21L 任取。

(6)b Ax =的通解为
++=11*ξηt x r
n r n t t −−++ξξL 22其中*
η是b Ax =的特解，r n −ξξξ,,,21L 的基础解系，是0=Ax r n t t t −,,,21L 任取。

，B A ⎯⎯→⎯↔j i r r ；B A E =),(j i 若则
，D A ⎯⎯→⎯↔j i c c ；D AE =),(j i 若则
，B A ⎯⎯
→⎯×k i r ；B A E =))((k i 若则，D A ⎯⎯
→⎯×k i c ；D AE =))((k i 若则，B A ⎯⎯→⎯+j i k r r ；
B A E =))(,(k j i 若则，D A ⎯⎯⎯→⎯+i j k c c 。

D AE =))(,(k j i 若则六、初等矩阵。

，),()),((1),(det 1j i j i j i E E E =−=−。

，))1(())(((0))((det 1k i k i k k i E E E =≠=−。

，))(,())(,((1))(,(det 1k j i k j i k j i −==−E E E
七、A 是正交矩阵
E AA A A ==T T T
1A A =−1
det ±=A A T ,A -1,A *, A k 均为正交矩阵
A 的列(或行)向量是两两正交的单位向量。

当B 也为正交矩阵时，AB 是正交矩阵。

当k=±1 时，k A 也是正交矩阵。

八、特征值与特征向量
1．已知x 是A 的特征向量，列出；x Ax λ=2．已知λ0是A 的特征值，列出。

0)det(0=−E A λ则nn n a a a +++=+++L L 221121λλλA
det 21=n λλλL T A λ
A l λl x 1−A
λ
1x *A λA det x )(A f )(λf x k A k λx AP P 1−λx
P 1−A λ
x 4．与A 有关矩阵的特征值和特征向量
5．不同特征值对应的特征向量线性无关。

矩阵特征值特征向量的特征值，n λλλ，，，
L 21n n ij a ×=)(A 3．设是
6．A 的各行(列)元素之和为a 。

⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛111111M M a A (或⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛111111T M M a A ) 7．向量α是齐次线性方程组0=Ax 的解向量，则α是A 对应特征值0的特征向量。

8.已知求A 的可能特征值。

则A 的特征值满足，0)(=λf ，
O A =)(f
九、A 是实对称矩阵
A A =T
4．存在正交矩阵Q ,使得
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎛==−n λλλO 21T 1AQ Q AQ Q 1．特征值均为实数。

2．不同的特征值对应的特征向量正交。

3．必可相似于对角矩阵。

十、A 是正定矩阵
A A =T
(实对称矩阵)4．存在正交矩阵Q ,使得
，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎛==−n λλλO 21T 1AQ Q AQ Q 0>i λ2．特征值均大于零。

3．顺序主子式均大于零。

1．对任意0≠x 都有。

0T >Ax x
十二、AB =O
n ≤+B A rank rank ①B 的列向量是0=Ax 的解向量。

(A ,B 均为n 阶方阵)②B
A rank rank =十三、A 与
B 等价特例：A 与E n 等价
，n =A rank 0
det ≠A )(B PAQ B A =≅：十一、已知f (A ) =O
①用待定法求逆矩阵1−A 或1
)(−+E A ②求A 的部分特征值：A 的特征值满足。

0)(=λf 等;
B A rank rank =B
A det det =)
det()det(E B E A λλ−=−十四、A 与B 相似A 与B 有相同的特征值
B
A rank rank =十五、A 与
B 合同当A 对称时B 也对称
实对称矩阵A 与B 的正负惯性指数相同
)
~(1
B AP P B A =−：)
~(T B AP P B A =−：
十六、等价、相似与合同的关系
特征值相同且可对角化特征值不同但正、负及零特征值个数相同1. 一般方阵
⇒等价
相似⇒等价
合同⇒相似2. 实对称矩阵
特征值相同⇒相似且合同
⇒不相似但合同其它情形⇒不相似不合同
十七、有关概念的关系A 无零特征值
）（0det ≠A 设A 为n 阶方阵⇔⇔A 可逆A 非奇异A 满秩(AB =BA = E )(rank A =n )
A 的列(行)向量组线性无关⇔
Ax = 0 只有零解⇔
Ax = b 有唯一解⇔
⇔⇔
A 能表示为一些初等矩阵的乘积※。