传热学精讲 第四章

第四章 导热问题数值解法基础

第一节 建立离散方程的方法

一、区域和时间的离散化

图4-1 二维物体中的网格

二、建立离散方程的方法 1、泰勒级数展开法 +∆⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂+∆⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+=+!

3!23

,332,2

2

,,,1x x t

x x t x x t t t j i j i j i j i j i (1)

+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂+∆⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-=-!3!23

,3

32,22

,,,1x x t x x t x x t t t j

i j i j i j

i j i (2)

()x x t t x t j i j i j

i ∆+∆-=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛∂∂-0,1,, （4-2）

()2

,1,1,02x x t t x t j i j i j

i ∆+∆-=⎪

⎭⎫

⎝⎛∂∂-+ （4-3）

()2

2,1,,1,2202x x t t t x t j i j i j i j

i ∆+∆+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+ （4-4） (

)2

21,,1,,2202y y t t t y t j i j i j i j

i ∆+∆+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-+ （4-5）

222

1

,,1,2

,1,,1=∆+-+

∆+--+-+y

t t t x

t t t j i j i j i j

i j i j i （4-6）

2、热平衡法

图4-2 二维网格单元的能量平衡

1,,1⨯∆∆-=Φ-y x

t t j

i j i LP λ 1,,1⨯∆∆-=Φ+y x t t j

i j i P R λ

1,1,⨯∆∆-=Φ+x y

t t j

i j i P T λ

Φ∆∆B P i j i j

t t y

x =-⨯-λ

,,11

以常物性，无热源二维稳态导热为例，对节点P ()i j ,所代表的微元体写热平衡式， ΦΦΦΦLP R P T P B P +++=0 ()

()

λ

λ

∆∆∆∆y

x

t t t x

y

t t t i j i j i j i j i j i j +-+--++-+=111

1220,,,,,, （4-7）

第二节 稳态导热问题的数值计算

一、内节点离散方程的建立

t t t t t i j i j i j i j i j +-+-+++-=111140,,,,,

()t t

t t t i j i j

i j i j i j ,,,,,=

++++-+-14

1111

（4-8）

二、边界节点离散方程的建立

图4-3 第三类边界条件的边界节点

λ

λ

λ

t t x

y t t y

x

t t y

x

q y i j i j

i j i j i j i j w --+-+-+-+=11122

0,,,,,,∆∆∆∆∆∆∆

t t t t xq i j i j i j i j w ,,,,=

+++⎛

⎝ ⎫⎭

⎪--+1422111∆λ （4-9a ）

()q h t t w f i j =-, ()02

222,1,1,,1=∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛

∆+

++++--f j i j i j i j i t x

h t x h t t t λ

λ （4－9b ）

节 点 方 程 式

表4-1

三、节点离散方程组的求解

方程组可以写为下列形式

t a t a t 1111122=++…++a t c n n 11 t a t a t 2211222=++…++a t c n n 22

… （4-10）

t a t a t n n n =++1122…++a t c nn n n

t a

t c i i j

j n

j i

=+=∑,1

i =1，2，…n

允许误差ε为止，即

k i k i t t -+1m a x ≤ε k i

k

i

k i

t

t t -+1

m a x

≤ε （4-11）

t a t a t k k k 212111222++=++…a t n n k 2+c 2

t a t a t a t k k k k 3131113221333+++=+++…++a t c n n k 33 t a t a t n k n k n k +++=++1111221…+++--+a t a t c n n n k n n n k n ,,111

高斯-赛德尔迭代的计算过程是按一定程序循环进行的，所以它是计算机常用的计算方法之一。