地大高等数学一试卷及答案

《高等数学一》试卷

一． 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．22lim x x x x x →∞+=- ; 2．02sin lim x x

x

→= ;

3．1

lim(1)x

x x

→∞

-= ; 4．

'= ;

5．(2)x x

d e += ; 6．已知0'()1f x =, 则000

()()

lim x f x x f x x x

∆→+∆--∆=∆ ;

7．函数

0()2d x

F x t ⎛=

⎝

⎰的单调增区间为 ; 8．

2

1d 1x x =+⎰ ; 9．d x x

= d(35ln )x -; 10．微分方程 0y y ''-=的通解是 . 二． 单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．函数()ln(1)arcsin f x x x =++的定义域是（ ）。

A ．（-1 , 1 ]

B ．[ -1 , 1 ]

C ．（-1 , 2 ]

D ．[-1 , 2 ] 2．当0x →时，()tan sin f x x x =-是x 的（ ）。

A ．低阶无穷小

B ．等阶无穷小

C ．同阶但不等阶无穷小

D ．高阶无穷小

3．设()2,0sin ,0

x a x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩在0x =上连续，则a 的值为（ ）。

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2 4．函数()ln f x x =在0x =点（ ）。

A ．连续且可导

B ．连续但不可导

C ．不连续但可导

D ．不连续且不可导 5．下列论述正确的是（ ）。

A ．驻点必是极值点

B ．极值点必是最值点

C ．可导的极值点必是驻点

D ．极值点必是拐点 6．下列凑微分正确的是（ ）。

A ．()

2

2

d d x x

xe x e = B ．

()1

d d ln 11

x x x =++

C ．21arctan d d 1x x x ⎛⎫

=

⎪+⎝⎭

D ．1cos 2d d(sin 2)2x x x = 7．设()F x 是()f x 的一个原函数，则有下面成立的是（ ）。

A ．dx x f dx x f d b a )()(=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰ B ．

[]c x f dx x f dx d

+=⎰)()(

C ．dx x f dx x f d x a )()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰

D ．c x f dx x f dx d x

a +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰)()(

8．下列那一项不是常微分方程（ ）。

A ．2

320y x y -+= B ．2

2

2

2

()d ()d 0x y x x y y ++-= C ．30y y '+= D ．3sin y x y ''=+ 三． 计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

1．01

1lim cot sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭

2．设321ln 1x y x +=+，求d d y x 3．

dx x x x ⎰+++2

1arctan 1 4

．40x ⎰ 5．求微分方程)(e d d 3x x x

y

y +=-的通解。

四． 应用题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

1．已知曲线)(x y y =满足方程0sin =⋅+y

e x y ，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。

2．计算抛物线2

x y =与x y =2

所围成的图形的面积。

3．要制作一个容积为V 的圆柱形带盖铁罐，问圆柱的高h 和底半径r 各为多少时，可使所用材料最少？

五． 证明题（本大题共5分）

当0>x 时，x e x

+>1.

高等数学（一）答案 一、填空题 1、 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、选择题

1-8 AD DC CA

三、计算题 1、0

1

1lim cot sin x x x x →⎛⎫-

⎪⎝⎭

解： 0

1

1lim cot sin x x x x →⎛⎫-

⎪⎝⎭

=0cos sin lim sin sin x x x x x x x →-⋅=300sin limcos lim x x x x x x →→- =2

01cos lim

3x x x →-=0sin lim 6x x x →=16 2、设321ln 1x y x +=+，求d d y

x

解：

d d y x

=(

)(

)()

32ln 1ln 1x x '+-+=()()32ln(1)ln(1)x x ''+-+ =332232d ln(1)d(1)d ln(1)d(1)

d(1)d d(1)d x x x x x x x x

++++⋅-⋅++

=

23232.11x x

x x ⋅-++

3、

dx x x

x ⎰+++21arctan 1 解：

dx x x x ⎰+++21arctan 1=dx x x

dx x x dx x ⎰⎰⎰+++++2221arctan 111

=)(arctan tan 1)

1(21arctan 2

2x xd arc x

x d x ⎰⎰++++