圆的切线方程的求解技法

圆的切线方程的求解技法（）

大家知道：（1）过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的切线方程为200r yy xx =+；（2）过圆()()222r b y a x =-+-上一点()00,y x P 的切线方程为

()()()()200r b y b y a x a x =--+--；

（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点()00,y x P 的切线方程为0220000=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++F y y E x x D y y x x （由（2）可导出（3））。那么，过圆()()222r b y a x =-+-外一点()00,y x P 作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？

举一例介绍求解技法如下。

例：从点()1,2--P 向圆012422=++-+y x y x 引切线，求切点坐标与切线方程。 解法一：转化与化归法。设切点坐标为()11,y x A ，则过点A 的圆的切线方程为()()0121111=++++-+y y x x y y x x 。因为切线过点()1,2--P ，所以4211+--y x

011211=++--y x ，解得11=x ，代入圆的方程，解得311+-=y 或311--=y 。所以切点坐标为()31,1+-，()31,1--，切线方程为0323=-+-y x 或0323=+++y x 。

解法二：转化与化归法及参数法。圆的方程化为()()41222=++-y x ，故可设切点坐标为()θθsin 21,cos 22+-+，[)πθ2,0∈，则切线方程为()()4sin 21cos 22=∙++∙-θθy x 。 因为切线过点()1,2--P ，代入切线方程，得

4cos 8=-θ，所以21cos -=θ，23sin ±=θ。所以切点坐标为()31,1+-，()

31,1--，切线方程为0323=-+-y x 或0323=+++y x 。

点评：若出C B A =+θθsin cos 型，可将θcos A 移到右边，再两边平方求解。 解法三：判别式法。设切线的斜率为k （存在时），则过点()1,2--P 的直线方

程为)2(1+=+x k y ，由()()⎩⎨⎧=++-+=+0142122y x x x k y ，消去y ，得()()041412222=+-++k x k x k ○1 由直线与圆相切有，()()01161162222=+--=∆k k k ，解得3

3±=k ，此时切点的横坐标为()()

1121422=+--=k k x ，将1=x 代入圆的方程，解得31±-=y ，即切点坐标为()31,1+-，()31,1--。将3

3±=k 代入切线方程，得两条切线方程为0323=-+-y x ，0323=+++y x 。

点评：若求得的k 值只有一个，再验证斜率不存在且过点()1,2--P 的直线是否为切线。

解法四：几何法。圆的方程化为()()41222=++-y x ，圆心()1,2-C 。设切线的斜率为k （存在时），则过点()1,2--P 的直线方程为)2(1+=+x k y ，即012=+--k kx y 。由平面几何知识，圆心()1,2-C 到切线的距离等于圆半径，所以211

2212=++---=k k k d 。解得33±=k 。将3

3±=k 代入切线方程，得两条切线方程为0323=-+-y x ，0323=+++y x 。将切线方程()23

31+±=+x y 代入圆的方程，得()()4231222=++-x x ，解得1=x ，再代入切线方程，得31±-=y ，所以切点坐标为()31,1+-，()31,1--。

点评：若求得的k 值只有一个，再验证斜率不存在且过点()1,2--P 的直线是否为切线。就求切线方程而言，较解法三可减少运算量，值得重视。

解法五：平移转化法。圆的方程化为()()41222=++-y x ，将圆和点()1,2--P 同时按向量()1,2-=平移（2-='x x ，1+='y y ，从而2+'=x x ，1-'=y y ），得到

的图形所对应的方程为422=+y x （改写后）和点()0,4-P 。设此时切点坐标为()00,y x ，则切线方程为400=+yy xx ，因其过点()0,4-P ，所以440=-x ，10-=x 。将10-=x 代入圆的方程422=+y x 解得30±=y ，所以切线方程为043=+±y x （即切线方程为043=+'±'y x ），切点为()3,1±-。再将所得的切线和切点按向量()1,2-=-平移，得到所要求的切点坐标为()

31,1±-，切线方程为()()04132=++±-y x ，即切点坐标为()31,

1+-，()

31,1--，切线方程为0323=-+-y x 或0323=+++y x 。 点评：利用平移化归法，化复杂为简单，减少运算量。但要确保平移的正确性和能熟练运用。