2021年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.3幂函数同步训练新人教B版必修

2021年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.3幂函数同步训练新人教B版必

修

5分钟训练

1.下列函数中是幂函数的是（）

A.y=(x+2)2

B.y=

C.y=

D.y=3x

答案：C

解析：根据幂函数的定义判断.

2.下列函数图象中，表示y=的是（）

答案：C

解析：因为<0,所以A、D错误.又因为函数是奇函数，所以B错误.

3.幂函数y=x a的图象一定经过（0，0），（1，1），（-1，1），（-1，-1）中的( )

A.一点

B.两点

C.三点

D.四点

答案：A

解析：所有幂函数的图象都过点（1，1）.

4.已知幂函数y=f(x)的图象经过点（2，），那么这个幂函数的解析式为_____________.

答案：y=

10分钟训练

1.下列命题中，不正确的是（）

A.幂函数y=x-1是奇函数

B.幂函数y=x2是偶函数

C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数

D.幂函数y=既不是奇函数也不是偶函数

答案：C

解析：函数y=x是奇函数，不是偶函数.

2.幂函数的图象过点（2，），则它的单调递增区间是（）

A.（0，+∞）

B.［0,+∞)

C.(-∞,+∞)

D.(-∞,0)

答案：D

解析：设f(x)=xα.由2α=,得α=-2,故f(x)=x-2,其单调增区间是（-∞,0）.

3.函数y=的图象是（）

答案：D

解析：y=的图象是由函数y=的图象向左平移1个单位得到的.

4.当x>1时，函数y=x a的图象恒在直线y=x的下方，则a的取值范围是（）

A.0

B.a<0

C.a<1

D.a>1

答案：C

解析：观察幂函数的图象.

5.若幂函数y=x n对于给定的有理数n，其定义域和值域相同，则此幂函数（）

A.一定是奇函数

B.一定是偶函数

C.一定不是奇函数

D.一定不是偶函数

答案：D

解析：可使用排除法，如y=满足题意，但既不是奇函数，又不是偶函数，所以A、B均不对.y=x3满足题意，它是奇函数，所以C不对.

6.已知x2>，求x的取值范围.

解：在同一坐标系中，作出函数y=x2与y=的图象，如图.

通过图象可以看出，当且仅当x>1时，x2>,

∴所求x的取值范围是x>1.

30分钟训练

1.下列命题中正确的是（）

A.当α=0时函数y=xα的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点

C.若幂函数y=xα是奇函数，则y=xα是定义域上的增函数

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限

答案：D

解析：对于A，当α=0时，函数y=xα是y=1(x≠0),它不是直线；当幂指数α<0时图象不经过原点，所以B错；由y=x-1,可知C错.

2.已知幂函数y=，y=，y=，y=在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是( )

A.n 1>n 2>1，n 3

B.n 1>n 2>1，n 4

C.n 1>1>n 2>0>n 4>n 3

D.n 1>1>n 2>0>n 3>n 4

答案：D

解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过（1，1）点作垂直于x 轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小.

3.下列不等式中错误的是( )

A.0.50.3＜0.70.3

B.

C. D.

答案：C

解析：利用幂、指、对函数的单调性进行判断.

4.(创新题)函数①y=|x|;②y=;③y=;④y=中，在（-∞,0）上是增函数的有（ ）

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

答案：C

解析：①y=|x|=在（-∞,0）上是减函数，排除A 、D ；②y=在（-∞,0）上为常数函数，排除B.

5.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--,

0,,0,1221x x x x 若f(x 0)>1,则x 0的取值范围是（ ）

A.（-1，1）

B.（-1，+∞）

C.(-∞,-2)∪(0,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

答案：D

解析：由所以x<-1. 又由⎩

⎨⎧>>⎪⎩⎪⎨⎧>>,0,1,0,121x x x x 得所以x>1. 所以x 0的取值范围是（-∞,-1）∪(1,+∞).

6.幂函数y=x -1,直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：

Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示)，那么幂函数y=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）

A.Ⅳ Ⅶ

B.Ⅳ Ⅷ

C.Ⅲ Ⅷ

D.Ⅲ Ⅶ

答案：D

解析：y=，其图象为第一象限的一条双曲线，与y=x -1交叉出现.由<-1,可知它经过Ⅲ、Ⅶ“卦

限”.

7.,则实数a 的取值范围是__________________.

答案：a>3

解析：y=在R 上是增函数，所以有a+1<2a-2.解得a>3.

8.已知函数f(x)=.

(1)画出f(x)的草图；

（2）指数f(x)的单调区间；

（3）设a,b,c>0,a+b>c,证明f(a)+f(b)>f(c).

解：(1)f(x)=.函数f(x)是由y=向左平移1个单位后，再向上平移1个单位形成的，图象如图.

（2）由图象可以看出，函数f(x)有2个单调递增区间:（-∞,-1）,(-1,+∞).

(3)f(a)=,f(b)=. ∵a,b>0,∴b

a b b b b a a a a ++>+++>+11,11. ∴f(a)+f(b)>=f(a+b).

∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，a+b>c>0,

∴f(a+b)>f(c).∴f(a)+f(b)>f(c).

9.(探究题)已知函数f(x)=,求证：

（1）f(x)在其定义域上是增函数；

（2）方程f(x)=1最多有一个实根.

答案：(1)证明:f(x)的定义域为（0，+∞）.

设x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1

)11)((11212121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=-++-=-+-=. ∵0