建筑力学 第三章 力矩与平衡力偶系

（1）力偶不能合成为一个 力，也不能用一个力来平衡。 力和力偶是静力学的两个基 本要素。
力偶矩正负号：使物体逆时针方向转动为正
§1.2 力偶及其性质
力偶的效应
在任意方向x上的移动效应为零
o
d2
F
x
= F cos - F cos 0

A
F
d
对任意点o的转动效应＝力偶矩
mo F , F d1F - d2F dF
力偶的作用面——力偶所在的平面。
§1.2 力偶及其性质
F
d
B x O
A
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) F (d x) F x Fd
F
M Fd 力偶矩
（2）力偶矩是度量力偶对 刚体的转动效果；它有两个 要素：力偶矩的大小和力偶 矩的转向。
M = M1 + M 3 + · · ·+Mn M i 0
结论：作用在刚体上的平面力偶系的平衡条件是力偶系中各 力偶的矩之代数和等于零。
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
例：结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链的约
束力较小（不计构件自重）。 1、研究OA杆
F
A
F
A
2、研究AB杆
M
• 在力学上把F● d加上正负号作为力F使物体绕O点 转动效应的度量，这个度量称为F对O点的矩， 简称为力矩。
• 以公式记为：Mo(F)=±Fd • O点称为力矩中心，简称为矩心。 • 矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。 • 在平面力系中，其正负号表示力使刚体绕矩心转动 的方向。通常规定，力使刚体逆时针方向转动时力矩 为正，反之为负。力矩的单位是：牛顿· 米（N· m）
M = M1 + M3 + · · ·+Mn M i
结论：平面力偶系合成的结果是一个力偶，它的矩等于原 来各力偶的矩的代数和。 合力偶矩正负号：使物体逆时针方向转动为正
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
平面力偶系平衡条件
在上面讨论中，若Fd1+ Fd2=Fd3 ，则其合力 F=0，从而有 M 1 + M 2 +M 3 = 0 推广到由任意个力偶组成的平面力偶系,有
力矩与平面力偶
一、力对点之矩与合力矩定理 二、力偶及其性质 三、平面力偶系的合成和平衡
力的效应
力对物体效应可以产生： 运动效应；变形效应
力对物体的运动效应可以产生：
移动效应--取决于力的大小、方向；一个是如 果力的作用线通过刚体的质心，将使刚体在力作 用的方向上平移。 转动效应--取决于力矩的大小、方向；如果力 的作用线不通过刚体的质心，则刚体将在力的作 用下边移动边转动，是力对刚体的转动效应。
力对点之矩（力矩）的概念：
Mo (F )
F
r
A d
B
平面力F 对O点之矩的计算方法：
O
M O F Fd

O：矩心 d：力臂
M O F 2ABC的面积

§1.1 力对点之矩与合力矩定理
力矩的性质：
1、当力沿其作用线移动时，
Mo ( F ) O h
r
F
A
B
MO F
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
合力矩定理：平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
3. y力矩与合力矩的解析表达式
Fy
A y d O
F
意移动，而不影响它对刚体
的作用效应。 力偶表示：
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
唯一决定平面内 力偶效应的特征 量是力偶矩
=
=
=
=
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
平面力偶系的合成
推广到由任意多个力偶组成的平面力偶系,合力偶矩为 M = M1 + M3 + · · ·+Mn M i
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
力矩的基本性质
（1）力F对O点之矩不仅取决于力的大小、方 向，同时还与矩心有关 （2）力矩不会因该力的作用点沿其作用线移动 而改变 （3）力的大小为零，或力的作用线通过矩心时 （力臂为零），力矩等于零 （4）相互平衡的二力对同一点之矩的代数和等 于零
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
D
ND M2
M 1 BDN D sin
M2
A
M 2 AD N D
M1
BD M 2 sin AD
A
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
Fx
x
x
M O ( FR ) ( xi Fiy y i Fix )
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
已知：Fn，，r
例 题 1 求：力 Fn 块对轮心O的力矩。 F
O
解：（1）直接计算
r Fr h
d1
F
B
x
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，
而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩 度量。
§1.2 力偶及其性质
力偶的效应
F F
x
F
a a
F F
a a a
a
A
B
F
a
x
F F
A
F F
B
§1.2 力偶及其性质
性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等， 转向相同，则该两个力偶彼此等效。 由上述证明可得下列两个推论： ②只要保持力偶矩大小和转向 ①力偶可以在其作用面内任 不变，可以任意改变力偶中力 的大小和相应力偶臂的长短， 而不改变它对刚体的作用效应。

M O (Fn ) Fn h Fn r cos
（2）利用合力之矩定理计算
M O ( Fn ) M O ( Fr ) M O ( F ) M O (F ) Fn r cos
Fn
§1.2 力偶及其性质
1.力偶与力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反 且不共线的平行力组成的力系。 力偶臂——力偶的两力之间的垂直 距离。

保持不变。
2、若使
MOቤተ መጻሕፍቲ ባይዱF 0

则：
或：F = 0，（无力作用）
O：矩心 h：力臂
或：h = 0，（力通过矩心）
3、互为平衡的两个力对同一点的矩 的和 = 0
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
力矩的计算
• 方法一、定义（当力臂易定的时候） • 方法二、合力矩定理（当力臂不易定的时候） • 合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内 任意一点之矩等于所有各力对于该点之矩的代 数和
B
M
O
B O
F
（A）
（B）
F
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
思考题：结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶 M，
确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）
A
M
M
O
B
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
例:求当系统平衡时,力偶 M1 , M 2应满足的关系。
研究BD
研究AC
D
C
M1
B
D
M1

NB
B

ND
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
力矩：力使物体绕任一点的转动效应的度量 • 力对刚体绕某一固定点的转动效应不仅与力的 大小、方向有关，而且与固定点到该力的作用 线的距离有关。
• 扳手拧螺丝钉，螺丝钉发
生了转动。想一想螺丝钉
的转动效果跟哪些因素有
关？
§1.1 力对点之矩与合力矩定理