改进单纯形法祥解

和它对应的基变量xl，确定xl为换出变量。于是可给出一组新的 基变量以及新的基矩阵B1。 第五步：计算新的基矩阵的逆矩阵 重复第二步到第五步。 ,求出 B 1b B11 1 及 Y c B 1 。 B1 1
6.3
灵敏度分析
一、系数变化范围的确定 设已求得了线性规划问题
X (1)
B 1b 0
目标函数值：
z CB B b
1
1、非基变量的系数 (C N CB B 1 N ) 就是检验数
j
令
y CB B 1
称为单纯形乘子
2、用矩阵描述时， 规则的表达式是：
1 ( B 1b)i ( B b) l 1 min 1 ( B PK )i 0 1 ( B PK )i ( B PK )l
3、单纯形表
- z CB X B C N X N 0 X s 0
BX B NX N IX s b
当确定
X B 为基变量时，经过基变换，可得到：
X B B 1 NX N B 1 X s B 1b
- z (C N CB B 1 N ) X N CB B 1 X s CB B 1b
BX B NX N b
XB 0
XN 0
将约束方程移项，得：
BX B b NX N
左乘
B 1 后，得到 X B的表达式
X B B 1b B 1 NX N
代入目标函数，得到：
z C B B 1b (C N C B B 1 N ) X N
令非基变量 X N , X s 0 得到一个基可行解
6.2.6
改进单纯形法
单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题：
Max z CX
AX b
X 0
给这个线性规划问题的约束条件加入松弛变量
X s ( xn1 , xn 2 ,..., xn m )
T
得到标准型
Max z CX 0 X s
AX I m X s b
X 0
Xs 0
用矩阵表示为：
0 I B 1 N I 0 C B 1 N N
z 1 1 X B B b B X 1 CB B 1 N CB B b X s
单纯形法的迭代过程实质上是从一组基到另一组基的变换，
非基变量
b
6
基变量
x3
1
i
x2
0 6/2
cB1
0
XB
x1
2
x6
-1/2
x4
0
x5
0
1
x3
0
0 3
x4
x5 x2
2
16 3
1
0 4 2
-1/2
0 1/4 -3/4
0
0 0 0
1
0 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
2/1
16/4 －
j
计算表Ⅲ
非基变量
b x4 -2 1 -4 0 -2 x6 1/2 -1/2 2 1/4 1/4 x3 1 0 0 0 0
设B是一个可行基，若将系数矩阵（A，I）分为（B，N），
N是非基变量的系数矩阵。 对应于B的变量
X B1 , X B2 ,..., X B1m
是基变量，用向量
X B ( X B1 , X B2 ,..., X Bm ) T
表示。其他为非基变量。
XB X X N
将C 分为
x B B 1b x 0 N
然后计算单纯形乘子
y C B B 1
第二步：计算非基变量xN的检验数j，j = m + 1, …, n。若j ≤0，
已得到最优解，可停止计算。若还存在j＞0，转下步。 第三步：根据 max ( j j 0) K
计算表Ⅰ cB
0 0 0 0
非基变量
b 12 8 16 12 x1 2 1 4 0 2 x2 2 2 0 4* 3 x3 1 0 0 0 0
基变量
x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 0 x6 0 0 0 1 0
i
xB
x3 x4 x5 x6
12/2 8/2 － 12/4
z
计算表Ⅱ
每当基变量确定后，只要把这个基在初始单纯形表中相应列的 系数矩阵的逆矩阵求出来，则单纯形表上的其它列的数字也随着 确定。而为了确定一组新的基，关键是要找出换入变量和换出 变量。找换入变量是通过求所有非基变量列的检验数，从中找出
最大的正检验数来确定。在找出换入变量后，根据 规则确定
换出变量。而每次迭代中真正有用的数字是基变量列数字,基变量 的逆矩阵，非基变量的检验数以及最大正检验数对应的非基变量 的系数列向量。
基变量
x1 0 1 0 0 0 x6 0 0 1 0 0 x2 0 0 0 1 0
cB
0 2 0 3
3
XB
x3 x1 x6 x2
2
0 4 4 2
j
改进单纯形法求解线性规划的计算步骤
第一步：根据给出的线性规划问题，在加入松弛变量或人工变量后得到 初始基变量。求初始基矩阵B的逆矩阵B-1。于是可以求出初始解。
(C B , C N )
XB ( B, N ) X N b
于是，约束方程组用矩阵表示为： 目标函数为：
XB (CB C N ) X N
(CB X B C N X N )
这时可将线性规划标准型改写为矩阵形式：
Max z CB X B CN X N
j
所对应的非基变量
x k ，确定 x k 为
换入变量。计算B-1PK，若B-1PK≤0，那么问题无解，停止计算。
否则转入下一步。
第四步：根据 规则，求出
1 ( B 1b)i ( B b) l 1 min 1 ( B PK )i 0 1 ( B PK )i ( B PK )l
基变量
x1 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 0 x2 0 0 0 1 0
i
cB
0 2 0 3
2
XB
x3 x1 x5 x2
2
2 2 3 3
2/0.5 － 8/2 3/0.2 5
ห้องสมุดไป่ตู้j
计算表VI
非基变量
b x4 -1 0 -2 1/2 -1.5 x5 -1/4 1/4 1/2 -1/3 -1/8 x3 1 0 0 0 0