《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT(第2课时零点的存在性及其近似值的求法)
高中数学 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
第2课时零点的存在性及其近似值的求法课程标准学法解读1．结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理．2．了解二分法求方程解的一般性.1．会求函数的零点，掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．(数学抽象)2．掌握用二分法求方程近似解的步骤．3．通过本节课的学习，帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法，逐步帮助学生树立数学建模的思想.必备知识·探新知基础知识1．函数零点存在定理(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，并且f(a)f(b)＜0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，__即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0__.思考1：(1)利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数？(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0?提示：(1)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图(1)中的函数在区间(a，b)内有4个零点．图(2)中的函数在区间(a，b)内仅有1个零点．(2)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如图(3)虽然在区间(a，b)内函数f(x)有零点，但f(a)·f(b)＞0.2．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法称为二分法．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精度ε，用二分法求函数f (x )零点x 0近似值x 1，使得|x 1－x 0|＜ε的一般步骤如下： 第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算结束，如果不成立转到第二步；第二步：计算区间(a ，b )的中点a ＋b 2对应的函数，若f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≠0，转到第三步； 第三步，f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2→b ，回到第一步；否则必有f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·f (b )＜0，将a ＋b 2→a ，回到第一步．思考2：当|b －a |＜2ε时，取区间(a ，b )的中点作为零点的近似解，区间(a ，b )上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？提示：设函数的零点是x 0，区间(a ，b )的其他点为x ′，x ′也可能是零点的近似解，即满足|x ′－x 0|＜ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足，因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点．基础自测1．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间[a ，b ]内( C ) A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点解析：如图所示，当f (a )＞0，f (b )＞0时，函数图像与x 轴可以有一个或两个交点，还可以没有交点．故A 、B 、D 不正确，C 正确．2．方程x 3－x －3＝0的实数解所在的区间是( C )A．[－1,0]B．[0,1]C．[1,2]D．[2,3]解析：令f(x)＝x3－x－3，易知函数f(x)＝x3－x－3在R上的图像是连续不断的，f(1)＝－3＜0，f(2)＝8－2－3＝3＞0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝－3＜0，f(3)＝21＞0，结合选项知，f(1)·f(2)＜0，故函数f(x)＝x3－x－3的零点所在的区间为[1,2]，即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1,2]．3．用二分法求函数f(x)＝－4x2＋8x－1的零点x0时，第一次计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，则由此可得零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(C)A．(0.5,1)，f(0.75)B．(0,0.5)，f(0.125)C．(0,0.5)，f(0.25)D．(0,1)，f(0.125)解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x0∈(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．4．用二分法求函数f(x)的一个零点，参考数据如下：f(1.600 0)≈0.200f(1.587 5)≈0.133f(1.575 0)≈0.067f(1.562 5)≈0.003f(1.549 5)≈－0.029f(1.540 0)≈－0.060 据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为__1.556__.解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0，即f(1.549 5)·f(1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f(x)的一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称__4__次就可以发现这枚假币．解析：第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币．即最多称四次就可以发现这枚假币．关键能力·攻重难类型 函数零点所在区间的求法 ┃┃典例剖析__■典例1 (1)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( A )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)函数f (x )＝2x 2－1x 的零点所在的区间是( B )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫14，13思路探究：求函数零点所在区间的关键是判断区间端点处函数值与0的大小关系． 解析：(1)因为f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，所以f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0，所以f (a )f (b )＜0，f (b )f (c )＜0，故∃x 1∈(a ，b )，x 2∈(b ，c )，f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，所以f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．(2)f (1)＝2－1＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝2×14－2＝－32＜0，即f ⎝⎛⎭⎫12f (1)＜0， 所以∃x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，f (x 0)＝0，且f (x )的图像在⎝⎛⎭⎫12，1内是一条连续不断的曲线，故f (x )的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1.归纳提升：判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．┃┃对点训练__■1．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－5x ＋6)g (x )＋x 2－8，其中函数y ＝g (x )的图像是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：令x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.∵f (2)＝4－8＝－4＜0，f (3)＝9－8＝1＞0，又易知函数f (x )的图像在R 上连续不间断，∴函数f (x )在(2,3)内必有零点，故方程f (x )＝0在(2,3)内必有实数根． 类型 用二分法求函数零点的近似值 ┃┃典例剖析__■典例2 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．思路探究：先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间a 0＝1，b 0＝2 f (1)＝－6，f (2)＝4 [1,2] x 1＝1＋22＝1.5 f (x 1)＝－2.625<0 [1.5,2] x 2＝1.5＋22＝1.75f (x 2)≈0.234 4>0 [1.5,1.75] x 3＝1.5＋1.752＝1.625 f (x 3)≈－1.302 7<0 [1.625,1.75] x 4＝1.625＋1.752＝1.6875 f (x 4)≈－0.561 8<0 [1.687 5,1.75] x 5＝1.687 5＋1.752＝1.718 75f (x 5)≈－0.171<0[1.718 75,1.75]x 6＝1.718 75＋1.752＝1.734 375f (x 6)≈0.03>0 [1.718 75,1.734 375]因此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数精确到0.1的实数解．归纳提升：用二分法求函数零点的近似值，关键是找一个区间[m ，n ]，使f (m )·f (n )＜0.用二分法求函数零点的近似值的步骤如下：(1)依据图像估算初始区间(一般采用估值的方法完成)；(2)取区间[m ，n ]的中点c ＝m ＋n 2，计算f (c )，确定有解区间是[m ，c ]还是[c ，n ]，逐步缩小区间的长度，直到区间的长度小于2ε，求出此时的区间中点，即可得到函数零点的近似值．┃┃对点训练__■2．(1)用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( A ) A ．[－2,1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2](2)用二分法求f (x )＝0的近似解，f (1)＝－2，f (1.5)＝0.625，f (1.25)＝－0.984，f (1.375)＝－0.260，下一个求f (m )，则m ＝__1.437 5__.解析：(1)二分法求变号零点时所取初始区间[a ，b ]，应满足f (a )·f (b )＜0.本题中函数f (x )＝x 3＋5，由于f (－2)＝－3，f (1)＝6，显然满足f (－2)·f (1)＜0，因此∃x 0∈(－2,1)，f (x 0)＝0，故函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是[－2,1]．(2)根据题意，方程f (x )＝0的根应该在区间(1.375，1.5)上，则m ＝1.375＋1.52＝1.437 5.类型 零点存在定理的综合应用 ┃┃典例剖析__■典例3 已知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)与(1,2)内，求实数m 的取值范围．思路探究：根据函数零点存在定理，求解不等式，确定参数的取值范围．解析：由函数零点存在定理以及二次函数图像的特征，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)＜0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2>0，2m ＋1＜0，4m ＋2<0，6m ＋5>0，解得－56＜m ＜－12，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12. 归纳提升：二次函数的零点问题，一般需要考虑以下四个方面：(1)判别式．(2)端点函数值的正负．(3)对称轴与区间的位置关系．(4)根与系数的关系．┃┃对点训练__■3．若函数f (x )＝3x 2－5x ＋a 的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a 的取值范围是__(－12，0)__.解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图：由图可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，27－15＋a ＞0，解得－12＜a ＜0.易混易错警示 错用零点存在性定理 ┃┃典例剖析__■典例4 函数f (x )＝2－4－x 2(x ∈[－1,1])的零点个数为__1__.错因探究：解答本题时易产生如下错解：因为f(－1)＝2－3＞0，f(1)＝2－3＞0，所以函数没有零点．事实上，由于f(x)在定义域内是大于等于0的，所以不能使用函数零点存在定理．解析：令2－4－x2＝0，解得x＝0，所以函数在[－1,1]上仅有一个零点．误区警示：利用函数零点存在定理判断函数是否存在零点时，两个条件是缺一不可的．因此，判断函数在已知区间上是否存在零点时，应先判断函数图像在该区间上是不是连续不断的，而且不能一味地将区间[a，b]的左、右端点值代入解析式，根据f(a)·f(b)＜0是否成立来判断，这是因为某些函数的零点所在区间可能是已知区间的子区间或函数零点可能为不变号零点．学科核心素养二分法的思想就是通过“无限逼近”思想来体现的，二分法不仅可以求根，还可以用于查找线路、水管、煤气管等的故障，也有用于实验设计、资料查询等，在日常生活中有着广泛的应用．┃┃典例剖析__■典例5在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障，这是一条10 km长的笔直的线路，怎样迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km有200多根电线杆．想一想，维修线路的工人师傅怎样查找故障最合理？思路探究：可以参照用二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间．解析：如下图，工人师傅可以从线段AB的中点C处开始查找，分别测试AC段和BC段的线路，若发现AC段正常，断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，若发现BD段正常，则故障在CD段；再查CD的中点E……依次类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出，要把故障范围缩小到50 m～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了．课堂检测·固双基1．函数图像与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是(B)解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．2．函数f(x)＝5－x2的负数零点的近似值(精确到0.1)是(C)A．－2.0B．－2.1C．－2.2D．－2.3解析：f(－2.1)＝5－4.41＝0.59>0，f(－2.3)＝5－5.29＝－0.29<0，故选C．3．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间__(1.25，1.5)__.解析：本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0，f(1.5)>0和f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25，1.5)．4．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x 12345 6f(x)136.13515.552－3.9210.8852.488232.064__2__解析：由题表可知函数f(x)的零点至少有一个在(2,3)内，一个在(3,4)内．5．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．解析：设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图像开口向上，零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋(k －2)＋2k －1<04＋2(k －2)＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，23.。
高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第2课时零点的存在性及其近似值的求法教学
思考(sīkǎo) 所有函数的图像都是连续不断的吗？试举例说明.
答案 不是，如反比例函数 y＝1x.
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知识点二 二分法
1.定义：
对于在区间[a，b]上的图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断(bùduàn)地把函数f(x)的
零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二
分法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的连续函数，且f(a)f(b)<0，给定近似的精度ε，用二
分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：
第一步：检查|b－a|<2ε是否(shìfǒu)成立，如果成立，取 转 . 到12/9第/20二21 步
∵|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<2×0.01，
∴方程x3＝3的根的近似值可取为1.445 312 5.
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故函数f(x)最右边的一个(yī ɡè)零点的近似值为1.445 312 5.
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反思
感悟 (1)用二分法求函数的零点(línɡ diǎn)应遵循的原则：
内容(nèiróng)总结
第2课时 零点的存在性及其近似值的求法。第2课时 零点的存在性及其近似值的求法。第三章 3.2 函数与方程、不等式之 间的关系。1.理解函数零点存在定理.。思考 所有函数的图像(tú xiànɡ)都是连续不断的吗。(2)y＝x2＋x＋1。(1)用二分法求函数的
No 零点应遵循的原则：。|1.5－1.375|＝0.125<2×0.1，。那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________.。课堂
函数与方程、不等式之间的关系 PPT
答案：D
4．若函数 f（x）＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3， 则函数 g（x）＝bx2－ax－1 的零点是________。
解析：由2322－－23aa－－bb＝＝00，，
答案：B
2．函数 f（x）＝ 3x－x2的定义域为（ ）
A．[0，3]
B．（0，3）
C．（－∞，0]∪[3，＋∞） D．（－∞，0）∪（3，
＋∞）
解析：要使函数 f（x）＝ 3x－x2有意义，则 3x－ x2≥0，即 x2－3x≤0，解得 0≤x≤3。
答案：A
3．函数 f（x）＝x3－x 的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
求函数 y＝f（x）的零点通常有两种方法：其一是 令 f（x）＝0，根据解方程 f（x）＝0 的根求得函数的零 点；其二是画出函数 y＝f（x）的图像，图像与 x 轴的 交点的横坐标即为函数的零点。
跟踪训练 1 若函数 f（x）＝x2＋x－a 的一个零点是 －3，求实数 a 的值，并求函数 f（x）其余的零点。
函数与方程、不等式之间的关系
最新课程标准： 运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）， 再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本 过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决 问题的方法。
知识点一 函数的零点 1．零点的定义 一般地，如果函数 y＝f（x）在实数 α 处的函数值 等于零，即 f（α）＝0，则称 α 为函数 y＝f（x）的零点。 2．方程的根与函数零点的关系
a＝5， 得b＝－6
∴g（x）＝－6x2－5x－1 的零点是－12，－13。
3.2函数与方程、不等式之间的关系第2课时课件(人教B版)
一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.
5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，
但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称____次就可以发现
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.549 5)≈－0.029
f(1.540 0)≈－0.060
1.556
据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为_________.
解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0，即
2
f(x3)≈－1.302 7<0
[1.625,1.75]
端点(中点)坐标
计算中点的函数值
取区间
1.625＋1.75
x4＝
＝1.6875
2
f(x4)≈－0.561 8<0
[1.687 5,1.75]
1.687 5＋1.75
x5＝
＝1.718
75
2
f(x5)≈－0.171<0
[1.718 75,1.75]
4
这枚假币。
解析：第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；
第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的
6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次
两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币。即
新教材人教B版必修第一册 3.2函数与方程不等式之间的关系第2课时提升版 课件(12张)
• 要点归纳：
在函数图像连续的前提下， f (a) f (b) 0 ，能判断出在区间（a,b) 内有零点，但不一定只
有一个；而 f (a) f (b) 0 ，却不能判断在区间（a,b) 内无零点。
• 变式训练：
函数 y x2 8x 16 在区间3,5上（ ）
A.没有零点
B.有一个零点
C.有两个零点
• （1）函数图像在零点附近连续不断；
• （2）在该零点左右的函数值异号。
•
变式训练
用二分法求方程
2
x
3x
7
0
在区间（1,3）内的根，取区间的中点为
x0
2
，那么下一个
有根的区间是
.
题型三：用二分法求函数零点
例 3.用二分法求函数 f (x) x3 x 2 的一个正实数零点（精确度小于 0.1）.
D.有一无数个零点
题型二：二分法的概念 例 2.（1）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A. f (x) 3x 1 B. f (x) x3 C. f (x) x D. f (x) x2 2x
（ 2 ） 用 二 分 法 求 函 数 f (x) 4x2 8x 1 的 零 点 时 ， 第 一 次 计 算 得
解： 因为 f (1) 2 0, f (2) 4 0
我们可以将区间[1,2]作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算，具体如表所示.
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
a0 1, b0 2
f (1) 2, f (2) 4
x0
1 2 2
1.5
1.5 2 x1 2 1.75
x2
1.5
• 要点归纳
• 用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较繁琐，一般借助 表格，利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过 程；有时也利用数轴来表示这一过程。
3.2函数与方程、不等式之间的关系(2课时)高一数学同步精讲课件(人教B版2019必修第一册)
试求函数f(x) = x 2 − 2x + 2在区间(−2,0)内的近似零点x1 ，使
|x1 − x0 | <
1
.
8
(−) >
(−) <
−2
E
D
−1
取中点
() >
0
参考维修工人的维修
方法来解决这个问题
追问1：如果在区间(−2,0)中任取一个数作为0
{−5, −3, −1,2,4,6}
() > 0的解集为
(−5, −3) ∪ (2,4) ∪ (4,6)
() ≤ 0的解集为
[−6, −5] ∪ [−3,2] ∪ {4,6}
因此，解不等式() > 0,
可以先解对应方程 () = 0 ，
再根据函数性质得到解集.
例2 （课本例5）求函数() = ( + 2)( + 1)( − 1)的零点，并
的近似值，那么误差小于多少? 误差小于2
追问2：如果取区间(−2,0)的中点作为0 的近似
值，那么误差小于多少? 误差小于1
怎样才能不断缩小误差？
误差小于区间长度
通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间
【解析】列表如下：
零点所在区间
(−2,0)
(−2, −1)
3
(−2, − )
2
7
(−2, − )
x1
0
y
y
x2
x
(x1,0),(x2,0)
0
x1
(x1,0)
x
0
没有交点
x
例3 利用函数求下列不等式的解集：
（1） 2 − − 6 < 0;
函数与方程、不等式之间的关系高一数学精品教学课件(人教B版2019必修第一册)
一交点,在(-∞,2)内也有一个交点.
所以相应的方程(x-2)(x-5)-1=0有两个相
异的实数解,且一个大于5,一个小于2
12
考点一 函数零点的判断与求解
1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］;
(1)解法一: ∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点.
个函数在(a,b)内必有唯一的一个零
点。
新知应用
用一用
例 1: 已知函数 f (x) 3x x2 ，问：方程 f (x) 0在区间
[-1，0]内有没有实数解？为什么?
分析：判定方程有没有实数解即可以等价 转化为相应函数有没有零点 解：因为
又 的图象是连续的,所以 在区间[-1,0] 内有零点,即 在区间 [-1,0] 内有实数解。
y
y
x
x
0
0
y
y
x
x
0
0
例1.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精度为0.01 解析:考察函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号 的
区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.经
试算，f(0)=-3＜0，f（1）=2＞0，所以方程2x3+3x3=0在[0,1]内有解.
如此下去,得到方程2x3+3x-3有解区间的表如下:
端点函数值异号的 单调函数
标
b
0a
x
③ 零点存在性定理
如果函数y =f(x)在区间[a,b]上(b)<0,则函数在（a,b）内有零 学 点。
高中数学新人教B版必修第一册 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 课件(45张)B
课堂篇探究学习
知识点拨
知识点一、函数的零点
(1)定义:
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α
为函数的零点.
(2)性质:
①当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.
②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同
号.
名师点析(1)函数的零点可以理解为一个函数的图像与x轴的交点
的横坐标.
(2)方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点.
-4-
3.2
函数与方程、不等式之间的
关系
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
微练习
下列函数中没有零点的是(
A.f(x)= x
C.f(x)=x2+x
)
B.f(x)=x2
1
D.f(x)=
x
解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)
(2)分类:
-8-
3.2
函数与方程、不等式之间的
关系
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
名师点析(1)一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点必须同时满足:①
函数f(x)在[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线;②f(a)·
f(b)<0.这两
个条件缺一不可.
(2)利用零点存在性定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点
1
2
等式的解集为 > - 或 < -3 .
9 2
≤0,所以原不等式的解集为
2
(2)原不等式可化为 2x-
《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT课件(第2课时)
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并能用函数与方程思想分析问题、 提升数学抽象的学科素养.
解决问题．(重点、难点)
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2．二分法的定义
5
(1)二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上过程：通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方
法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分
人教高中数学必修一B版《函数与方程、不等式之间的关系》函数研讨复习说课教学课件
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第三章 函 数
【解】
(1)选 D.由已知得，ax ＋bx＋2＝0 的解为－12，13，且 2
课件 课件 课件 课件 课件
课件 课件 课件 课件 课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
a＜0.所以－ 2a＝ba＝ －－1212×＋1313，，解得ab＝＝－－122，，所以 a＋b＝－14.
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点、二次函数的零点及其 与对应方程、不等式解集之间的关系
课件
第三章 函 数
考点
学习目标
理解函数零点的概念
函数零点的概念 以及函数零点与方程
的关系
结合二次函数的图 二次函数的零点及其
像，会判断一元二次 对应方程、不等式解
方程根的存在性及一 集之间的关系
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第三章 函 数
【解】 (1)令－x2－4x－4＝0，解得 x＝－2，
所以函数 f(x)存在零点，
且零点为 x＝－2.
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
(2)令(x－1)(xx－2－34x＋3)＝0，解得 x＝1，
所以函数 f(x)存在零点，且零点为 x＝1.
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系精品课件
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零
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第三章 函 数
两个
＞0 (x1，0)
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第三章 函 数
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(1)已知函数 y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有 如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
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第三章 函 数
则下列说法正确的是( )
A.函数 y＝f(x)在区间[1，6]上有 3 个零点
B.函数 y＝f(x)在区间[1，6]上至少有 3 个零点
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第三章 函 数
1.在下列区间上，方程 x3＝3x－1 无实数解的是( )
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第三章 函 数
第二步 计算区间[a，b]的中点a＋2 b对应的函数值，若 fa＋2 b＝
0，取 x1＝a＋2 b，计算结束；若 fa＋2 b≠0，转到第三步.
第三步
若
f(a)f
a＋b 2
＜
0
，
将
a＋b 2
的
值
赋
给
b用a＋2 b→b表示，下同，回到第一步；否则必有 fa＋2 bf(b)＜
求定理近似解的方法，会用二分 算、逻辑推理
法求一个函数在给定区间内零
点近似值
第三章 函 数
问题导学 预习教材 P115－P118 的内容，思考以下问题： (1)函数零点存在定理的内容是什么？ (2)二分法的概念是什么？ (3)用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？
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第三章 函 数
1.函数零点存在定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是_连__续__不__断___的，并且 ___f_(_a_)·_f_(b_)_＜__0___ (即在区间两个端点处的函数值__异___号)，则 函数 y＝f(x)在区间(a，b)中___至__少__有__一__个___零点，即∃x0∈(a， b)，f(x0)＝0. ■名师点拨 定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图像是连续不断 的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.
C.函数 y＝f(x)在区间[1，6]上至多有 3 个零点
D.函数 y＝f(x)在区间[1，2]上无零点
(2)函数 f(x)＝x3＋x－5 的零点所在区间为( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
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第三章 函 数
【解析】 (1)由表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜ 0.由函数零点存在定理知，函数 y＝f(x)在区间(2，3)，(3，4)， (4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数 y＝f(x)在区间[1， 6]上的零点至少有 3 个.虽然 f(1)·f(2)＞0，但函数 y＝f(x)在[1， 2]上也有可能存在一个或多个零点.
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第三章 函 数
(2)由函数 f(x)＝x3＋x－5 可得 f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8 ＋2－5＝5＞0， 故有 f(1)f(2)＜0， 根据函数零点存在定理可得，函数 f(x)的零点所在区间为(1， 2)，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B
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第三章 函 数
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第三章 函 数
观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是( )
答案：A
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第三章 函 数
函数 f(x)＝x3－3x－3 有零点的区间是( )
A.(－1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
解析：选 D.因为 f(－1)＝－1＋3－3＝－1＜0， f(0)＝－3＜0，f(1)＝1－3－3＝－5＜0， f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0， 所以 f(x)＝x3－3x－3 的零点在区间(2，3)内.
(1)判断函数零点所在区间的三个步骤 ①代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值. ②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断. ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区 间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一 个零点.
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第三章 函 数
(2)判断函数存在零点的 2 种方法 ①方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过 方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数. ②图像法：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一平面 直角坐标系内作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图像，根据两个图像交 点的个数来判定函数零点的个数.
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
第三章 函 数
考点
学习目标
核心素养
会用函数零点存在定理判断函
函数零点 数在某一区间上零点的存在性 数学抽象、数学运
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
存在定理 及零点个数，会根据函数零点的 算、直观想象
情况求参数
通过具体实例理解二分法的概
二分法
念及其适用条件，了解二分法是 数学抽象、数学运
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第三章 函 数
用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计 算得 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈____________， 第二次应计算____________. 答案：(0，0.5) f(0.25)
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第三章 函 数
判断函数零点个数或所在区间
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第三章 函 数
2.用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即 f(x)在区间[a，b]上的图 像是连续不断的，且 f(a)·f(b)＜0)，给定近似的精确度 ε，用二 分法求零点 x0 的近似值 x1，使得|x1－x0|＜ε 的一般步骤如下： 第一步 检查|b－a|＜2ε 是否成立，如果成立，取 x1＝a＋2 b， 计算结束；如果不成立，转到第二步.
0，将a＋2 b的值赋给 a，回到第一步.
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第三章 函 数
■名师点拨 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的方法， 找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间 内的某个数值近似地表示真正的零点.
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第三章 函 数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜ 0.( ) (2)所有函数的零点都可以用二分法来求.( ) (3)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求其零点.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×