第五章功率谱估计第5节

其中：ei 1, exp jwi ,, exp( j ( N -1) wi )
E e1 , e2 ,, e p
T
T
Ac Ac1 , Ac 2 , , Acp
T
= w1 , w2 ,, wp
T
则式(4)可写成以下形式：
另一种方法
是求预测误差滤波器多项式的根， 将其作为估计结果。
（1）信噪比对AR谱估计的影响
信噪比对AR谱估计的结果有很大影响
（a)当信噪比很高时
采用AR谱估计和多项式求根的方法
得到的频率估计是无偏估计
且其方差接近于极限
(b)对于低信噪比
估计性能会较差 表现在出现了偏倚和有大的方差。
噪声会使谱峰展宽
T
假设w(n)为白噪声，其自相关矩阵为：
w I
2 w
2 这里 w是w(n)的方差，I 是N阶单位矩阵。
令Ac1表示正弦波的复数振幅 Ac1 A exp( j1 ) 1
令信号矢量 e1 [1, exp jw1 , , exp j N -1 w1 ]T
于是： Ac1e1 （ ） s 1
s(n) A exp jw1n 1 1
式中A1、w1和1分别是正弦波的振幅、频率和相位， 假定它们是待估计的未知常数。
设平稳随机过程： x(n) s(n) w(n)
一次实现的N 个采样值为： x(n) A1 exp jw1n 1 w(n) n 0,1, , N -1
可计算出滤波器系数矢量W：
e W = H -1 （6） e x e
-1 x
由此构成的滤波器，可使频率wi 信号分量全通过， 且此时输出功率最小。
输出平均功率为： 1 E y ( n) =W xW = H -1 （7） min e x e
2 H


为输入过程x(n)在wi频率上的功率谱估计。
（b）复白噪声中存在多个复正弦信号
复白噪声中的多个复正弦信号频率估计
与单个复正弦波情况相似
求正弦波参数的最大似然估计
使以下函数最小化
p L x - Ac1ei x - Ac1ei （4） i 1 i 1 Aci Ai exp( ji ) p H
s(n)矢量表示为： s s(0), s(1),, s( N -1)
T
A1 exp j1 [1, exp jw1 ,, exp j N -1 w1 ]T
x(n)用矢量表示为： x x(0), x(1), , x( N -1)
T
w(n)用矢量表示为： w(n)= w(0), w(1), , w( N -1)
H
将s Ac1e1代入L＝ x - s) ( x - s)式得： (
H
（Ac1，w1 )＝( x - Ac1e1 ( x - Ac1e1 L ) ) (2)
H
L是Ac1和w1的函数。
ˆ （ ）求Ac1的最大似然估计Ac1。 1 即求使p( x - s)最大化的Ac1， 或求使L＝( x - s) H ( x - s)最小化的Ac1。
假设 w (i) i 1, 2,, N -1,
*
为N阶FIR滤波器的冲激响应函数
x(n)为一零均值的平稳随机过程
经过有限冲激响应滤波器的输出y (n)为 y(n) w* (i) x(n i) W H X
i 0 N -1
式中：W w(0), w(1),, w( N -1) 为滤波器系数矢量；
1 = ( m) ˆ ˆ P ( w) m0 PAR (w) capon
Capon谱估计为0 ~ p阶AR谱估计的调和均值
1
p
其谱分辨率要低于AR谱估计的分辨率 由于平均的结果，估计的方差反而要小一些。
例子
分别对两个实正弦加白噪的过程进行谱估计：
其自相关函数为： xx (m) 5.23cos(0.3 m) 10.66cos(0.4 m) (m)
2 w
正弦信号的参数[ A1 , A2 , Ap ; 1 , p , w1 ,, wp ]
振幅 相位 频率
依次为振幅、相位和频率
目的:估计这些参量
（a）复白噪声中存在单个复正弦信号
先讨论复白噪声中存在单个复正弦信号的情况。
设复白噪声w(n)中有一个复正弦信号：
T T
则输出为： y (n)=W H X =x(n)W H e
为了使复正弦wi 完全通过，必须有 W e =1 （ ） 1
H
或 W ee W I （2）
H H
由于实际信号总包含有噪声，
在满足上式的条件下，求滤波器系数矢量，
y(n) 2 最小。 使滤波器输出平均功率E
这是一个条件极值问题。
H
求使其最小化解w1 ,得：
ˆ ，w )＝( x - A e ( x - A e ˆ )H ˆ ) （ L Ac1 1 c1 1 c1 1 H ˆ e * eH ( x - A e ˆ ) =x ( x - A )-A
c1 1 c1 1 c1 1
易证： ˆ （ˆ L Ac1，w1 ) x H x - Ac1 x H e1 1 H 2 x xe1 x N
（d）结论：有噪声存在的情况下
根据已知自相关函数所估计 的预测误差滤波器零点的位置
并不真的在正确的频率位置上。
（2）改进信噪比 对AR谱估计的影响
为减轻信噪比对估计性能的影响
增加AR模型的阶
能得到较准确的AR模型参数
从而减小谱估计的偏倚。
但是，却会使方差有所加大 严重时会导致产生虚假谱峰， 出现错误的频率估计
画出BT、AR、Capon三种方法的结果。
从图可见，Capon谱估计的分辨率低于AR谱估计， 但高于BT法谱估计。
根据周期图谱峰的位置来估计 正弦波频率是一种最简便的办法
它可避免最大似然估计遇到的困难
在各正弦波频率很相近的情况
周期图无法分辨它们
必须选用频率分辩率更高的谱估计方法， 例如：AR谱估计等方法。
２、AR谱估计 对白噪声中的正弦信号谱估计
利用AR谱估计来估计正弦频率几种作法：
最直接的方法
把AR( p)谱估计的p个谱峰 的频率位置作为频率估计结果
若傅里叶分析能够分辨其频率的多个正弦波
用周期图是进行频率估计是最佳方法
若傅里叶分析无法分辨其频率的多个正弦波
不适用周期图法，而采用最大似然技术和 基于自相关矩阵特征分解法谱估计。
1、最大似然技术
把正弦过程看成是频率未知的确定信号
2、特征分解法 采用平稳随机过程模型来分析正弦信号， 待估计频率＝自相关矩阵中的未知参数。
Capon方法的功率谱估计表达式为： ˆ Pcapon ( wi )= 1 （8） H ˆ -1 e x e
ˆ 式中： x为自相关矩阵 x的估计。
2、讨论
(1)Capon功率谱估计的傅里叶反变换 不等于 x(n)的自相关函数， 所以Capon谱估计不收敛于谱的真实值。
（2）Capon谱估计与AR谱估计的关系
从而导致分辨率下降
且会使谱峰偏离正确位置
（c）对于白噪声中含有两个幅度 相等的正弦信号所构成的过程
AR谱估计的分辨率随信噪比的下降而下降
在信噪比低的情况
AR谱估计已经不再优于周期图
分辨率下降的原因：
是AR谱估计中所假设的全极点模型， 在观察噪声较大时已经不再合适。
此时AR( p)模型已经变成了一个既有极点 也有零点的ARMA( p, p)模型
ˆ 设w1为常数（已知），则可求出使L最小化的Ac1: ˆ e x e x 1 Ac1 e e e e N
H 1 H 1 -1 w -1 w 1 H 1 H 1 1
（3 x(n) exp(- jw n) ）
n 0 1
N -1
ˆ （2）再求w1的最大似然估计w1。 即使L＝( x - s) ( x - s)最小化的w1。 ˆ 将Ac1代入（Ac1，w1 )＝( x - Ac1e1 ( x - Ac1e1 L )H )式，
＝估计在各个频率点上的平均功率
方法：对x(n)进行傅里叶分解， 变成许多正弦分量的线性组合，
估计某个频率wi上的功率谱值，就相当于一个频率 wi的复正弦输入到上述有限冲激响应滤波器的情况。
Fra Baidu bibliotek
复正弦可表示为： x(n) A exp( jwi n)
则输入信号矢量为： X A exp( jwi n) 1, exp( jwi ),, exp( j ( N -1) wi ) x(n)e e= 1, exp( jwi ),, exp( j ( N -1) wi )
另也可以采用ARMA谱估计方法
或对数据进行滤波以减少噪声的方法等。
二、Capon谱估计方法-最小方 差功率谱估计（MVSE）
设计一种有限冲激响应（FIR）的数字滤波器 保证滤波器输入过程的某个频率成分完全通过 且使滤波器输出功率最小。 将这时滤波器输出功率作为 输入过程在这个频率上的功率谱估计。 这种滤波器可以使频率特性旁瓣最小， 因此用它作功率谱估计可以取得较好的效果。
H
要使其最小化，则：
最大化
1 H 2 1 e1 x N N
x(n) exp(- jw n)
n 0 1
N -1
2
可以看出，此即x(n)的周期图。
最大化 最大化
由此得证：
对于复高斯白噪声中的单个复正弦信号
其频率的最大似然解 周期图的最大值所对应的频率。
（3）求A1和1的最大似然估计。 ˆ ˆ 将A 、w 的最大似然估计代回：
１、最大似然法
复高斯白噪声中复正弦信号的参数估计问题
对于复高斯白噪声中的复正弦信号
其频率的最大似然解为： 周期图的最大值所对应的频率。
（1）推导
假设数据由复高斯白噪声中的p个复正弦信号组成
即：x(n) Ai exp( jwi n i ) w(n)
i 1 p
其中 n 0,1,, N -1, w(n)是均值 为零和方差为 的复高斯白噪声。
T
X x(n), x(n 1),, x(n N -1) 为输入信号矢量 y (n)的平均功率(即方差)为：
T
y (n) 2 E W H XX H W W H xW E 式中 x =E XX H 为输入信号的自相关矩阵
估计x(n)的功率谱
第五节 白噪声中正弦波频率的估计及谱 估计的其它方法
一、白噪声中正弦波频率的估计
确定性信号x(n)为任意形式的信号时，可 作傅里叶级数分解，变成许多正弦分量的 线性组合。 估计淹没在噪声中的正弦波的频率是信号 处理最有实际应用价值的技术之一。 因为带有白噪声的正弦波是一种常见的随 机过程，常用于评价谱分析的性能。 一般假设这些正弦波之间是非谐波的关系。
c1 1
1 N -1 ˆ ˆ Ac1 A1 exp( j1 )= x(n) exp(- jw1n) N n 0 ˆ 求A 的模为A ，相位为 。
c1 1 1
即得： ˆ＝ 1 A1 N
ˆ x(n) exp(- jw n)
n 0 1
N -1
N -1 ˆ Im x(n) exp(- jw1n) n 0 ˆ 1 = arctan N -1 ˆ Re x(n) exp(- jw1n) n 0
数据矢量x的概率密度函数为 1 1 H p( x - s) N exp - 2 ( x - s) ( x - s) 2 det w I w 式中，H 表示共轭转置。
求A1、w1和1的最大似然估计（MLE）
＝求解p( x - s)对A1、w1和1三参数的最大化问题 ＝求解L＝( x - s) ( x - s)最小化问题
（ L Ac，) x - E Ac
T H
x - E A （5）
T c
假设E是已知矩阵，求上式的最小化。
ˆ 解得：Ac E E
*
T

-1
E x （6）
*
再求得频率的最大似然估计，
最后求得正弦波其余参数的最大似然估计。
如果各正弦波的频率用周期图能进行分辩
复白噪声中多个复正弦信号的频率最大似然估计 =对应于周期图中最大值所在的频率