培优试题5

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培优试题(5)

3.如图,现有一张矩形纸片ABCD ,其中AB =4cm ,BC =6cm ,E 是BC 的中点.将纸片沿直线AE 折叠,点B 落在四边形AECD 内,记为点B',则线段B'C =__________.

4.校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒,乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍,考虑各种因素,预计购进乙品牌文具盒的数量y (个)与甲品牌文具盒的数量x (个)之间的函数关系如图所示.当购进的甲、乙品牌的文具盒中,甲有120个时,购进甲、乙品牌文具盒共需7 200元.

A H E

B

F

G

D

C

B B'

C

B

D

E

5.等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB 边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.

(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;

(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决:

小颖的想法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2);

小亮的想法:将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3);

请你从中任选一种方法进行证明;

(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究:当135°<α<180°时(如图4),等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.

6.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =4cm ,BC =3cm ,点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,速度为1cm/s ;同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s ;连接PQ .设运动的时间为t (s )(0

(2)设△APQ 的面积为y (cm 2

),求y 与t 之间的函数关系式.

(3)是否存在某一时刻t ,使线段PQ 恰好把Rt △ABC 的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t 的值;若不存在,说明理由.

(4)如图2,连接PC ,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形PQP ′C ,那么是否存在某一时刻t ,使四边形PQP ′C 为菱形?

7.在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)、D (8,8).抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点.

(1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式;

(2)动点P 从点A 出发.沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发,沿线段CD 向终点D 运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ,交抛物线于点G.当t 为何值时,线段EG 最长?

②连接EQ .在点P 、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的t 值.

图1Q

P

B

C 图2P'

Q

P

B

C

A

8.对称轴为直线x =

2

7

的抛物线经过点A (6,0)和B (0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标;

(2)设点E (x ,y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形,求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)①当四边形OEAF 的面积为24时,请判断OEAF 是否为菱形?②是否存在点E ,使四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.

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