常微分方程 齐次、一阶线性
常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
常微分方程解析解
常微分方程解析解常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
对于一个常微分方程，寻找它的解析解是我们研究和解决问题的关键。
本文将介绍常微分方程解析解的概念、求解方法和应用，以帮助读者更好地理解和应用常微分方程。
一、概念在常微分方程中，解析解指的是通过代数或初等函数表示的解。
与解析解相对的是数值解，数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
解析解具有精确性和完整性，可以给出问题的全面解答和直观理解。
因此，寻找常微分方程的解析解是研究和应用的首要任务。
二、求解方法常微分方程的求解方法主要包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
下面简要介绍这几种方法。
1. 分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以将变量分离，即将方程移项，然后两边同时积分，得到解析解y = F(x)。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(y)/g(x)的一阶常微分方程，可以通过引入新的变量转化成齐次方程。
如果f(y)和g(x)满足一定的条件，可以通过变量代换和分离变量法得到解析解。
3. 一阶线性方程法对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶常微分方程，可以通过引入积分因子的方法将其转化成线性方程。
然后可以通过分离变量和积分得到解析解。
三、应用常微分方程的解析解在各个领域有着广泛的应用。
下面以物理和工程领域为例进行介绍。
1. 物理应用物理学中的许多现象和规律都可以通过常微分方程来描述，而解析解则可以给出这些现象和规律的精确解答。
比如经典力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等均可以通过常微分方程的解析解进行研究和应用。
2. 工程应用工程领域中的许多问题也可以建模成常微分方程，通过求解其解析解可以为工程设计和优化提供指导。
比如在电路设计中，通过求解电路中的微分方程可以得到电流和电压的解析解，从而分析电路中的性能和特性。
四、总结常微分方程解析解是研究和应用的重要工具，通过解析解可以给出问题的全面解答和直观理解。
著名的微分方程
著名的微分方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理、工程、生物学等领域。
著名的微分方程不计其数，下面我将介绍几个具有代表性的微分方程。
1.一阶线性微分方程一阶线性微分方程是微分方程中最基本的类型之一。
它的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知的函数。
这个方程的解可以通过求解一个一阶的常微分方程得到。
2.二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程是一个具有形式为：ay'' + by' +cy = 0的方程。
其中a、b、c都是常数。
这个方程的解可以用特征方程的根来表示。
3.二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程是指具有形式为：ay'' + by' + cy =f(x)的方程。
其中f(x)是一个已知的函数。
这个方程的解可以通过特解和齐次解的线性组合得到。
4.指数衰减方程指数衰减方程是一种特殊的微分方程，具有形式为：dy/dx = -ky。
其中k是一个正常数，代表衰减速率。
它的解可以表示为y = Ce^(-kx)，其中C是一个常数。
5.生长方程生长方程是描述物种或人口数量随时间变化的微分方程。
常见的生长方程包括：指数增长方程、logistic方程和Gompertz方程等。
这些方程可以通过多种方法求解，例如分离变量法、线性变换法等。
6.波动方程波动方程是描述波动现象的微分方程，具有形式为：∂^2u/∂t^2 =c^2 ∂^2u/∂x^2。
其中u是波动的振幅，t和x分别表示时间和空间坐标。
这个方程描述了波在空间和时间上的传播。
以上只是介绍了微分方程的一些基本类型和应用领域的几个例子，实际上微分方程的研究内容非常丰富。
在数学领域，还有很多著名的微分方程定理和解法，例如：皮卡定理、格林函数法、变分法等。
微分方程的研究不仅有助于理解自然规律和现象，也为科学和工程领域提供了重要的分析工具。
常微分方程的线性化方法
常微分方程的线性化方法一、引言常微分方程是数学中研究动力系统的重要工具。
在实际问题中，有些非线性常微分方程难以求得精确解，因此需要采用一些近似和简化的方法来解决。
本文将介绍常微分方程的线性化方法，包括一阶线性化、高阶线性化和齐次线性化。
二、一阶线性化在研究非线性常微分方程时，可以通过线性化方法来近似求解。
一阶线性化方法是指将非线性方程在某一点附近进行线性化处理，得到近似的线性常微分方程。
其基本思想是利用泰勒展开将非线性项进行线性逼近，然后求解线性方程。
三、高阶线性化除了一阶线性化方法外，还可以使用高阶线性化方法来求解非线性常微分方程。
高阶线性化方法的基本原理是通过进行多次线性化逼近，以提高线性化的精度。
一般而言，越高阶的线性化方法，得到的近似解越精确。
然而，高阶线性化方法在复杂的系统中计算量较大，因此需要权衡计算成本和精度的平衡。
四、齐次线性化齐次线性化是一种处理非线性常微分方程的有效方法。
它基于齐次方程的特性，通过对方程进行相应的变换，将其转化为齐次线性方程。
这样一来，可以采用线性微分方程的解法，得到原方程的近似解。
五、举例说明以常见的经典非线性常微分方程为例，我们可以通过线性化方法来解析求解。
例如，考虑一个简单的非线性方程 dy/dt = t^2*y，我们可以将其进行一阶线性化处理，得到近似的线性常微分方程 dy/dt = t*y。
然后，我们可以求解该线性方程，进一步得到原方程的近似解。
六、总结常微分方程的线性化方法是一种处理非线性方程的重要工具。
通过线性化近似，可以得到非线性方程的近似解，从而解决实际问题中的困难。
一阶线性化、高阶线性化和齐次线性化是常用的线性化方法。
然而，在使用线性化方法时，需要注意线性化误差的影响，以及计算成本和精度的平衡。
以上就是关于常微分方程的线性化方法的简要介绍。
通过线性化方法，我们可以更好地理解和解决非线性常微分方程，为实际问题的建模和分析提供有效的工具。
希望本文能对读者有所帮助。
数学常微分方程的定解问题求解
数学常微分方程的定解问题求解数学常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它涉及到许多实际问题的建模与求解。
在解常微分方程的过程中，我们常常遇到定解问题，即在给定初始条件和边界条件下，求解出满足条件的函数解。
本文将探讨常微分方程的定解问题求解方法及其应用。
一、常微分方程的定义和分类常微分方程是指未知函数的导数与它本身之间的关系式。
一般形式为：其中 x 是自变量， y 是未知函数， f 是已知函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程涉及到未知函数 y 的一阶导数，高阶常微分方程涉及到多阶导数。
二、常微分方程的定解问题常微分方程的定解问题是指在给定初始条件和边界条件下，求解出函数 y 满足方程，并满足给定条件。
常微分方程的初值问题是其中一种常见的定解问题，给定初始条件 y(x0) = y0 和导数条件 y'(x0) = y'0，求解出满足条件的函数 y。
三、常微分方程的求解方法常微分方程的求解方法有很多种，常见的方法有分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法、常数变易法等。
1. 分离变量法对于可分离变量的一阶常微分方程，变量可以通过代数方法分离，然后分别求解。
例如对于方程 dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将 f(x) 和 g(y) 分别移到方程的两边，然后对两边分别积分得到解。
2. 齐次方程法对于一阶齐次方程 dy/dx = f(y/x)，我们可以通过变量替换得到一个新的常微分方程 u' = f(u)-1/u，并且可以通过变量分离法等方法进一步求解。
3. 一阶线性方程法对于一阶线性方程 dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以通过积分因子的方法将其转化为可解的形式。
通过选择适当的积分因子，可以将原方程变换为(e^∫P(x)dx)y' + (e^∫P(x)dx)P(x)y = (e^∫P(x)dx)Q(x)，然后可以通过变量分离法等方法求解。
微分方程基本分类
微分方程基本分类微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
微分方程可以描述变量之间的关系，通过研究微分方程的分类和求解方法，我们能够深入理解各种自然现象和工程问题，为实际应用提供有力的支撑。
本文将介绍微分方程的基本分类，包括常微分方程和偏微分方程两大类。
一、常微分方程常微分方程是指只涉及一个独立变量和其导数的微分方程。
常微分方程常用于描述一维系统的动力学行为。
根据方程中的变量类型和阶数，常微分方程又可分为以下几类。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为一阶的微分方程。
常见的一阶常微分方程有线性微分方程、分离变量型微分方程和恰当微分方程等。
线性微分方程可以表示为dy/dx+f(x)y=g(x)，其中f(x)和g(x)是已知函数。
分离变量型微分方程可以表示为dy/dx=f(x)g(y)，通过将dy/g(y)=f(x)dx两边积分来求解。
恰当微分方程可以化为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数是否相等来确定是否是恰当微分方程。
2. 二阶常微分方程二阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为二阶的微分方程。
常见的二阶常微分方程有线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程和常系数高阶线性微分方程等。
线性齐次微分方程可以表示为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
线性齐次微分方程的求解可以通过特征方程和特解的叠加原理来实现。
线性非齐次微分方程是在线性齐次微分方程的基础上添加了一个非齐次项，求解时需要先求出齐次解，再找到一个特解来满足方程。
常系数高阶线性微分方程是指方程中的系数是常数，可以通过特征方程的根的性质来求解。
二、偏微分方程偏微分方程是指涉及多个独立变量和它们的偏导数的微分方程。
偏微分方程常用于描述多维系统的动力学行为，应用广泛且复杂。
根据方程中的变量类型和方程性质，偏微分方程可分为以下几类。
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支，用于描述变量之间的关系以及其之间的变化规律。
其在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
下面将介绍微分方程的全部知识点。
一、基本概念和分类：1. 微分方程的定义和形式。
2. 微分方程的阶数和线性性。
3. 独立变量和因变量的概念。
4. 常微分方程和偏微分方程的区别。
二、常微分方程：1. 一阶常微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、一阶伯努利方程、可化为可分离变量的方程。
2. 高阶常微分方程的解法：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、二阶常系数齐次方程的特征方程、二阶线性非齐次方程的特解法。
3. 微分方程的解的存在唯一性定理。
4. 常微分方程的初值问题和边值问题。
三、偏微分方程：1. 常见的偏微分方程类型：椭圆型、抛物型、双曲型方程。
2. 二阶线性偏微分方程的分类和通解求法。
3. 常用偏微分方程的具体应用：热传导方程、波动方程、扩散方程等。
四、数值解法：1. 欧拉法和改进的欧拉法。
2. 龙格-库塔法。
3. 有限差分法和有限元法。
五、应用领域：微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有广泛的应用。
例如：1. 牛顿运动定律中的微分方程。
2. 电路中的微分方程。
3. 生物种群数量变化的微分方程。
4. 经济增长模型中的微分方程。
总结：微分方程是数学中一个重要的分支，主要包括基本概念和分类、常微分方程、偏微分方程、数值解法以及应用领域等知识点。
掌握微分方程的解法和应用，对于理解自然和社会现象的规律具有重要作用。
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
常微分方程的基本类型
常微分方程的基本类型常微分方程是研究物理、化学、生物、经济等领域中的变化规律与关系的一种数学工具。
它的研究对象是某些变量（例如时间、物体位置、人口数量）随着自变量的变化而变化的情况。
常微分方程可以提供不同领域所需要的模型和预测，因此它是非常重要的数学分支。
在研究常微分方程时，需要首先确定它的类型。
根据方程的形式和特点，常微分方程可以分为多种类型，其中比较基本的有以下几种。
一、一阶常微分方程一阶常微分方程是指一个未知函数y关于自变量x的导数y'，与y本身及x的关系式。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dx=f(x)，其中f(x)是x的函数。
特别地，对于一阶线性常微分方程dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是x的函数，可以通过变量分离的方法求解，得到y=(C+∫q(x)e^(-∫p(x)dx)dx)e^(∫p(x)dx)。
其中C是任意常数。
二、二阶常微分方程二阶常微分方程是指未知函数y的二阶导数y''，与y本身、一阶导数y'以及自变量x的关系式。
二阶常微分方程的一般形式为y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，其中p(x)、q(x)和f(x)都是x的函数。
特别地，对于二阶齐次常微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0，其中p(x)、q(x)是x的函数，可以通过特征根的方法求解，得到y=C1e^(m1x)+C2e^(m2x)。
其中m1和m2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的两个特征根，C1和C2是待定常数。
三、高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数y的高阶导数，与y本身、低阶导数以及自变量x的关系式。
高阶常微分方程的一般形式为y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an-1y'+an=0，其中a1、a2、...、an 都是常数。
特别地，对于高阶齐次常微分方程y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an-1y'+an=0，可以通过特征根的方法求解，得到y=C1e^(m1x)+C2e^(m2x)+...+Cne^(mnx)。
常系数齐次线性微分方程组
dx (t ) du (t ) dv (t ) i A(t ) u (t ) iv (t ) dt dt dt A(t )u (t ) iA(t )v (t )
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
常系数线性方程组
所以有
du (t ) dv (t ) A(t )u (t ), A(t )v (t ) dt dt 即 u (t ) 和 v (t ) 是方程组（2）的解.
X (t ) X (t ) X 1 (0)
常系数线性方程组
1 0 0 3 3 t e cos 2t sin 2t cos 2t sin 2t . 2 2 3 1 sin 2t cos 2t sin 2t cos 2t 2
0
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关 的特征向量。
常系数线性方程组
5 28 18 dx x 的通解. 1 5 3 例1 求方程组 dt 3 16 10
解 系数矩阵A的特征方程为
det( E A) 3 (1 2 ) 0
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t ), dt
（ 1）
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t )在 a t b上连续的向量函数;
若f (t ) 0, 则对应齐线性微分方程组为
dx Ax (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
t
3e 0 et
t
故通解为
2 2et x (t ) (t )C 1 et 1 2et
常微分方程2
作变换 u y ,化为可分离变量型。 x
2、可化为齐次方程
当a1 b1 时，作变换 ab
y f ax by c a1 x b1 y c1
x y
X Y
h k
,
其中h,
k满
足aa1hhbb1kk
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C
.
例3
求解微分方程
y
2x3 3x2
3 xy2 y 2y3
7x 8y
.
解
ydy xdx
2x2 3x2
3 2
y2 y2
7 8
,
d( d(
y2 x2
) )
2x2 3x2
dx y3 x , dy y
即 dx 1 x y2, dy y
x
e
1 y
dy
y2
e
1 dy
y dy
C
y
y2
1 y
dy
C
y3 2
Cy
四、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
一阶线性微分方程的解法： 1. 一阶线性齐次微分方程 (使用分离变量法)
常微分方程的基本解法
常微分方程的基本解法常微分方程是数学中的重要分支，用来描述未知函数的导数和自变量之间的关系。
解常微分方程是求解未知函数满足方程的问题，它在物理、工程、经济等领域有广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本解法。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。
对于形如dy/dx =f(x)g(y)的方程，可以将其转化为f(y)dy = g(x)dx的形式，然后分别对两边进行积分，解出y的表达式。
此方法适用于可分离变量的方程，但只能得到一般解，无法得到特解。
二、常数变易法常数变易法适用于一阶线性常微分方程，形如dy/dx + P(x)y = Q(x)。
首先求出齐次方程的通解y0(x)，然后假设原方程的解为y(x) =u(x)y0(x)，代入原方程中，通过解得到的u(x)函数，再与y0(x)相乘，得到原方程的特解。
三、齐次线性微分方程解法齐次线性微分方程的形式为dy/dx + P(x)y = 0。
对于这类方程，可以通过变量替换法将其转化为分离变量的方程。
令y = vx，代入方程得到v + x(dv/dx) + Pvx = 0，化简后可得到dv/v = -P(x)dx。
对两边同时积分，解出v的表达式，再将v = y/x代入，得到y的表达式。
四、一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的标准形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。
对于这类方程，可以通过积分因子法来求解。
首先求出积分因子μ(x) =exp[∫P(x)dx]，然后将原方程两边同时乘以μ(x)，得到μ(x)dy/dx +μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
将左边整理成d(μ(x)y)/dx形式，再对两边同时积分，解出μ(x)y的表达式。
五、二阶线性常微分方程的解法对于形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的二阶线性常微分方程，可以通过特征方程的求解来得到一般解。
首先解出特征方程r² + P(x)r + Q(x) = 0的根r1和r2，然后根据r1和r2的情况，分别求解出对应的一般解形式。
常微分方程的基本概念与解法
常微分方程的基本概念与解法常微分方程是数学中的一门重要分支，用于描述自然界中的各种变化规律。
本文将介绍常微分方程的基本概念和常见的解法。
一、常微分方程的概念常微分方程是关于未知函数的导数和自变量之间的关系式，其中自变量通常表示时间。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两种。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只涉及到一阶导数的方程。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dx = f(x, y)，也可以写成f(x, y)dx - dy = 0。
其中f(x, y)是已知函数，x是自变量，y是未知函数。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数的导数涉及到高阶导数的方程。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, d^2 y/dx^2, ..., d^(n-1) y/dx^(n-1))，其中n为正整数，f是已知函数，x是自变量，y是未知函数。
二、常微分方程的解法解常微分方程的方法多种多样，根据方程的类型和特点选择不同的解法。
1. 可分离变量法当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时，可以使用可分离变量法解方程。
这种方法的关键是将变量分离，即将含有y的项移到方程的一边，含有x的项移到方程的另一边，然后分别积分得到x和y的表达式。
2. 线性常微分方程的求解线性常微分方程是指方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。
对于线性常微分方程，可以使用积分因子法求解。
首先找到一个函数u(x)，使得dy/dx + P(x)y = Q(x)乘以u(x)后变为全导数，则原方程可以写成d(uy)/dx = Q(x)u(x)的形式。
然后对等式两边进行积分并解得y的表达式。
3. 齐次线性常微分方程的求解齐次线性常微分方程是指方程可以写成dy/dx = f(y/x)的形式。
第二节 一阶微分方程
Q( x ) 1 x 2
ye
1 x
2x
dx 2
[ (1 x )e
1 x 2 dx
2x
dx C ]
e
ln( 1 x 2 )
[ (1 x )e
2
ln( 1 x 2 )
dx C ]
1 (1 x )[ (1 x ) dx C ] 2 1 x
2
练习 求微分方程 xy y(1 ln y ln x ) 的通解 dy y y 解 原方程化为 (1 ln ) dx x x dy du y 令u , y xu, 则 u x , dx dx x
du 代入上式, 得u x u(1 ln u) dx
2
(1 y 满足条件 y( ) 1的特解 . x x
解 (用常数变易法)
dy dx 1 先求y y 0的解, 分 离 变 量 ： , y x x C
y 两边积分：y ln x lnC 得 通 解 ： ln
齐次方程的通解为
y Ce
P ( x ) dx
.
dy P( x) y 0 dx
y Ce
P ( x ) dx
dy (si nx ) y 0 的通解 例1 求微分方程 dx
解 由原方程，知 P( x ) sinx 代入通解公式，
y Ce
P ( x ) dx
sinu Cx ,
y 代回原变量得方程的解为 sin ln x C . x
dy y2 例2 求微分方程 的通解. 2 dx xy x
y dy x y , 令u , y xu, 解 原方程化为 dx y x 1 x dy du du u2 则 u x , 代入上式, 得u x , dx dx dx u 1 u1 dx du 两边积分，得 u x u ln u ln x ln C1 , C1 ux e u . y 1 y 用u 代入， y Ce x (C ) 为所求通解. 得 C1 x
微分方程的基本概念和解法技巧
微分方程的基本概念和解法技巧微分方程是数学中重要的一种方程，它涉及到函数与它的导数之间的关系。
在物理学、工程学、经济学等领域中，微分方程广泛应用于描述各种变化和运动的规律。
了解微分方程的基本概念和解法技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些常见的解法技巧。
一、微分方程的基本概念1. 定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为 F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中 y 是未知函数。
2. 阶数：微分方程的阶数是指该方程中导数的最高阶数。
常见的阶数有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 解：微分方程的解是满足方程的函数。
一般来说，一个微分方程可以有无穷多个解。
4. 初值问题：初值问题是求解微分方程时给定一个或多个初始条件，根据这些条件确定方程的解。
初值问题通常涉及到一个点上的初始状态。
5. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程只涉及到一个自变量，而偏微分方程则涉及到多个自变量。
常微分方程的解是一类函数，而偏微分方程的解是一个函数族。
二、微分方程的解法技巧1. 变量可分离法：适用于可以将微分方程的变量分离开的情况。
通过将方程两边同时乘以不同变量的函数，使得方程可以变为两个积分的形式，从而得到解。
2. 齐次方程法：适用于可以通过变量代换将微分方程化为齐次方程的情况。
齐次方程中的未知函数可以表示为一个比值函数，通过变量代换后，方程可以化为一个仅依赖于一个变量的方程，从而得到解。
3. 一阶线性常微分方程：适用于形如 y' + p(x)y = q(x) 的一阶线性常微分方程。
通过乘以一个适当的积分因子将方程化为可积形式，然后求解积分得到方程的解。
4. 常系数线性微分方程：适用于形如 y⁽ⁿ⁾ + aₙy⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁y' + a₀y =g(x) 的常系数线性微分方程。
通过猜测形式，得到特解和齐次方程的通解，从而得到方程的通解。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。
其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。
在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。
这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。
这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。
举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。
二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。
对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。
因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。
一阶常微分方程
一阶常微分方程微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
其中，一阶常微分方程是最简单的微分方程形式之一。
本文将介绍一阶常微分方程的定义、解法和应用。
一、定义一阶常微分方程是指未知函数的导数与自变量的函数关系式，通常表示为dy/dx=f(x)，其中dy/dx表示函数y关于自变量x的导数，f(x)表示已知的函数。
二、解法解一阶常微分方程的方法有多种，常用的包括分离变量法、齐次法和一阶线性微分方程解法等。
1. 分离变量法分离变量法是解一阶常微分方程的基本方法之一。
首先将方程分离成形如dy/g(y)=dx/f(x)的形式，然后进行变量分离和积分，得到y的解析解。
2. 齐次法齐次法适用于形如dy/dx=f(y/x)的齐次方程。
通过引入新变量u=y/x，将一阶常微分方程化为一阶可分离变量方程，然后再进行变量分离和积分。
3. 一阶线性微分方程解法一阶线性微分方程是指形如dy/dx+a(x)y=b(x)的方程。
通过利用一阶线性微分方程的特点，可以使用积分因子或者直接应用公式求解。
三、应用一阶常微分方程在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。
1. 物理学中的应用一阶常微分方程在描述物理过程中的变化规律上起到了重要的作用。
例如，在力学中，牛顿第二定律可以通过一阶常微分方程进行描述；在电路中，RC电路的电压衰减也可以用一阶常微分方程来模拟。
2. 生态学中的应用生态系统中的各种现象和变化过程也可以通过一阶常微分方程进行描述和预测。
例如，物种的数量随时间的变化、种群的增长与环境的关系等，都可以通过一阶常微分方程来建模和分析。
3. 经济学中的应用经济学中的市场供需关系、物价变化等经济现象都可以通过一阶常微分方程进行建模。
通过对这些微分方程的求解，可以预测经济的发展趋势和进行经济政策的研究与决策。
总结一阶常微分方程作为微分方程中的基础概念，具有重要的理论和实际应用价值。
通过对一阶常微分方程的定义、解法和应用进行学习和掌握，可以更好地理解和应用微分方程，进一步推动科学技术的发展和应用。
常微分方程公式大全
常微分方程公式大全1、一阶微分方程：一阶微分方程是一类含自变量x与未知数y(x)及其一阶导函数y'(x)的方程，它可以表示为 F(x,y,y′)=0 。
如果可以解出y'，可表示为： dydx=f(x,y)2、一阶微分方程的其中一种解法--分离变量法：形如 dydx=M(x)·N(y) ：若N(y)≠0，我们可以化成（分离变量法）： 1N(y)dy=M(x)dx 然后两边同时积分：∫1N(y)dy=∫M(x)dx ，则得结果： F(y)=G(x)+C3、齐次方程：如果一阶微分方程可以化为如下形式： dydx=φ(yx) ，则称此类方程为齐次方程。
4、齐次方程一般解法：引出新的位置变量函数 u=yx ，就可以把它化成可以分离变量的方程！（1）由u=yx得到 y=ux（2）两边取x的微分得到 dydx=xdudx+u ，并代入dydx=φ(yx)（3）得到 u+xdudx=φ(u) 再换一下位置 duφ(u)−u=dxx（4）两边积分，得到∫duφ(u)−u=∫dxx（5）设Φ(u) 是 1φ(u)−u 的一个原函数，则得通解：Φ(u)=ln|x|+C ，再把 u=yx 代回这个式子，就得到齐次方程的通解。
5、一些可以转化成一阶齐次微分方程的一阶微分方程：形如 dydx=ax+by+ca1x+b1y+c1 ，其中 aa1≠bb1 （原因是只有这样才可以解出h和k）当c=c1=0时，方程是齐次的，否则是不齐次的。
在非齐次型的情况下，可用以下步骤解：（1）作代换 x=X+h ； y=Y+k 。
（2）求常数h和k：因为dx=dX；dy=dY。
所以方程代换后变成：dYdX=aX+bY+(ah+bk+c)a1X+b1Y+(a1h+b1k+c1) ，因为要使得方程是齐次，所以令后面的常数项为0，即 ah+bk+c=0 以及 a1h+b1k+c1=0联立这两个方程就可以解出h和k。
（3）求 dYdX=aX+bYa1X+b1Y 的通解后，把x-h代X，y-k 代Y，就得到原方程的通解。
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dx ( x / y 1)2e x / y ， x/ y dy 1 2e dx du y u, dy dy
分离变量并积分得
1 2e u dy d ( u 2e u ) dy u 2e u du y u 2e u y ln(u 2e u ) ln y lnC u x / y x C C x/ y u 2e u 2e y y y
代回原方程, 得齐次方程的解 y u0 x.
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
解微分方程
例2
例 3 求解微分方程 dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
例 ４ 求方程
dy y y tan 的通解。 dx x x
du u 4 2u du u 4 2u x u x - u， 3 3 dx 2u 1 dx 2u 1 1 2u 3 dx du u 4 u ln x , 4 du x 3 u u x dx 1 2u 1 2u 3 1 u 3 u 3 2u 3 u4 u du u4 u du, 1 u3 3u3 1 3u3 du ( 4 )du, 4 u u u u u 1 3u 2 ( 3 )du lnu ln(u3 1) lnC , u u 1
h k 1Байду номын сангаас 0 方程组 h 1, k 2, h k 3 0,
令 x X 1, y Y 2.
dY X Y , dX X Y
代入原方程得
Y 令u ， X
方程变为
du 1 u u X , dX 1 u
分离变量法得
X 2 (u2 2u 1) c,
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0,
dx cos udu , x
微分方程的解为
sin u ln x C ,
y sin ln x C . x
例2. 解微分方程
dy y y 2 解: 方程变形为 dx x x
dy y 4 2 yx3 ， 解：原方程可化为 3 4 dx 2 xy x
右端分子分母同除以 x 4得
dy ( y / x )4 2( y / x ) ， 3 dx 2( y / x ) 1
y 令u ，则y xu , dy x du u, x dx dx
du u 4 2u 代入原方程得 x u ， 3 dx 2u 1
u 2 tan(2 x C ) , (C 2C1 )
而u 4 x y 1, 故原方程通解为
4 x y 1 2 tan(2 x C ) .
2 2 2 2 求 ( 2 x 3 y 7 ) x d x ( 3 x 2 y 8) y d y 0 的通解。 例９
dy 2 求方程 ( 4 x y 1 ) 的通解。 例８ dx
例９ 求 (2 x 3 y 7) x d x (3x 2 y 8) y d y 0
2 2 2 2
的通解。
dy x y 1 例7 求 的通解. dx x y 3
解
1 1 2 0, 1 1
所以通解为 ln x lnu ln(u3 1) lnC , Cu . 即 x 3 u 1
将u y / x代入并整理得 x 3 y 3 Cxy.
例6
x 求方程 (1 2e )dx 2e (1 )dy 0, y 满足y x0 1 的特解。
原方程可化为
x y
x y
解
dx ( x / y 1)2e x / y ， x/ y dy 1 2e
dx du x y u, 代入上述方程得 令u ，则x yu, dy dy y
即
du ( u 1)2e u y u ， u dy 1 2e du (u 2e u ) y ， u dy 1 2e
y
由光的反射定律:
可得
入射角 = 反射角
M
T
OMA = OAM =
y
A O P
x
从而
于是方程化为
y AP OP y cot x x y 2 2 OM x y y 2 2 于是得微分方程 : x y x y
而 AO
AO = OM
(齐次方程)
当 f (u) u 0时, 得
即 x Ce
( u )
du ln C1 x , f ( u) u
,
（ ( u )
du ） f ( u) u
y ( ) y 得通解 x Ce x , 将 u 代入, x 当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解 ,
例 ５ 求方程 ( y 4 -2 x 3 y)dx ( x 4 2 xy3 )dy 0 的通解。
x y x y
x 例 ６ 求方程 (1 2e )dx 2e (1 )dy 0, y 满足y x0 1 的特解。
例 1 求解微分方程
解
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x y 令u ， 则 dy xdu udx， x
一 阶 微 分 方 程
8.2.2 齐次方程
基本形式
8.2.3 一阶线性微分方程
一阶齐次线性方程的解法 一阶非齐次线性方程的解法 习例10-13 应用思考题
模型1 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由
xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性 能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线， 经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程. 解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设
2
,
y 令u , x
2 则有 u x u 2 u u du dx 1 1 dx 即 d u 分离变量 2 x u u u 1 u x x ( u 1) u 1 即 C 积分得 ln ln x ln C , u u 代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但 在 求解过程中丢失了.
dx dy 2 . 例 3 求解微分方程 2 2 x xy y 2 y xy
y y 2 2 dy 2 y xy x x , 2 2 2 y y dx x xy y 1 x x y 令u , 则 dy xdu udx, x
dv y 1 v 2 dy
x 令v , y
dx dv v y dy dy
积分得 故有
故反射镜面为旋转抛物面.
ln ( v 1 v 2 ) ln y ln C 2 y 2y v y 2 2 1 ( v ) 1 v 2 C C C 得 y 2 2 C ( x C ) (抛物线) 2
3 2
微分方程的解为 ( y x )2 Cy( y 2 x )3 .
dy y y 例 4 求方程 d x x tan x 的通解。
解：
令 u
y dy du ，则 u x ， x dx dx
du dx ， 于是，原方程化为 tanu x
du dx 两边积分，得 tanu x ，
2
解
2u 2 u u xu , 2 1 u u
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
3 1 ln(u 1) ln(u 2) ln u ln x ln C , 2 2 u1 Cx. u ( u 2)
即 Y 2 2 XY X 2 C ,
将 X x 1,Y y 2 代回，
得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C , 或 x 2 xy y 2 x 6 y C1 .
2 2
dy 例８ 求方程 ( 4 x y 1) 2的通解。 dx 解 令u 4 x y 1, 则u 4 y, y u 4, du 2 原方程可化为 u 4 u , 即 4 u2 . dx 分离变量并积分得 du 1 u dx u2 4 2 arctan 2 x C1
dY aX bY f( ) dX a1 X b1Y
( 2) 0,
得通解代回
X x h, Y y k，
未必有解, 上述方法不能用.
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
若 b 0,
可分离变量的微分方程. dy 1 dz 若 b 0, a1 0, 令 z ax by , ( a ), dx b dx 1 dz zc ( a) f ( ) 可分离变量的微分方程 . b dx c1 a1 b1 当b1 0时, 令 , a b
高等数学A
第8章 常微分方程
8.2 一阶微分方程
8.2.2 齐次方程 8.2.3 一阶线性微分方程
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
8.2
一阶微分方程
模型1 齐次方程 基本形式和求解方法 习例1-6 可化为齐次方程的方程 模型2 基本形式和解法 习例7-9
8.2.1可分离变量的方程（复习上次课的相关内容）
dy ax by c 方程可化为 f ( ), dx (ax by ) c1
令 z ax by,