newton-cotes求积公式

f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt

f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)


1 x2
1
ex
f
( x)

(
2 x3

1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1

(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx

2
1 (e

1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
科茨公式
b
ba
f (x)dx a
90
[7 f (x0) 32 f (x1) 12 f (x2) 32 f (x3) 7 f (x4)]
0
其中 (a th) (a,b) 。
设 (a th) 在 0 t 1 上连续。 由于 f ( (a th)) 在 0 t 1 上连续以及 t(t-1)在区间(0,1)内不变号， 故根据积分中值定理，必存在 ~t [0,1] 使得下式成立
1
f ( )t(t 1)dt
⑦
其中
xk
ak
ba 4
(k 0,1, 2,3, 4)
这个公式称为科茨（Cotes）公式。
下面，我们给出梯形公式，辛普森公
式和科茨公式的截断误差（余项）和它们
的代数精度的几个结论。
定理3 若 f ''(x) 在[a , b]上连续，则梯形公式⑤
的余项为
R1


(b
a)3 12
f (1),
为
Ak
h
n t(t 1)L
0
(t k 1)(t k 1)L k !(1)nk (n k )!
(t n) dt
若记
C (n) k

(1)nk n k !(n k)!
n
t(t 1)L
0
(t k 1)(t k 1)L
(t n)dt
③
则 Ak (b a)Ck (n) 于是得相应的插值型数值积分公式
C (2) 1


1 2
2
t(t

2)dt

4
0
6
C (2) 2

1 4
2 (t 1)(t 2)dt 1
0
6
相应的牛顿-科茨公式为
b
ba
ab
a f (x)dx
[ f (a) 4 f ( ) f (b)]
6
2
⑥
这个公式称为辛普森（Simpson）公式。
辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的 抛物线 y L2(x) 代替y= f(x)所得曲边梯形的面积。
1 (a,b)
若 f (4)(x) 在[a,b]上连续，则辛普森公式⑥
的余项为
R2


1 90
(b
a)5 2
f
(4) (2 ),
2 (a,b)
若 f (6) (x) 在[a,b]上连续，则科茨公式⑦
的余项为
R4


8 945
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
证 1、因 f ''(x) 在[a , b]上连续，
由Newton-Cotes求积公式的截断误差
Rn

hn2 (n 1)!
n 0
f
(n1) ( )[
n j0
(t
j)]dt
请推到此式
且 n=1，h=b-a 得到梯形公式的截断误差
(b a)3
R1 2!
1
f ( )t(t 1)dt
§3 Newton-Cotes求积公式 将积分区间的等分点作为求积节点， 构造出来的求积公式称为牛顿-科茨 （Newton-Cotes）公式。 1、牛顿-科茨公式 将积分区间[a，b]等分，取分点
xk a kh (h (b a) / n;k 0,1,L ,n)
作为求积节点，并作变量替换
8
8
8
8
47
16
2 16
7
90 45 15 45
5 19
25
25
25
288 96 144 144
6 41
9
9
34
90
25 19
96 288
9
9
41
840 35 280 105 280 35 840
例如，当 n=4时，有
b
ba
f (x)dx
a
90
[7 f (x0) 32 f (x1) 12 f (x2) 32 f (x3) 7 f (x4)]
其中
ba xk a k 4
(k 0,1, 2,3, 4)
例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式
21
计算积分 1 e x dx 的近似值，并估计截断误差。
解：用梯形公式计算，得
2 1 e x dx

2

1
(e

e
1 2
)

2.1835
1
2
1
f (x) e x ,
f
( x)
如图所示
y
y
f (x) C
y L2 (x) B
A
0a
ab 2
bx
为了便于应用，我们把部分科茨系数
列在下表中。利用这张科茨系数表，可以
很快写出各种牛顿—科茨公式。
n
C C C C (n) 0
(n) 1
C (n)
(n)
2
3
C C (n)
4
(n) 5
(n) 6
11
1
2
2
21
4
1
6
6
6
31
3
3
1
例如，当 n=1时，有
C (1) 0

1
(t 1)dt
0

1 2
,
C (1) 1

1
1
tdt
0
2
相应的牛顿—科茨公式为
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
⑤
这就是前面提到的梯形公式。
当 n=2时，有
C (2) 0

2
t(t
1)dt
106 Nhomakorabea(x)dx

ba 90
[7
f
(x0 )

32
f
(x1)
12
f
( x2 )

32
f
( x3 )

7
f
( x4 )]
截断误差为
R4


8 945
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
可以看出，辛普森公式具有五次代数精度。
定理4 梯形公式⑤的代数精度为1； 辛普森公式⑥的代数精度为3； 科茨公式⑦的代数精度为5。
可以看出，梯形公式具有一次代数精度。
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
截断误差为
R2


1 (b 90
a)5 2
f
(4) (2 ),
2 (a,b)
可以看出，辛普森公式具有三次代数精度。
科茨公式
b a
f

1
e2
)

2.0263
1
2
f
(4) (x)

1 ( x8

12 x7

36 x6

24 x5
)e
1 x
max f (4) (x) f (4) (1) 198.43
1 x2
截断误差估计为
R2

(2 1)5 2880
max
1 x 2
f (4) (x)
0.06890
x a th
那么插值型求积公式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
的求积系数
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 )L (x xk1)(x xk )L (x xn ) dx a (xk x0 )L (xk xk1)(xk xk1)L (xk xn )