newton-cotes求积公式
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牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
2
t(t
0
2)dt
2 3
C2
(1) 0 2 2!0!
2
t(t 1)dt
0
1 6
P130 表６-1给出了n从1～8的柯特斯系数。
当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从 而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。
数值计算方法
b
1dx 1
a
显然, Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数
f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬
如当n=1时
C0
1 1 0!1!
1
(t
0
1)dt
1 2
C1
1
tdt
1
0
2
当n=2时
C0
(1) 2 2 0!2!
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
k!(n k)!hn 0
(b a) (1)nk
nn
( (t i))dt
nk!(n k)! 0 i0
ik
引进记号
Ck
(1) nk nk!(n k )!
nn
(
0 i0
(t i))dt
ik
( k=0,1…,n )
则
Ak (b a)Ck ( k=0,1…,n )
代入插值求积公式(6.4)有
这里 lk (x) 是插值基函数。即有
Ak
b
a lk (x)dx
bn a
i0
x xi dx xk xi
ik
将积分区间[a,b] 划分为n等分, 步长 h b a
n
求积节点为 xk a kh(k 由于 xk xi (k i)h , 所以
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
Chapter6_1_Newton-Cotes公式
插值型求积公式
在积分区间[a,b] 上取n+1个节点xi，i=0,1, 2,…,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗
日插值公式）: n
Ln (x) l j (x) f (x j )
j0
则有
f (x) Ln (x) Rn (x)
于是有
R(x)
f (n1) ( )
(n 1)! wn1 (x)
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L 48 1 ( f ' (x)) 2 dx 48 1 (cos x)2 dx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法
来计算.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函 数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计 算极不方便.例如函数
n
C (n) j
1
j0
Newton-Cotes公式的误差为:
b f (n1) ( )
R( f ) a
(n 1)! wn1(x)dx
hn2 (n 1)!
n 0
f
(
n j0
(t
j)dt
(9)
, (a,b)
与x有关
• 定理2 当阶数n为偶数时, Newton-Cotes 公式(8)至少具有n+1次代数精度.
n n
0
(t k0,k j
k )dt
(6)
则
Aj
(b
a)C
( j
n)
,
j 0,1,2,, n
(7)
求积公式(4)变为
b a
f (x)dx (b a)
牛顿科特斯求积公式
a
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
b
n
a Ln( x)dx (b a)
Ck(n) f ( xk )
k0
Newton-Cotes求积公式
Cotes系数性质
计算方法
(1)
Ck( n)
C (n) nk
(对
称
性)
n
(2)
C (n) k
1
k0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
B 3C 8
B 9C 64 3
解得：
A 4, B 4,
9
3
所求公式为：
C 20 9
计算方法
4
0
f
( x)dx
14
9
f
(0)
12
f
(1)
20
f
(3)
计算方法
例3：试确定一个具有三次代数精度的求积公式
3
0 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) A2 f (2) A3 f (3)
二 插值型求积公式
计算方法
基本思想：用插值函数的积分，作为数值积分 （取拉格朗日插值函数）
b
f ( x)dx
a
b
a LN ( x)dx
bN a
li (x) f ( xi )dx
i0
N i0
b a
li
(
x
)dx
f
(
xi
)
即：求积系数
Ai
b
Ai a li ( x)dx
能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的
Newton-Cotes求积公式
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
第1节 Cotes型求积公式
ik
n
0
f ( n1) ( )t (t 1)( t 2)(t n)dt
Ak yk Rn [ f ]
k 0
n
从而得到Newton-Cotes型求积公式：
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
b a ( 1)n k n n Ak 0 (t i )dt n k! ( n k )! i 0
a a
b
b
(
b a k 0 i 0 ik
n
n
x xi ) yk dx xk xi
f ( n1) ( ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )dx a ( n 1)! ba 由变换： x a th, xi a ih xk a kh , h n
(a , b)
为了估计误差限，设
M 2 max f ( x )
a x b
则得到
R1 f
M2 (b a ) 3 12
二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
则由
n
Π
i= 0 i¹ k
n n ti x - xi (a th) (a ih) ki xk - xi ii 0 (a kh) (a ih) ii 0 k k
xi=a+ih, xk=a+kh
得到
i 0 ik
n
n n x xi (a th) (a ih) t i xk xi i 0 (a kh) (a ih) i 0 k i i k ik
数值分析 -牛顿-科特斯公式
故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。
当 n 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。
牛顿-科特斯公式的代数精度
定理 当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1
阶代数精度。
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。
由插值型求积公式的误差公式得
R[ f ]
h
[f 4
(xk ) 2 f
( xk 1/ 2 )
f ( xk 1)]
1 梯形法的递推化
注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。 将每个子区间上的积分值相加得
n1
n1
T
h 4
[
f
(xk )
f
(xk1)]
h 2
f
(
xk
1 2
)
k 0
k 0
从而可导出下列递推公式
+
i
h，h
b
n
a
，i = 1, 2, …,
b
b
Ai a li (x)dx a
ji
x x j dx xi x j
n
0 ji
t j hdt i j
(b a)(1)ni n (t j)dt
n i!(n i)!
0 i j
2 3
,
C (2) 2
1 6
b a
f ( x)dx
b
6
a[
f
(a) 4 f
(
ab 2
)
f
(b)]
n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式
ch02b 牛顿-柯特斯公式
b
b
f ( n1) ( ) ( n 1)!
( x x ) dx
i 0 i
n
左矩形公式
左矩形公式余项
RGa ( f )
b
a
( b a )2 f ( x )dx (b a ) f (a ) f ( ) 2
证明：设f '(x)在[a,b]上连续，
而 x-a 在[a,b]上不变号（非负），由积分中值定理知 b b ( b a )2 RGa ( f ) f '( )( x a )dx f '( ) ( x a )dx f '( ) a a 2 b 于是有 a f ( x )dx (b a ) f (a ) 右式为左矩形公式，余项为
偶数积分中值定理而xa在ab上不变号非负由积分中值定理知左矩形公式余项梯形公式simpson公式余项证明
第二章
数值积分
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
及其复化求积公式
牛顿-柯特斯公式
插值型求积公式 n b b f ( x )dx i f ( xi )其中 i a li ( x)dx
S4 1 f ( x0 ) 4 f ( x1) f ( x3 ) f ( x5 ) f ( x7 ) 24 2 f ( x2 ) f ( x4 ) f ( x6 ) f ( x8 ) 0.9460832
R[ f ]
a
( n 1)!
n
( x x ) dx ( x x ) dx
b
n
i 0
i
a
i 0
i
作变量代换 x = a + t h ，并将 xi = a + i h 代入得 n
b
f ( n1) ( ) ( n 1)!
( x x ) dx
i 0 i
n
左矩形公式
左矩形公式余项
RGa ( f )
b
a
( b a )2 f ( x )dx (b a ) f (a ) f ( ) 2
证明：设f '(x)在[a,b]上连续，
而 x-a 在[a,b]上不变号（非负），由积分中值定理知 b b ( b a )2 RGa ( f ) f '( )( x a )dx f '( ) ( x a )dx f '( ) a a 2 b 于是有 a f ( x )dx (b a ) f (a ) 右式为左矩形公式，余项为
偶数积分中值定理而xa在ab上不变号非负由积分中值定理知左矩形公式余项梯形公式simpson公式余项证明
第二章
数值积分
牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
及其复化求积公式
牛顿-柯特斯公式
插值型求积公式 n b b f ( x )dx i f ( xi )其中 i a li ( x)dx
S4 1 f ( x0 ) 4 f ( x1) f ( x3 ) f ( x5 ) f ( x7 ) 24 2 f ( x2 ) f ( x4 ) f ( x6 ) f ( x8 ) 0.9460832
R[ f ]
a
( n 1)!
n
( x x ) dx ( x x ) dx
b
n
i 0
i
a
i 0
i
作变量代换 x = a + t h ，并将 xi = a + i h 代入得 n
牛顿-柯特斯求积公式
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例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精 度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.
Байду номын сангаас
I
2h
2 h
f ( x ) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等，得
A1 A0 A1 4h A1 ( h) A1h 0 A1 A1 0 2 16 2 2 3 A1 ( h) A1h (2h) A1 A1 h 3 3 8 4 解得 A1 A1 h, A0 h 3 3
1 f ( x) 4 1 x
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以上的 4种情况都不能用牛顿—莱布尼兹公 式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需 要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题； 另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也 相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算 问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的 方法。
ba 右 [1 1] b a, 2 当 f(x)=x时，
a
此时公式精确成立。
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对于求积公式
I f ( x ) d x Ak f ( x k ) I n
b a k 0
n
给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1,, xn-1, xn ,
令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得 A0 A1 An b a 2 2 b a A x A x A x 1 1 n n 0 0 2 n 1 n 1 b a n n n A x A x A x 0 0 1 1 n n n1 求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公 上页 式至少具有n 次代数精度.
newton-cotes计算积分近似值
newton-cotes计算积分近似值
Newton-Cotes求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
其基本思想是将积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为代表点，用该点的函数值乘以子区间的宽度，再将所有代表点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，最后将求和结果作为积分值的近似值。
具体来说，Newton-Cotes求积公式可以分为以下几种形式：
梯形公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的中点处取值并乘以相应的宽度h/2，将所有中点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
辛普森公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的左端点和右端点处取值并乘以相应的宽度h/3，将所有端点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
复合梯形公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用梯形公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
复合辛普森公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用辛普森公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
需要注意的是，Newton-Cotes求积公式的收敛性和误差估计取决于子区间的数目和选择的位置，因此在实际应用中需要选择适当的子区间数目和位置以提高近似值的精度。
此外，Newton-Cotes求积公式适用于被积函数在积分区间上连续的情况，如果被积函数在积分区间上不连续或者存在奇点，则可能需要采用其他数值积分方法进行处理。
数值分析英文版课件1
则有
B
Qn (
f
) Qn (
f
)
max 0kn
f ( xk )
f ( xk )
( x )dx
a
21
8.5.2 Gauss 型求积公式的稳定性与收 敛性（3）
关于Gauss 求积公式
b
(
a
x
)
f
(
x
)dx
n
k 0
Ak( n
)
f
(
xk( n
)
)
的收敛性有如下定理，上式中特别标出了求积系 数与节点和 n 有关。
2
8.5 Gauss 型求积公式（3）
对于给定的节点数目 n+1，适当调整其位置，是 否会提高求积公式的代数精度？
例8.5.1 对于求积公式
1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
1
试确定其节点 x0, x1 及求积系数 A0, A1，使其代 数精度尽可能高
22
8.5.2 Gauss 型求积公式的稳定性与收 敛性（4）
定理8.5.5
设 f C [a, b]
令 Qn ( f ) n Ak( n ) f ( xk( n ) ) k 0
则有
b
lim
n
Qn
(
f
)
( x ) f ( x )dx
a
23
今日课题
第八章 数值积分与数值微分
8.1 Newton-Cotes求积公式 8.2 复合求积公式 8.5Gauss型求积公式
那么相应的正交多项式为 Legendre多项式 Pn(x)
P0 ( x ) 1
Pn (
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
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k 0
求积系数
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牛顿-柯特斯公式
) f ( b )] (2.7)
( ),
[ a , b ].
证明：在[a, b]区间上构造三次多项式H(x)，让H(x) 满足插值 条 件（带导数插值）：
H ( a ) f ( a ), H ( ab 2 ) f( ab 2 ), H ( b ) f ( b ), H ( ab 2
i0 b n 1 x i 1
f ( x )d x [ f ( xi ) f ( xi 1 )] i0 2
n 1 i 1
n 1 h
h 2
[ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )].
记为
Tn [ f ( xi ) f ( xi 1 )] [ f ( a ) 2 f ( xi ) f ( b )]. 2 i0 2 i0
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
§2
牛顿—柯特斯公式
ba n
一、Newton-Cotes公式的导出
将求积区间 [ a , b ]做 n 等分，步长 h 上的插值型求积公式
b
a f ( x ) d x A k f k
b k 0
nБайду номын сангаас
A k a l k ( x )d x
b
, 在等距节点 x k a kh
n (n)
2 n 2
h
n n n n n
数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式
6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840
当n=1时，柯特斯系数为
C (1) 0
1
(t
0
1)dt
1 (t 2
1)2
1 0
1, 2
C (1) 1
1
tdt
1
t2
1
1
,
0
202
这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们 所熟悉的梯形公式，即
显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区间
[a,b]无关, 且为容易计算的多项式积分.
常用的) k
2
1/6
4/6
1/6
3
1/8
3/8
3/8
1/8
4
7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288
I b x3dx b4 a4 .
a
4
这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均 能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确 的(如取a=0,b=1进行验证有，S=3/8≠I=1/5)，因此， 辛普森公式实际上具有三次代数精度.
一般地，我们可以证明下述论断：
*定理3： n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为
[ 1
1 0.62
1
1 12
]
0.2470588
由辛普森公式得
1 0.6 1
1
1
IS
6
[ 1
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。
牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。
牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。
牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。
下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。
1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。
它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。
4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。
这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。
通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。
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f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
科茨公式
b
ba
f (x)dx a
90
[7 f (x0) 32 f (x1) 12 f (x2) 32 f (x3) 7 f (x4)]
0
其中 (a th) (a,b) 。
设 (a th) 在 0 t 1 上连续。 由于 f ( (a th)) 在 0 t 1 上连续以及 t(t-1)在区间(0,1)内不变号， 故根据积分中值定理，必存在 ~t [0,1] 使得下式成立
1
f ( )t(t 1)dt
⑦
其中
xk
ak
ba 4
(k 0,1, 2,3, 4)
这个公式称为科茨（Cotes）公式。
下面，我们给出梯形公式，辛普森公
式和科茨公式的截断误差（余项）和它们
的代数精度的几个结论。
定理3 若 f ''(x) 在[a , b]上连续，则梯形公式⑤
的余项为
R1
(b
a)3 12
f (1),
为
Ak
h
n t(t 1)L
0
(t k 1)(t k 1)L k !(1)nk (n k )!
(t n) dt
若记
C (n) k
(1)nk n k !(n k)!
n
t(t 1)L
0
(t k 1)(t k 1)L
(t n)dt
③
则 Ak (b a)Ck (n) 于是得相应的插值型数值积分公式
C (2) 1
1 2
2
t(t
2)dt
4
0
6
C (2) 2
1 4
2 (t 1)(t 2)dt 1
0
6
相应的牛顿-科茨公式为
b
ba
ab
a f (x)dx
[ f (a) 4 f ( ) f (b)]
6
2
⑥
这个公式称为辛普森（Simpson）公式。
辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的 抛物线 y L2(x) 代替y= f(x)所得曲边梯形的面积。
1 (a,b)
若 f (4)(x) 在[a,b]上连续，则辛普森公式⑥
的余项为
R2
1 90
(b
a)5 2
f
(4) (2 ),
2 (a,b)
若 f (6) (x) 在[a,b]上连续，则科茨公式⑦
的余项为
R4
8 945
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
证 1、因 f ''(x) 在[a , b]上连续，
由Newton-Cotes求积公式的截断误差
Rn
hn2 (n 1)!
n 0
f
(n1) ( )[
n j0
(t
j)]dt
请推到此式
且 n=1，h=b-a 得到梯形公式的截断误差
(b a)3
R1 2!
1
f ( )t(t 1)dt
§3 Newton-Cotes求积公式 将积分区间的等分点作为求积节点， 构造出来的求积公式称为牛顿-科茨 （Newton-Cotes）公式。 1、牛顿-科茨公式 将积分区间[a，b]等分，取分点
xk a kh (h (b a) / n;k 0,1,L ,n)
作为求积节点，并作变量替换
8
8
8
8
47
16
2 16
7
90 45 15 45
5 19
25
25
25
288 96 144 144
6 41
9
9
34
90
25 19
96 288
9
9
41
840 35 280 105 280 35 840
例如，当 n=4时，有
b
ba
f (x)dx
a
90
[7 f (x0) 32 f (x1) 12 f (x2) 32 f (x3) 7 f (x4)]
其中
ba xk a k 4
(k 0,1, 2,3, 4)
例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式
21
计算积分 1 e x dx 的近似值，并估计截断误差。
解：用梯形公式计算，得
2 1 e x dx
2
1
(e
e
1 2
)
2.1835
1
2
1
f (x) e x ,
f
( x)
如图所示
y
y
f (x) C
y L2 (x) B
A
0a
ab 2
bx
为了便于应用，我们把部分科茨系数
列在下表中。利用这张科茨系数表，可以
很快写出各种牛顿—科茨公式。
n
C C C C (n) 0
(n) 1
C (n)
(n)
2
3
C C (n)
4
(n) 5
(n) 6
11
1
2
2
21
4
1
6
6
6
31
3
3
1
例如，当 n=1时，有
C (1) 0
1
(t 1)dt
0
1 2
,
C (1) 1
1
1
tdt
0
2
相应的牛顿—科茨公式为
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
⑤
这就是前面提到的梯形公式。
当 n=2时，有
C (2) 0
2
t(t
1)dt
106 Nhomakorabea(x)dx
ba 90
[7
f
(x0 )
32
f
(x1)
12
f
( x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4 )]
截断误差为
R4
8 945
(b
4
a )7
f
(6) (4 ),
4 (a,b)
可以看出，辛普森公式具有五次代数精度。
定理4 梯形公式⑤的代数精度为1； 辛普森公式⑥的代数精度为3； 科茨公式⑦的代数精度为5。
可以看出，梯形公式具有一次代数精度。
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
a
6
2
截断误差为
R2
1 (b 90
a)5 2
f
(4) (2 ),
2 (a,b)
可以看出，辛普森公式具有三次代数精度。
科茨公式
b a
f
1
e2
)
2.0263
1
2
f
(4) (x)
1 ( x8
12 x7
36 x6
24 x5
)e
1 x
max f (4) (x) f (4) (1) 198.43
1 x2
截断误差估计为
R2
(2 1)5 2880
max
1 x 2
f (4) (x)
0.06890
x a th
那么插值型求积公式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
的求积系数