生活中的数学模型--2014.10
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可见： 攻势作用力h的增大使X增加，Y减少。考试期间， 由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即h减小，与无考试期 间相比，将有利于学业成绩Y的增长，这就是Volterra原理。
生活中的数学模型
卢 鹏
2014年10月16日
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
内容提要
一、引例：打鸟问题
二、生活中的数学模型
三、趣味题
四、建模学习过程中我的一点看法
一、问题：树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？
分析：这个问题是一道数学应用题，正确答案应该是？？ 但它照样是数学建模问题，不过答案就不重要了，重要的是过程。真 正的数学建模高手应该这样回答这道题。
当Y(t)存在时, 单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值 和Y(t)的值成正比, 比例常数为b, 从而
dX (t ) aX (t ) dt
其中a为正常数。
dX (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) dt
假定A君发起对B女追求攻势后, 立即转化为B女对 A君的好感，而随着的A君发起对B女的攻势后，A君学 业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e。于 是有 dY (t )
e ln X cX a ln Y bY C
C Y e
a bY
X e
e cX
a by e cx y 记为z=F(x,y)= e x e
在第一像限内部连续的函数，z=F(X,Y)的图形是以 P为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因 而它与z=k (k>0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k>0)是环绕点P的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远 度的指数成周期性变化。 特例的分析：
C 6.95 10 4 (0.4 3 6) / 6m3 0.77升。
4 结论 若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，
让它刚好等于落雨速度的水平分量。
5 注意 •关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。
从背后落下，你应该以 v 4 sin 30 2m / s的速度行走，
此时，淋雨总量为
C 6.95104 (0.8 3 / 2) / 2m3 0.24升
这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。
•当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 v r sin
你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是 pwDh(v r sin ) / v 淋雨总量为 C pwD[dr cos h(v r sin )]/ v
当 0 90时，C可能取负值，这是不可 能的。 出现矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的 前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。
•当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 v r sin 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是 pwDh(r sin v) / v 淋雨总量为 C pwD[dr cos h(r sin v)]/ v
建模与求解
“是无声的枪吗？” “不是。” “枪声有多大？” “80-100分贝。” “那就是说会震得耳朵疼？” “是。” “在这里打鸟犯法吗？” “不。” “那只鸟真的被打死了？” “是。” “树上鸟里有没有聋子？” “没有。”
“有没有关在笼子里？” “没有。” “边上有没有其它的树。树上有没有其它 鸟？” “没有。” …
C 14.7 104 m3 1.47升 情形3 90 180
此时，雨滴将从后面向你身上落下。
C 6.95104[(0.8sin 6 cos ) / v 1.5]
令 90 ，则0 90 。 4 C 6.9510 [(0.8sin(90 ) 6 cos(90 )) / v 1.5] 4 C 6.9510 [(0.8 cos 6 sin ) / v 1.5]
这是一个非线性自治系统.
解 的 形 状
X (t ) a bY (t ) X (t )
Y (t ) e cX (t ) Y (t )
解得系统的两个平衡位置为O(0,0), P(e/c,a/b).
30 25 20 15
P ( e / c, a / b )
a/b10
5 0 0 20
P
e/c 40
dY (t ) dX (t ) eY (t ) hY (t ) cX (t )Y (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) hX (t ) dt dt
将两个系统比较, 可见两者形式完全相同, 前者仅是把X与Y 的系数分别换成了a-h与-e-h。 因此平衡点为：
P1 (e h / c, a h / b)
C1 ( D / v)wd ( pr sin ) D / v表示在雨中行走的时间 , wd表示顶部面积，
r sin 表示雨滴垂直下落的速 度。
•前表面淋雨量
C2 ( D / v)wh[ p(r cos v)]
•总淋雨量（基本模型）
pwD C C1 C2 (dr sin h(r cos v)) v 取参数r 4m / s, I 3600 2cm / s, p 1.39106
当X→∞ ( B女对A君恨之入骨)
当Y→∞ ( A君是一块只会学习的木头) 当X→0 ( A君作了变性手术，B女对他毫无防备)
当Y→0 ( A君不学无术，丝毫不学习)
进 一 步 分 析
现在考虑追求攻势对上述模型的影响。 设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h反 映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远 度的模型应变为：
dt
eY (t ) cX (t )Y (t )
这样，就得到了由学业与疏远度所构成的两个在 无外界干扰的情况下互相作用的模型：
dX (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) dt
dY (t ) eY (t ) cX (t )Y (t ) dt
Volterra 模型
3 模型建立与计算 1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。
S 2wh 2dh wd (米2 ) D 雨中行走的时间 t (秒) v 降雨强度 I (厘米/时) 0.01I (米/时) (0.01/ 3600 ) I (m / s)
淋雨的面积
C t ( I / 3600 ) 0.01 S (米3 ) 10( D / v) I / 3600 S（升）
在雨中行走才能减少淋雨的程度。
1 建模准备
建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策
略，使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路
程的远近，行走的速度
2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 h 米，宽度 w米，厚度 d 米。 淋雨总量用 C 升来记。 2）降雨大小用降雨强度 I 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。4）以定速度 v 米/秒跑完全程 D 米。
D C wdpr cos 当v r sin 时，C取到最小值。 r sin 再次代如数据，得
C 6.95104 (0.8 cos ) /(4 sin )
结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 若雨滴是以 120的角度落下，即雨滴以 30 的角
若记雨滴下落速度为 r（米/秒） 雨滴的密度为 p, p 1 雨滴下落 的反方向 表示在一定的时刻 在单位体积的空间
w
d
内，由雨滴所占的
v
h
空间的比例数，也 人前进 的方向 称为降雨强度系数。 所以，I rp 因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量。
•顶部的淋雨量
计 算 相 轨 线
dY (t ) dX (t ) eY (t ) cX (t )Y (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) dt dt 1 e c dY (t ) eY (t ) cX (t )Y (t ) X (t ) 1 dX (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) a b Y (t ) 1 1 e X (t ) c dX (t ) a Y (t ) b dY (t )
…
“如果你的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在 树上没有掉下来，那么就剩一只；如果掉下 来，就一只不剩。”
这就是数学建模，从不同的角度思考问题。
二、生活中的数学模型
例1： 雨中行走问题
一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家 不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨 具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大 了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个 似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨 淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽 力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何
C pwDr[(d cos r sin ) / v h / r ]
当d cos r sin 0, v尽可能大， C才可能小。 当d cos r sin 0, v尽可能小， C才可能小。
而v r sin ， 所以v r sin ，C才可能小。 取v 6m / s, 30时，
60
80
100
120
30
T3
合 理 性
25 20 15 10
• x 0
0
x 0 y P0 P
0 y
20
P ( e / c, a / b )
T2
0，y 0 x
0，y 0 x
40 60 80
T4
5 0
T1
100 120
从生态意义上看这是容易理解的, 当A君的学习成绩下 降时, B女会疏远A君; 于是A君就又开始奋发图强, 学习成 绩Y(t)又上升了. 于是B女就又和A君开始了来往, 疏远度又 下降了. 与B女交往多了, 当然分散了学习的时间A君的学 习成绩Y(t)下降了.
•雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重
要性，模型的阶段适应性。
例2：关于男生追女生的数学模型
假设A君追B女，设t时刻A君的学业成绩为Y(t)； 其 B女对A君的疏远度为X(t); 当A君没开始追求B女时, B女对A君的疏远度增长 (平时发现的A君的不良行为) 符合Malthus模型，
模型中 D, I , S为参数，而 v为变量。 结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能
减少淋雨量。
若取参数D 1000 米, I 2厘米/小时, h 1.50米, w 0.50米, d 0.20米,即S 2.2米2。 你在雨中行走的最大速 度v 6米/每秒，则计算得
4
淋雨量达到最小。
假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 11.3 104 m3 1.13升
情形2
60
C 6.95104[1.5 (0.4 3 3) / v]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时
淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行走了 167秒，即2分47秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。
经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了
2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。
2）考虑降雨方向。
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 v 使得 C 最小。 情形1
6.95 104 C (0.8 sin 6 cos 1.5v) v
90
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时
0.8 C 6.95 10 ( 1.5) v
生活中的数学模型
卢 鹏
2014年10月16日
西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组
内容提要
一、引例：打鸟问题
二、生活中的数学模型
三、趣味题
四、建模学习过程中我的一点看法
一、问题：树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？
分析：这个问题是一道数学应用题，正确答案应该是？？ 但它照样是数学建模问题，不过答案就不重要了，重要的是过程。真 正的数学建模高手应该这样回答这道题。
当Y(t)存在时, 单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值 和Y(t)的值成正比, 比例常数为b, 从而
dX (t ) aX (t ) dt
其中a为正常数。
dX (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) dt
假定A君发起对B女追求攻势后, 立即转化为B女对 A君的好感，而随着的A君发起对B女的攻势后，A君学 业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e。于 是有 dY (t )
e ln X cX a ln Y bY C
C Y e
a bY
X e
e cX
a by e cx y 记为z=F(x,y)= e x e
在第一像限内部连续的函数，z=F(X,Y)的图形是以 P为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因 而它与z=k (k>0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k>0)是环绕点P的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远 度的指数成周期性变化。 特例的分析：
C 6.95 10 4 (0.4 3 6) / 6m3 0.77升。
4 结论 若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，
让它刚好等于落雨速度的水平分量。
5 注意 •关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。
从背后落下，你应该以 v 4 sin 30 2m / s的速度行走，
此时，淋雨总量为
C 6.95104 (0.8 3 / 2) / 2m3 0.24升
这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。
•当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 v r sin
你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是 pwDh(v r sin ) / v 淋雨总量为 C pwD[dr cos h(v r sin )]/ v
当 0 90时，C可能取负值，这是不可 能的。 出现矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的 前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。
•当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 v r sin 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是 pwDh(r sin v) / v 淋雨总量为 C pwD[dr cos h(r sin v)]/ v
建模与求解
“是无声的枪吗？” “不是。” “枪声有多大？” “80-100分贝。” “那就是说会震得耳朵疼？” “是。” “在这里打鸟犯法吗？” “不。” “那只鸟真的被打死了？” “是。” “树上鸟里有没有聋子？” “没有。”
“有没有关在笼子里？” “没有。” “边上有没有其它的树。树上有没有其它 鸟？” “没有。” …
C 14.7 104 m3 1.47升 情形3 90 180
此时，雨滴将从后面向你身上落下。
C 6.95104[(0.8sin 6 cos ) / v 1.5]
令 90 ，则0 90 。 4 C 6.9510 [(0.8sin(90 ) 6 cos(90 )) / v 1.5] 4 C 6.9510 [(0.8 cos 6 sin ) / v 1.5]
这是一个非线性自治系统.
解 的 形 状
X (t ) a bY (t ) X (t )
Y (t ) e cX (t ) Y (t )
解得系统的两个平衡位置为O(0,0), P(e/c,a/b).
30 25 20 15
P ( e / c, a / b )
a/b10
5 0 0 20
P
e/c 40
dY (t ) dX (t ) eY (t ) hY (t ) cX (t )Y (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) hX (t ) dt dt
将两个系统比较, 可见两者形式完全相同, 前者仅是把X与Y 的系数分别换成了a-h与-e-h。 因此平衡点为：
P1 (e h / c, a h / b)
C1 ( D / v)wd ( pr sin ) D / v表示在雨中行走的时间 , wd表示顶部面积，
r sin 表示雨滴垂直下落的速 度。
•前表面淋雨量
C2 ( D / v)wh[ p(r cos v)]
•总淋雨量（基本模型）
pwD C C1 C2 (dr sin h(r cos v)) v 取参数r 4m / s, I 3600 2cm / s, p 1.39106
当X→∞ ( B女对A君恨之入骨)
当Y→∞ ( A君是一块只会学习的木头) 当X→0 ( A君作了变性手术，B女对他毫无防备)
当Y→0 ( A君不学无术，丝毫不学习)
进 一 步 分 析
现在考虑追求攻势对上述模型的影响。 设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h反 映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远 度的模型应变为：
dt
eY (t ) cX (t )Y (t )
这样，就得到了由学业与疏远度所构成的两个在 无外界干扰的情况下互相作用的模型：
dX (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) dt
dY (t ) eY (t ) cX (t )Y (t ) dt
Volterra 模型
3 模型建立与计算 1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。
S 2wh 2dh wd (米2 ) D 雨中行走的时间 t (秒) v 降雨强度 I (厘米/时) 0.01I (米/时) (0.01/ 3600 ) I (m / s)
淋雨的面积
C t ( I / 3600 ) 0.01 S (米3 ) 10( D / v) I / 3600 S（升）
在雨中行走才能减少淋雨的程度。
1 建模准备
建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策
略，使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路
程的远近，行走的速度
2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 h 米，宽度 w米，厚度 d 米。 淋雨总量用 C 升来记。 2）降雨大小用降雨强度 I 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。4）以定速度 v 米/秒跑完全程 D 米。
D C wdpr cos 当v r sin 时，C取到最小值。 r sin 再次代如数据，得
C 6.95104 (0.8 cos ) /(4 sin )
结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 若雨滴是以 120的角度落下，即雨滴以 30 的角
若记雨滴下落速度为 r（米/秒） 雨滴的密度为 p, p 1 雨滴下落 的反方向 表示在一定的时刻 在单位体积的空间
w
d
内，由雨滴所占的
v
h
空间的比例数，也 人前进 的方向 称为降雨强度系数。 所以，I rp 因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量。
•顶部的淋雨量
计 算 相 轨 线
dY (t ) dX (t ) eY (t ) cX (t )Y (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) dt dt 1 e c dY (t ) eY (t ) cX (t )Y (t ) X (t ) 1 dX (t ) aX (t ) bX (t )Y (t ) a b Y (t ) 1 1 e X (t ) c dX (t ) a Y (t ) b dY (t )
…
“如果你的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在 树上没有掉下来，那么就剩一只；如果掉下 来，就一只不剩。”
这就是数学建模，从不同的角度思考问题。
二、生活中的数学模型
例1： 雨中行走问题
一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家 不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨 具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大 了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个 似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨 淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽 力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何
C pwDr[(d cos r sin ) / v h / r ]
当d cos r sin 0, v尽可能大， C才可能小。 当d cos r sin 0, v尽可能小， C才可能小。
而v r sin ， 所以v r sin ，C才可能小。 取v 6m / s, 30时，
60
80
100
120
30
T3
合 理 性
25 20 15 10
• x 0
0
x 0 y P0 P
0 y
20
P ( e / c, a / b )
T2
0，y 0 x
0，y 0 x
40 60 80
T4
5 0
T1
100 120
从生态意义上看这是容易理解的, 当A君的学习成绩下 降时, B女会疏远A君; 于是A君就又开始奋发图强, 学习成 绩Y(t)又上升了. 于是B女就又和A君开始了来往, 疏远度又 下降了. 与B女交往多了, 当然分散了学习的时间A君的学 习成绩Y(t)下降了.
•雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重
要性，模型的阶段适应性。
例2：关于男生追女生的数学模型
假设A君追B女，设t时刻A君的学业成绩为Y(t)； 其 B女对A君的疏远度为X(t); 当A君没开始追求B女时, B女对A君的疏远度增长 (平时发现的A君的不良行为) 符合Malthus模型，
模型中 D, I , S为参数，而 v为变量。 结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能
减少淋雨量。
若取参数D 1000 米, I 2厘米/小时, h 1.50米, w 0.50米, d 0.20米,即S 2.2米2。 你在雨中行走的最大速 度v 6米/每秒，则计算得
4
淋雨量达到最小。
假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 11.3 104 m3 1.13升
情形2
60
C 6.95104[1.5 (0.4 3 3) / v]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时
淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行走了 167秒，即2分47秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。
经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了
2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。
2）考虑降雨方向。
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 v 使得 C 最小。 情形1
6.95 104 C (0.8 sin 6 cos 1.5v) v
90
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时
0.8 C 6.95 10 ( 1.5) v