(完整版)数列求和专题训练(可编辑修改word版)

1 一、错位相减法

设数列{a n }的等比数列，数列{b n }是等差数列，则数列{a n b n }的前n 项和 S n 求解，均

可用错位相减法。

例 1;设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且 a 1 = b 1 = 1 ， a 3 + b 5 = 21，

a 5 +

b 3 = 13

（Ⅰ）求{a n }，{b n }的通项公式；

⎧ a n ⎫

（Ⅱ）求数列⎨ b

⎬ 的前 n 项和 S n ．

⎩ n ⎭

例 2;在数列{a } 中， a = 2， a

= a + n +1 + (2 -)2n (n ∈ N * ) ，其中> 0 ．

n

1 n +1

n

（Ⅰ）求数列{a n } 的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n } 的前n 项和 S n ；

二、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1） a n =

1 n (n + 1) = 1 - n 1 n + 1

(2n )2 （2） a n =

(2n -1)(2n +1)

= 1+

1 ( 1 -

2 2n -1 1 )

2n +1

（3） a n = n (n -1)(n + 2) = 1 [

1 2 n (n +1) - 1 ] 等。 (n +1)(n + 2)

1

1

例 3:； 求数列 ,

,⋅ ⋅ ⋅, 1

,⋅ ⋅ ⋅ 的前 n 项和. n + n + 1

1 +

2 2 + 3

n 数列求和（错位相减、裂项相消法）专题训练

1、求数列{n ⋅ 2n }前n 项和.

2、已知等差数列{a n } 满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 . {a n } 的前 n 项和为 S n .

（Ⅰ）求 a n 及 S n ；

（Ⅱ）令b =

1

（ n ∈ N + ）,求数列{b } 的前 n 项和T .

n

a 2

-1 n n

3、已知等差数列{a n }的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设b = (4 - a )q n -1(q ≠ 0, n ∈ N *) ，求数列{b }的前 n 项和 S

n

n

n

n

4、已知等差数列{a n } 满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 ，{a n } 的前 n 项和为 S n ．

（Ⅰ）求 a 及 S ；（Ⅱ）令 b =

1

(n ∈N *)，求数列{b } 的前 n 项和T ．

n

n

n

a 2 -1

n n

n

n n n

n n n

5、已知二次函数y =f (x) 的图像经过坐标原点，其导函数为f ' (x) = 6x - 2 ，数列{a }的前 n 项和为S ，点(n, S )(n ∈N * ) 均在函数y =

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

f (x) 的图像上。

（Ⅱ）设b =

1

，T是数列{b }的前n 项和，求使得T <

m

对所有n ∈N *都成立的a

n

a

n+1

n

20

最小正整数 m；

6、（本小题满分12 分）等比数列{ a }的前n 项和为S ，已知对任意的n ∈N +，点(n, S ) ，均在函数y =b x+r(b > 0 且b ≠ 1, b, r 均为常数)的图像上.

（1）求r 的值；

（2）当b=2 时，记b n =

n +1

4a

n

(n ∈N +) 求数列{b

n

}的前n 项和T

n

n n n

n

数列求和专项练习

1、求数列{(2n -1)⋅ 3n }前n 项和.

2、求数列

1 3 5 7 , ⋅⋅⋅ , 2n -1

的前n 项和.

, , , 2 4 8 16 2n

1

1

1

1

3、求数列

，

，

，…，

，…的前 n 项和 S

1⨯ 3 2 ⨯ 4 3 ⨯ 5 n (n + 2)

4、已知数列{a n }的通项公式为 a n =

求它的前 n 项的和.

5、已知数列{ a n

}满足： a 1 + 3a 2 + + (2n - 1)a n = (2n - 3) ⋅ 2n +1, 数列{b }的前 n 项和

S n = 2n 2 + n - 2.求数列{a n ⋅ b n }的前n 项和W n .

n + 1 + n

1

2S 2

⎧ 1 ⎫

6、在数列{a n }中， a 1 = 1 , a n

= n (n ≥ 2). 证明数列⎨ ⎬ 是等差数列，

并求出 S n

的表达式.

2S n -1 ⎩ s n ⎭

7、已知等差数列{a n } 满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 . {a n } 的前 n 项和为 S n .

（1） 求 a n 及 S n ；

（2）

令b = 1

（ n ∈ N + ）,求数列{b } 的前 n 项和T .

n

a 2

-1 n n

8、已知数列{a n } 中， a 1 = 1，且当 n ≥ 2 时， S n = a n (S n - （1） 求 S n ， a n

（2）

求{S n } 的前 n 项和T n 1

) ；

2

n