最全的转动惯量的计算
最全的转动惯量的计算ppt课件
有
l
J0
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
x
9
常见刚体的转动惯量
J mr 2 J mr2 / 2 J mr2 / 2 J m(r12 r22) / 2
J ml 2 /12
J mr2 / 2
J 2mr 2 / 5 J 2mr 2 / 3
10
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止
开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈
角时的角加速度和角速度.
解:受力分析
取任一状态,由转动定律
M外
1 2
mgl sin
J
P o
J 1 ml2 3
3g sin
2l
11
d d d 3g sin d t d d t 2l
d 3g sind
16
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
转动惯量公式
转动惯量公式转动惯量是物体对于绕指定轴旋转的惯性特性的度量。
它与物体的质量、形状以及旋转轴的位置有关。
在这篇文章中，我们将介绍转动惯量的概念以及相关的公式。
1. 转动惯量的定义转动惯量是描述物体绕某个轴旋转时对其惯性的度量。
物体的质量分布越集中，转动惯量越小，物体的形状越分散，转动惯量越大。
对于一个质量分布均匀的物体来说，转动惯量可以通过以下公式计算：转动惯量公式转动惯量公式其中，I 是转动惯量，r 是与旋转轴的距离，dm 是物体的微小质量元素。
转动惯量的单位是千克·米²。
2. 转动惯量的计算方法对于一些常见的几何形状，我们可以通过特定的公式计算它们的转动惯量。
下面是一些常见形状的转动惯量计算公式：•线状物体（绕与物体平行的轴旋转）：线状物体转动惯量公式线状物体转动惯量公式其中，m 是线状物体的质量，l 是线状物体长度。
•圆盘状物体（绕与盘面平行的轴旋转）：圆盘状物体转动惯量公式圆盘状物体转动惯量公式其中，m 是圆盘状物体的质量，r 是圆盘状物体半径。
•球体（绕球的直径轴旋转）：球体转动惯量公式球体转动惯量公式其中，m 是球体的质量，r 是球体的半径。
这些公式可以帮助我们计算常见几何形状物体的转动惯量。
对于复杂的物体形状，可以使用积分计算转动惯量。
3. 转动惯量的应用转动惯量在物理学中有广泛的应用。
它是理解刚体转动运动的重要参数，可以帮助我们研究物体在旋转过程中的角动量、角加速度等性质。
转动惯量的大小决定了物体在给定轴上旋转的难易程度。
当转动惯量较大时，物体旋转需要更大的力矩才能实现，导致旋转速度较慢。
相反，转动惯量较小的物体则更容易加速旋转。
此外，转动惯量还与物体的稳定性有关。
当物体的质量分布越接近旋转轴时，转动惯量越小，物体越稳定。
4. 结论转动惯量是描述物体绕某个轴旋转时对其惯性的度量。
它与物体的质量、形状以及旋转轴的位置有关。
我们可以根据物体的几何形状和分布情况，使用特定的公式来计算转动惯量。
转动惯量公式是什么 怎么计算
转动惯量公式是什么怎么计算
在经典力学中，转动惯量通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量是什么
转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯矩）通常以I或J表示，SI 单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m 是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
质量转动惯量
其量值取决于物体的外形、质量分布及转轴的位置。
刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学试验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。
电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。
在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的形状设计上，精确地测定转动惯量，都是非常必要的。
转动惯量只打算于刚体的外形、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
外形规章的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。
而对于不规章刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过试验的方法来进行测定，因而试验方法就显得非常重要。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
最全的转动惯量的计算
最全的转动惯量的计算转动惯量是物体对绕轴旋转的惯性特性的度量。
它是一个重要的物理量，在机械工程、物理学和工程技术等领域有广泛的应用。
转动惯量的计算有许多方法和技巧，下面将介绍一些常见的计算方法。
1.刚体转动惯量的定义：刚体转动惯量（或者称为惯性矩）是物体在绕任意轴旋转时，由物体的质量分布确定的。
它可以表示为I，即：I = ∫ r² dm其中，r是距离轴线的距离，dm是质量微元。
2.转动惯量的计算方法：（1）几何法计算：几何法是根据物体的几何形状和分布来计算转动惯量。
常见的几何形状包括球体、圆柱体、长方体等。
根据不同形状，使用不同的公式进行计算。
（2）积分法计算：积分法是通过对物体的质量分布进行积分来计算转动惯量。
这种方法适用于任意形状的物体，需要进行积分计算。
根据不同的质量分布，可以使用不同的坐标系和积分区域。
3.常见物体的转动惯量计算：（1）球体的转动惯量：对于球体，其转动惯量公式为：I=2/5*m*r²其中，m是球体的质量，r是球体的半径。
（2）圆柱体的转动惯量：对于圆柱体，其转动惯量公式为：I=1/2*m*r²其中，m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。
（3）长方体的转动惯量：对于长方体，其转动惯量公式为：I=1/12*m*(a²+b²)其中，m是长方体的质量，a和b是长方体的宽度和高度。
如果长方体绕距离中心轴旋转，转动惯量计算公式会有所不同。
（4）其它常见物体的转动惯量：对于其它常见的物体，如圆环、圆盘、棒体等，都有相应的转动惯量计算公式。
这些公式可以在物理学的相关教材和参考资料中找到。
4.复杂物体的转动惯量计算：对于复杂物体，其转动惯量的计算相对较为复杂，通常需要使用积分法或数值计算的方法来求解。
这种方法适用于任意形状的物体，可以将物体分成无数微小的质量元，并对每个微小质量元的转动惯量进行积分求和。
总结起来，转动惯量的计算方法有几何法和积分法两种，常见的物体有相应的转动惯量公式。
常见转动惯量计算公式
常见转动惯量计算公式转动惯量是描述物体转动惯性的物理量，在物理学中有着重要的地位。
那咱就来聊聊常见的转动惯量计算公式。
先来说说转动惯量的定义哈。
它可以理解为物体对于旋转运动的“抗拒程度”。
想象一下，一个巨大的飞轮和一个小小的陀螺，让它们转起来，明显能感觉到飞轮更难转动起来，也更难停下，这就是因为飞轮的转动惯量大。
常见的转动惯量计算公式里，对于一个质点，其转动惯量等于质点的质量乘以质点到转轴距离的平方。
这就好比我们去推一个离转轴远的球比推一个离转轴近的球更费劲。
再来说说均匀细棒绕垂直于棒的中心轴转动的情况。
假设细棒长度为 L ，质量为 m ，那转动惯量就等于 1/12 * m * L²。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个调皮的孩子就问我：“老师，这细棒要是变成金箍棒，是不是转动惯量就大得吓人啦？”全班都被他逗乐了。
还有圆盘绕中心轴转动的情况。
假如圆盘半径为 R ，质量为 M ，其转动惯量就是 1/2 * M * R²。
这就好像我们转一个大圆盘和转一个小圆盘，大圆盘明显更“稳重”，不容易被转动。
另外，对于圆环绕中心轴转动，转动惯量是 M * R²，这里的 M 是圆环的质量，R 是圆环的半径。
在实际生活中，转动惯量的概念也无处不在。
就像骑自行车，车轮的转动惯量会影响骑行的感受。
车轮大而且重的自行车，起步的时候会感觉比较吃力，但一旦速度起来了，保持稳定就相对容易些，这就是因为大而重的车轮转动惯量大。
在工程领域，转动惯量的计算更是至关重要。
比如设计汽车的发动机曲轴，就得精确计算转动惯量，以确保发动机运转的平稳性和可靠性。
总之，转动惯量的计算公式虽然看起来有些复杂，但只要我们多结合实际去理解，就会发现它们其实也没那么难。
希望大家都能掌握这些常见的转动惯量计算公式，更好地理解我们周围的物理世界。
转动惯量计算公式名字
转动惯量计算公式名字刚体常见形状的转动惯量计算公式。
一、质点的转动惯量计算公式。
对于一个质量为m的质点，它到转动轴的垂直距离为r，那么它的转动惯量I 的计算公式就是：I = mr^2。
举个例子哈：假设有一个质量为2kg的小球，它到转动轴的垂直距离是3m。
那根据这个公式，它的转动惯量I = 2×3^2 = 2×9 = 18kg· m^2。
这就好比这个小球在距离轴3m处转动时，它具有这么大的“转动惯性”。
二、细棒的转动惯量计算公式。
（一）细棒绕垂直于棒且通过质心的轴转动。
如果有一根质量为m、长度为L的均匀细棒，绕垂直于棒且通过质心的轴转动，它的转动惯量计算公式是：I=(1)/(12)mL^2。
比如说：有一根质量为6kg、长度为2m的均匀细棒。
按照公式算，它绕垂直于棒且通过质心的轴转动时的转动惯量I=(1)/(12)×6×2^2=(1)/(12)×6×4 = 2kg· m^2。
（二）细棒绕垂直于棒且通过一端的轴转动。
当这根细棒绕垂直于棒且通过一端的轴转动时，转动惯量计算公式就变成了：I=(1)/(3)mL^2。
再举个例子：还是刚才那根质量为6kg、长度为2m的细棒，绕垂直于棒且通过一端的轴转动时，它的转动惯量I=(1)/(3)×6×2^2 = (1)/(3)×6×4 = 8kg· m^2。
你看，同样一根细棒，转动轴位置不一样，转动惯量也就不一样啦。
三、圆盘的转动惯量计算公式。
对于质量为m、半径为R的均匀圆盘，绕通过盘心且垂直于盘面的轴转动，它的转动惯量计算公式是：I=(1)/(2)mR^2。
来个实际例子：有一个质量为10kg、半径为1m的均匀圆盘。
那它绕通过盘心且垂直于盘面的轴转动时的转动惯量I=(1)/(2)×10×1^2 = 5kg· m^2。
常用转动惯量公式
常用转动惯量公式转动惯量这玩意儿，在物理学里可是个挺重要的概念。
咱先甭管它听起来有多高深，其实就是描述物体转动时惯性大小的一个量。
打个比方啊，就像咱们骑自行车。
你想啊，同样是转动车轮，一个轻便的自行车轮和一个又大又重的车轮，转动起来的感觉是不是完全不一样？那个轻便的车轮，你轻轻一蹬，它就呼呼转起来了；可那个又大又重的车轮呢，你得使好大劲才能让它转起来。
这里面就有转动惯量在起作用。
常用的转动惯量公式，咱一个一个来看。
对于一个质点，它的转动惯量公式是 I = mr²，这里的 m 是质点的质量，r 是质点到转轴的距离。
比如说，有个小球，质量是 2 千克，它距离转轴 3 米远，那它的转动惯量就是 2×3² = 18 千克·米²。
再来说说细棒绕端点轴转动的情况。
如果一根均匀细棒，长度是 L ，质量是 M ，那它的转动惯量就是 I = 1/3 ML²。
想象一下一根长长的擀面杖，你拿着它的一端让它转动，这时候它的转动惯量就可以用这个公式来算。
还有圆环绕中心轴的转动惯量，公式是 I = mR²，这里的 m 是圆环的质量，R 是圆环的半径。
比如说，一个铁环，质量是 5 千克，半径是 1 米，那它绕中心轴转动的转动惯量就是 5×1² = 5 千克·米²。
圆盘绕中心轴转动的转动惯量公式是 I = 1/2 mR²。
就像一个圆形的铁饼，知道它的质量和半径，就能算出它转动起来有多“费劲”。
咱再回到开头说的自行车轮。
如果把车轮看成是一个圆环和很多根辐条组成的，那要算整个车轮的转动惯量，就得把各个部分的转动惯量都加起来。
在实际生活中，转动惯量的应用可多了去了。
比如汽车的车轮设计，工程师们就得考虑车轮的转动惯量，要让它既不太重影响加速和油耗，又能在行驶中有足够的稳定性。
还有各种机器里的转动部件，像工厂里的大型机器设备，转动惯量的大小都会影响到它们的工作效率和性能。
转动惯量的计算
说明：本文《转动惯量的计算》特地收集贡献出来供各位工程技术人员在参阅本人劣作《风机动平衡调试方法》时参考。
深圳华晶玻璃瓶有限公司工程部（动力车间）李宜斌编辑2010-10-21转动惯量的计算转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
单个质点的转动惯量：I = m× r2.质点系的转动惯量：I = Σ m i×r i2.质量连续分布的刚体的转动惯量：I = ∫m r2dm。
以上各式中的r理解为质点到转轴的距离。
刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。
由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
垂直轴定理：一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。
表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。
刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。
惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。
补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。
球体的转动惯量公式
球体的转动惯量公式
1. 球体转动惯量公式推导（对于质量为m，半径为r的球体，绕直径转动）
- 利用积分法推导。
- 首先把球体看成是由无数个薄圆盘组成。
对于一个距离球心为x，厚度为dx 的薄圆盘，其半径R = √(r^2)-x^{2}。
- 根据圆盘绕中心轴的转动惯量公式I = (1)/(2)m_dR^2（其中m_d是圆盘的质量）。
- 先求薄圆盘的质量m_d，已知球体的密度ρ=(m)/(frac{4){3}π r^3}，薄圆盘的体积dV=π R^2dx=π(r^2 - x^2)dx，则m_d=ρ dV=(m)/(frac{4){3}π r^3}π(r^2-x^2)dx。
- 该薄圆盘绕直径的转动惯量dI=(1)/(2)m_dR^2=(1)/(2)(m)/(frac{4){3}π
r^3}π(r^2-x^2)dx·(r^2-x^2)。
- 对dI从-r到r进行积分：
- I=∫_ - r^r(1)/(2)(m)/(frac{4){3}π r^3}π(r^2-x^2)^2dx
- 展开(r^2-x^2)^2=r^4-2r^2x^2+x^4。
- 则I=(3m)/(8r^3)∫_ - r^r(r^4-2r^2x^2+x^4)dx
- 分别积分∫_ - r^r r^4dx = 2r^5，∫_ - r^r2r^2x^2dx=(4)/(3)r^5，∫_ -
r^rx^4dx=(2)/(5)r^5。
- 所以I=(2)/(5)mr^2。
2. 公式总结。
- 对于质量为m，半径为r的球体，绕直径转动时，转动惯量I =
(2)/(5)mr^2。
最全的转动惯量的计算
这时滑轮转动的角速度
v
R
4mgh 2m M
R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：设静摩擦力f的方向如 图所示，则由质心运动方程
F f maC
l
J0
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
变化的规律。
已知：M0 J M1= –a |t=0=
求：（t）=？
0
解： 1）以刚体为研究对象；
5.3 定轴转动的转动惯量
• 质量离散分布的刚体 J miri2
• 质量连续分布的刚体 J r 2dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 质量为面分布 dm ds
质量为体分布 dm dV
J与质量大小、质量分布、转轴位置有关 演示程序： 影响刚体转动惯量的因素
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
常用物体的转动惯量与扭矩的计算
常用物体的转动惯量与扭矩的计算转动惯量和扭矩是物体在转动过程中的两个重要物理量。
转动惯量描述了物体绕其中一轴线旋转时对于其转动的惯性，而扭矩则描述了物体受到的力矩引起的转动效果。
下面将对常用物体的转动惯量和扭矩的计算进行说明。
1.点质量：对于一个质量为m的点质量，绕与其距离为r的轴线旋转，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=m*r^2其中，m为质量，r为距离。
2.刚体：对于一个刚体，在其质心坐标系下，其转动惯量Ic可以通过以下公式计算：Ic=Σ(m_i*r_i^2)其中，m_i为每个质点的质量，r_i为该质点与质心的距离，Σ表示对每个质点进行求和。
3.线状物体：对于一根长度为L，质量均匀分布的细长直杆绕与其一个端点为轴转动，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=(1/3)*m*L^2其中，m为质量，L为长度。
4.圆盘：对于一个质量为m，半径为R的均匀圆盘绕其垂直于盘面且通过质心的轴线转动，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=(1/2)*m*R^25.球体：对于一个质量为m，半径为R的均匀球体绕其直径为轴转动，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=(2/5)*m*R^26.圆环：对于一个质量为m，半径为R的均匀圆环绕其垂直于环面且通过质心的轴线转动，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=m*R^2对于扭矩的计算，扭矩τ可以通过以下公式计算：τ=rxF其中，r为力矩的作用点到轴的距离，F为作用力，x为叉乘运算符。
通常情况下，扭矩也可以简化为：τ = r * F * sinθ其中，θ为力和杆的夹角。
综上所述，对于常用物体的转动惯量和扭矩的计算，可以根据物体的形状和质量分布情况来确定相应的公式，并利用这些公式进行计算。
这些公式在物理和工程领域中有着广泛的应用。
转动惯量计算公式单位
转动惯量计算公式单位转动惯量是描述物体转动惯性的一个重要物理量，它在物理学中有着广泛的应用。
那咱们就来好好聊聊转动惯量计算公式以及它所涉及的单位。
先来说说转动惯量的计算公式吧。
对于一个质点，转动惯量 I 等于质量 m 乘以质点到转轴的距离 r 的平方，即 I = m * r²。
要是一个刚体是由多个质点组成的，那转动惯量就得把每个质点的转动惯量加起来。
举个例子啊，就说一个均匀圆盘吧。
假设圆盘的质量是 M ，半径是 R ，那它的转动惯量 I 就是 1/2 * M * R²。
在计算转动惯量的时候，单位可太重要啦。
质量的单位通常是千克（kg），距离的单位通常是米（m），所以转动惯量的单位就是千克·米²（kg·m²）。
我想起之前给学生们上课的时候，讲到这个知识点，有个学生就迷糊了，怎么都搞不清楚单位的换算。
我就给他举了个特别形象的例子。
我说：“你就想象啊，这质量就好比是一群小人儿，距离呢，就是小人儿排队的长度。
那转动惯量呢，就是这些小人儿按照一定规则排好队形成的一个大场面。
千克就是小人儿的数量，米就是队伍的长度，那千克·米²就像是这个大场面的规模。
” 这学生听了之后，眼睛一下子亮了，好像突然就开窍了。
在实际的物理问题中，准确地运用转动惯量计算公式和单位，能帮助我们更好地理解物体的转动行为。
比如说，在机械设计中，要考虑零件的转动惯量，以确保机器的运行平稳；在天体物理学中，研究天体的自转也离不开转动惯量的计算。
总之，转动惯量计算公式和单位虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨，多联系实际，就能轻松掌握，为解决各种物理问题打下坚实的基础。
所以啊，同学们，别害怕转动惯量这个概念，好好理解它，就能在物理学的世界里畅游啦！。
转动惯量与功率计算公式
转动惯量与功率计算公式
转动惯量的计算公式：
1.对于质点转动：转动惯量(J)与质点的质量(m)和质点离旋转轴的距
离(r)的平方成正比，即J=m*r^2
2.对于集中质量的刚体转动：假设刚体由N个质点组成，每个质点的
质量分别为m1，m2，...，mN，它们离旋转轴的距离分别为r1，r2，...，rN，则刚体的转动惯量等于所有质点的转动惯量之和，即
J=m1*r1^2+m2*r2^2+...+mN*rN^2
3. 对于连续分布质量的刚体转动：刚体可以看做由无数个质点组成，质点的质量微元为dm，质点离旋转轴的距离为r，则刚体的转动惯量可以
用积分的形式表示，即J = ∫ r^2 dm，其中积分区间为整个刚体。
计算功率的公式：
功率(P)表示单位时间内所做的功，可以用两种公式计算：
1. 对于匀速直线运动：假设物体做功的力为F，物体的速度为v，角
度为θ，则功率可以用力F和速度v的点积来计算，即P = F * v *
cosθ，其中θ为力和速度之间的夹角。
2.对于旋转运动：假设物体转动的角速度为ω，转动的力矩为τ，
则功率可以用力矩τ和角速度ω的乘积来计算，即P=τ*ω。
对于匀速直线运动和旋转运动，如果力和速度或力矩和角速度的方向
相同，则功率为正值，表示物体在做正功；如果方向相反，则功率为负值，表示物体在受到外力反作用做负功。
以上是转动惯量和功率的计算公式。
在实际应用中，这些公式可以帮助我们计算物体的转动惯量和功率，从而理解并分析物体的运动特性。
最全的转动惯量的计算(经典实用)
最全的转动惯量的计算（经典实用）
转动惯量是描述物体旋转惯性大小的物理量，通常用I表示。
下面是最全的转动惯量计算方法：
1. 刚体转动惯量的定义公式为：I = ∫r²dm，其中r是质点到转
轴的距离，m是质点的质量。
将质点相加得到刚体的质量分布，因此整个刚体的转动惯量可以表示为：I = ∫r²dm，其中积分是
对整个刚体的所有小质点进行的。
2. 对于均匀密度的均匀球体，转动惯量可以用公式I =
(2/5)MR²来计算，其中M是球体的质量，R是球体的半径。
3. 对于均匀密度的长直圆柱体，转动惯量可以用公式I =
(1/2)MR²来计算，其中M是圆柱体的质量，R是圆柱体的半径，同时也是圆柱体绕着垂直于轴线的质量分布半径。
4. 对于均匀密度的长直棒，转动惯量可以用公式I = (1/12)ML²来计算，其中M是棒的质量，L是棒的长度。
5. 对于精细计算，可以将物体分解为若干个小物体进行计算，然后将它们的转动惯量相加。
这种方法适用于任何形状的物体，但需要计算的小物体数量较大，具有较高的复杂度。
6. 对于不规则物体，可以使用轴绕定理求解物体绕轴转动的转动惯量。
轴绕定理指出，如果一个物体绕一个与其重心相切的轴旋转，那么它的转动惯量等于绕过绕该轴垂直于该轴的一个轴旋转时的转动惯量加上一个关于该轴的平行轴定理项。
最全的转动惯量的计算
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为 r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ ? r 2dm
dm为薄圆环的质量。以 ? 表示圆盘的质量体密度
dm ? ?dV ? ? ?2?rhdr
M+
2）分析受力矩
M0 J M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M 0 ? M1 ? J?
解：4）列方程：
M 0 ? M1 ? J?
? ? M 0 ? M1? M 0 ? a?
M+ M0
M1=–a?
d? ? M 0 ?J a?
dt
J
J
? 1 (ln M0 ? a? ) ? t
分离变量：
a
M0
Jd? dt?源自M0 ? a? J? ? ? d?
t dt ?
0 M 0 ? a?
解：对定滑轮 M ，由转动定律， 对于轴 O，有
RT ? J? ? 1 MR 2 ?
2
对物体 m ，由牛顿第二定律，
mg ? T ? ma
?
RO ?
M
T1
T2 a
mg h
滑轮和物体的运动学关系为 a ? R?
以上三式联立，可得物体下落的加速度为 a? m g m? M 2
物体下落高度 h时的速度
v ? 2ah ? 这时滑轮转动的角速度
? ?v?
R
4mgh 2m ? M
4m gh 2m ? M
R
例题3 一质量为 m、半径为 R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为 l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
高等数学转动惯量计算公式
高等数学转动惯量计算公式转动惯量是描述物体对旋转运动的惯性的物理量，它与物体的质量分布、形状以及旋转轴的位置有关。
在高等数学中，转动惯量的计算是一个重要的内容，可以通过不同的公式来求解。
本文将对转动惯量的计算公式进行详细介绍，并提供一些实际问题的解决思路，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、转动惯量的定义和基本概念转动惯量是描述物体对旋转运动惯性的物理量，用字母I表示。
它与质量分布和旋转轴的位置有关。
当物体绕一个轴线旋转时，旋转轴到物体的每个质点都有一个距离，这个距离与质点的质量成正比，用r表示。
转动惯量的定义公式为：I = ∑mᵢrᵢ²其中，mᵢ表示每个质点的质量，rᵢ表示旋转轴到该质点的距离。
二、转动惯量的计算公式及应用1. 刚体的转动惯量对于刚体来说，可以通过对各个质点的转动惯量进行求和，得到整个刚体的转动惯量。
当刚体的质量分布均匀时，可以使用以下公式进行计算：I = MR²其中，M表示刚体的质量，R表示围绕旋转轴的平行轴距离。
这个公式适用于质点系、棒、圆环等等旋转的刚体。
2. 平行轴定理和垂直轴定理平行轴定理和垂直轴定理是转动惯量的两个重要定理。
它们通过简化计算，使得转动惯量的求解更加方便。
- 平行轴定理：如果已知物体绕通过质心的轴的转动惯量为I₀，在平行于该轴且与质心所在平面距离为h的轴上的转动惯量为I₁，则物体围绕与质心平行轴的转动惯量I₂可以表示为：I₂ = I₀ + mh²其中，m表示物体的总质量。
- 垂直轴定理：如果已知物体绕通过质心轴的转动惯量为I₀，在与质心所在直线垂直且过该直线上某点P的轴上的转动惯量为I₁，则物体围绕通过该直线的转动惯量I₂可以表示为：I₂ = I₀ + MP²其中，M表示物体的总质量，P表示物体上任意一点到该直线的距离。
这两个定理在实际问题中的应用较为广泛，可以较快地求解旋转物体的转动惯量。
三、实际问题解决思路转动惯量的计算在物体的旋转运动以及力矩的分析中起到了关键作用。
圆盘转动惯量的三种计算方法
圆盘转动惯量的三种计算方法在物理学中，圆盘是一个常见的物体，它有许多应用，如车轮、飞盘、磨盘等。
在圆盘运动的过程中，转动惯量是一个重要的物理量，它反映了物体对转动的惯性程度。
本文将介绍圆盘转动惯量的三种计算方法，包括理论计算、实验测量和计算机模拟。
一、理论计算圆盘转动惯量的理论计算是通过数学公式计算得出的。
对于一个均匀密度的圆盘，转动惯量可以表示为I = (1/2)MR，其中M为圆盘的质量，R为圆盘的半径。
如果圆盘不是均匀密度的，则需要使用积分来计算转动惯量。
例如，对于一个半径为R，质量分布为p(r)的圆盘，转动惯量可以表示为I = ∫(0~R) p(r)r2πrdr。
通过这个公式，我们可以计算出任何形状和密度的圆盘的转动惯量。
二、实验测量实验测量是另一种计算圆盘转动惯量的方法。
通过实验测量，我们可以确定圆盘的质量、半径和转动惯量等重要参数。
这个过程通常包括以下步骤：1.测量圆盘的质量和半径。
2.将圆盘固定在转轴上，并用一个细线将另一端连接到圆盘的边缘。
3.用一个滑轮将细线拉直，并连接到一个重物。
4.测量重物下落的时间和下落的距离。
5.根据重物的质量、下落的时间和距离，计算圆盘的转动惯量。
这个实验可以用来检验理论计算的结果，也可以用来研究不同形状和密度的圆盘的转动惯量。
三、计算机模拟计算机模拟是一种新兴的计算圆盘转动惯量的方法。
通过计算机模拟，我们可以模拟任何形状和密度的圆盘的运动，并计算出它们的转动惯量。
这个过程涉及到以下步骤：1.使用计算机辅助设计软件设计出圆盘的形状和密度分布。
2.将圆盘的形状和密度分布输入到计算机模拟软件中。
3.模拟圆盘的运动，并计算出它的转动惯量。
计算机模拟可以大大缩短实验时间和成本，同时还可以分析不同参数对转动惯量的影响。
结论圆盘转动惯量是一个重要的物理量，它反映了物体对转动的惯性程度。
本文介绍了圆盘转动惯量的三种计算方法，包括理论计算、实验测量和计算机模拟。
这些方法各有优缺点，可以根据具体情况选择使用。
最全的转动惯量的计算资料
最全的转动惯量的计算资料转动惯量是描述物体的转动特性的物理量，它的计算涉及到物体的形状、质量分布以及围绕哪个轴进行转动等因素。
以下是最全的转动惯量的计算资料。
1.转动惯量的定义转动惯量（或称为角动量的惯性矩）是描述物体转动惯性大小的物理量，通常用字母I表示。
对于质量分布连续的物体，其转动惯量可以通过积分计算得到。
2.刚体的转动惯量刚体的转动惯量取决于物体的形状和围绕的轴。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I=(1/2)*m*r^2其中，I是转动惯量，m是质量，r是质量到转轴的距离。
3.基本几何体的转动惯量针对常见的几何体，转动惯量的计算公式如下：-线段绕自身一端转动：I=(1/3)*m*L^2其中，I是转动惯量，m是质量，L是线段的长度。
-圆环绕轴转动：I=m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是圆环的半径。
-矩形薄片绕轴转动：I=(1/12)*m*(a^2+b^2)其中，I是转动惯量，m是质量，a和b是矩形薄片的长度和宽度。
-矩形薄棒绕轴转动：I=(1/12)*m*(L^2+B^2)其中，I是转动惯量，m是质量，L和B是矩形薄棒的长度和宽度。
-圆盘绕轴转动：I=(1/2)*m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是圆盘的半径。
-球体绕直径转动：I=(2/5)*m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是球体的半径。
4.复杂体的转动惯量对于复杂形状的物体，转动惯量的计算可能需要使用积分方法。
下面是一些常见的复杂体的转动惯量计算公式：-绕X轴或Y轴对称的物体：I = ∫(r^2 * dm)其中，I是转动惯量，r是质点到转轴的距离，dm是质点的质量微元。
-长方体绕对称轴：I=(1/12)*m*(a^2+b^2)其中，I是转动惯量，m是质量，a和b是长方体的两个相邻边的长度。
-均匀圆环绕直径转动：I=m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是圆环的半径。
-均匀圆盘绕对称轴转动：I=(1/2)*m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是圆盘的半径。
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J dJ R 2r3hdr 1 R4h
0
2
m
R2h
代入得
J 1 mR2
2
J与h无关
一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2 Z2
其体积：
dV r2dZ (R2 Z 2)dZ
其质量： dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
J dJ
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ R2
F l ac f
纯滚动条件为： aC R
圆柱对质心的转动惯量为：
JC
1 mR2 2
联立以上四式，解得：
2F(R l) aC 3mR
由此可见
f R 2l F 3R
当l < R 2时，f > 0，静摩擦力向后；
当 l > R 2时，f < 0，静摩擦力向前。
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
8 R5 2 mR2
15
5m 4 R33源自（1）平行轴定理J D JC md 2
JC JD
d
C
z （2）薄板的正交轴定理
o
y
Jz Jx Jy
x
常见刚体的转动惯量
J mr 2 J mr2 / 2 J mr2 / 2 J m(r12 r22) / 2
J ml 2 /12 J mr2 / 2 J 2mr 2 / 5 J 2mr2 / 3
mg 0则 0
/ 2则 3g / 2L
M J
mg sin
1 mL2
3g sin
2L
3
N
Y
Z
XO
r
2）=？ 3g sin
2L
d d d dt d dt
mg d 3g sin( ) d 2L 2
d 3g cosd
2L
两边积分：
d
/2
3g
cosd
0
0 2L
2）=？
N
YZ
XO
r
d /2 3g cosd
0
0 2L
1 2
2
3g 2L
解：对定滑轮M，由转动定律， 对于轴O，有
RT J 1 MR2
2
对物体m，由牛顿第二定律，
mg T ma
RO
M
T1
T2 a
mg h
滑轮和物体的运动学关系为 a R
以上三式联立，可得物体下落的加速度为
a m g mM 2
物体下落高度h时的速度
v 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度
dl
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ r2dm
dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr
dJ 2r3hdr
M1=–a
d M 0 J a
dt
J
J
1 (ln M 0 a ) t
分离变量：
a
M0
J
d dt M 0 a J
d t dt
0 M 0 a 0 J
M0
a
at
e J
M0
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求：1 ）当杆与铅直方向成角时的角加速度：
例题1 求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端并和棒垂直。
解：(1) 在棒上离轴x处，取一长度元dx（如图所 示），如果棒的质量线密度为，则长度元的质
量为dm=dx，根据转动惯量计算公式：
J r2dm
A
Ox
dx
有
l
J0
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
变化的规律。
已知：M0 J M1= –a |t=0=
求：（t）=？
0
解： 1）以刚体为研究对象；
M+
2）分析受力矩
M0 J M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M0 M1 J
解：4）列方程：
M0 M1 J M 0 M1 M 0 a
M+ M0
v
R
4mgh 2m M
R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：设静摩擦力f的方向如 图所示，则由质心运动方程
F f maC
圆柱对质心的转动定律：
Fl f R JC
2 ）当杆过铅直位置时的角速度：
3 ) 当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。
N YZ
L
已知：m，L
XO
求：，，N 解：1）以杆为研究对
象
mg
受力：mg，N（不产生 对轴的力矩）
建立OXYZ坐标系
建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）
N
Y
M
Z
L
M mg L sin
XO
r
r故取JF正值沿。13Z轴m正2L2向，(1)
2l
d d d 3g sin d t d d t 2l
d 3g sind
2l
初始条件为：=0，=0
d
3g
s in d
0
2l 0
3g (1 cos )
2l
例题2 一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均 匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边 上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时 滑轮的角速度。
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止
开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈
角时的角加速度和角速度.
解:受力分析
取任一状态,由转动定律
M外
1 2
mgl sin
J
P o
J 1 ml2 3
3g sin