厦门大学《应用多元统计分析》试题A答案

1 2
⎟⎟⎠⎞
；
λ2 = σ 2 对应的单位特征根为 T2 = ⎜⎜⎝⎛
2 ,0,− 2
2 2
⎟⎟⎠⎞
；
百度文库( ) λ3 = 1−
2ρ
σ
2
对应的单位特征根为 T3
=
⎜⎜⎝⎛
1 2
,−
2 2
,
1 2
⎟⎟⎠⎞
，
因此，总体的主成分为：
Y1
=
1 2
X1
+
2 2
X2
+
1 2
X3
, Y2 =
2 2
X1
−
2 2 X3
如果 如果
W (X) ≥ ln d
，
W (X) < ln d
对比两判别规则，唯一的差别仅在于阈值点，距离判别用 0 作为阈值点，而 Bayes 判别用 ln d 。
当 q1 = q2 总体各自出现的概率的大小相等， C(1 | 2) = C(2 | 1) 即错判之后所造成的损失相
同时， d = 1 ， ln d = 0 ，则两者完全一致。因而距离判别是 Bayes 判别的一种特例。
−00.7.6439749⎟⎟⎞⎜⎜⎜⎛ 1.9633 − 0.1772⎟⎠⎜⎜⎝ 0.4479 ⎟⎞ − 0.3812⎟ − 0.1059⎟⎠
建立因子模型：
0.6795
⎟⎞
⎟
0.3572
⎟ ⎟
⎟⎠
X1 = 0.8757F1 − 0.1802F2 + 0.4479F3 X 2 = 0.8312F1 − 0.4048F2 − 0.3812F3 X 3 = 0.7111F1 − 0.6951F2 − 0.1059F3
=
In
0.731 0.269
=
0.999
≥
W
(X
)
因此 x ∈ G2 ，金融分析员不满足要求。
五、解： 1)
∑ ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) E Z =
E⎜⎛ ⎝
n i=0
ci X(i)
⎟⎞ ⎠
=
n i=0
E
ci X(i)
n
= ci E X(i)
i=0
n
n
= ci μ = μ ci = μ
, Y3
=
1 2
X1
−
2 2
X2
+
1 2
X3
。
四、解：利用 Bayes 判别法的最终规则进行判断：
W ( X ) = [x − (μ1 + μ2 )/ 2]′ ∑−1(μ1 − μ2 )
=
(2,0)×
1 3
×
⎜⎜⎝⎛
4 −1
−11⎟⎟⎠⎞ × ⎜⎜⎝⎛ −42⎟⎟⎠⎞ = −8
Ind
=
In
q2C(1| 2) q1C(2 |1)
⎣j
i
⎦
= E⎢⎡∑c j (Xi − E(Xi ))⎥⎤2 ≥ 0
⎣j
⎦
因此协差阵是非负定阵，相关阵也同理可证。命题成立。
2． 正确。
距离判别的规则是
⎧X ⎨ ⎩X
∈ G1 ∈ G2
, ,
如果 如果
W *(X) ≤ 0 ， W *(X) > 0
Bayes
判别的规则是
⎧ ⎨ ⎩
X X
∈ ∈
G1, G2 ,
得每一个综合变量是原变量的线性组合，即
Ui
=
a1(i ) x1(i )
+ a2(i)x2(i)
+
"
+
a
(i
p
)
x
(i
p
)
，
Vi = b1(i)x1(i) + b2(i)x2(i) + " + bp(i)x(pi) 。在 D(a(1)′ X (1) ) = D(b(1)′ X (2) ) = 1 的条件下，使得
所以， Z ～ N p (μ, c'cΣ) ，其中 c = (c1,", cn )' 成立。
六、相应分析指受制于某个载体总体的两个因素为 A 和 B ，其中因素 A 包含 r 个水平，即 A1, A2 ," Ar ；因素 B 包含 c 个水平，即 B1, B2 ," Bc 。对这两组因素作随机抽样调查，
多元统计分析 试卷Ａ(答案)
一、判断题 1． 正确
( ) 证明： ∀c = c1, c2 ,"cp ，
∑∑ c′∑c =
cic jσ ij
ji
= ∑∑cic j [E(Xi − E(Xi ))(Xj − E(Xj ))]
ji
= E⎢⎡∑c j (Xi − E(Xi ))∑ci (Xj − (E Xj ))⎥⎤
二、 解：
⎜⎛ λ1
⎟⎞
A
=
(l
1
,
l
2
,
l
3
)⎜
⎜⎜⎝
λ2
⎟ λ3 ⎟⎟⎠
⎜⎛ 0.6250 = ⎜ 0.5932
⎜⎝ 0.5075 ⎜⎛ 0.8757 = ⎜ 0.8312 ⎜⎝ 0.7111
− 0.2186 − 0.4911 − 0.8432
− 0.1802 − 0.4048 − 0.6951
0
( )( ) ρσ 2 = σ 2 − λ σ 4 − 2λσ 2 + λ2 − 2ρ 2σ 4 = 0
σ2 −λ
( ) ( ) 解得： λ1 = 1+ 2ρ σ 2, λ2 = σ 2, λ3 = 1− 2ρ σ 2
( ) λ1 = 1+
2ρ
σ
2
对应的单位特征根为 T1
=
⎜⎜⎝⎛
1 2
,
2 2
,
计算共因子的方差贡献得：
g12
=
λ1
= 1.9633;
g
2 2
=
0.6795;
g 32
=
0.3572 ，分别为公共因子
F1, F2 ,
F
对X
的贡
献，是衡量每个公共因子的相对重要性的尺度。
三、解：先求三元总体 X 的协方差阵 ∑ 的特征根，
σ2 −λ ∑ −λE = ρσ 2
0
ρσ 2 σ2 −λ
ρσ 2
b(1) 2
,"
,
b(1) q
)′
，最大特征根的平方根
λ1
即为两典型变量的相关系数，我们
称其为第一典型相关系数。
ρ (a(1)′ X (1) , b(1)′ X (2) ) 达到最大，则称 a(1)′ X (1) 、 b(1)′ X (2) 是 X (1) 、 X (2) 的第一对典型
相关变量。最大特征根
λ12
对应的特征向量为
a(1)
=
(a1(1)
,
a(1) 2
,",
a(1) p
)′
和
b(1)
=
(b1(1)
,
=
(n
−1)[
(n −1) p
n(X − μ0 )′S−1
n(X − μ0 )]
八、
( ) ( ) 在典型相关分析中 X (1) =
X
(1)
1
,
X
(1)
2
"
X
(1)
p
′
，
X
(2)
=
X 1(2 ) ,
X
(2
2
)
"
X
(2
q
)
′
是
两个相互关联的随机向量，分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量 Ui、Vi，使
i=0
i=0
Z 是 μ 的无偏估计量得证；
2) X1 "Xn 独立同分布于 N p (μ, Σ) ，
∑ ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) D Z
=
D⎜⎛ ⎝
n i=0
ci X(i)
⎟⎞ ⎠
=
n i=0
D
ci X(i)
n
= ci2D X(i)
i=0
n
= ci2 ∑ = c′c ∑ ，
i=0
且由（１）中结论可知 E(Z) = μ
得到一个 r × c 的二维列联表，记为 K = (kij )r×c ，主要目的是寻求列联表行因素 A 和列
因素 B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。基本思想为通过列联表的转换，使得因
素 A 和列因素 B 具有对等性，这样就可以用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平
的情况，把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，直观
地描述两个因素 A 和因素 B 以及各个水平之间的相关关系。 七、对于一个总体均值向量的检验，在协差阵已知时，构造如下统计量：
T02 = n(X − μ0 )′Σ−1(X − μ0 ) ~ χ 2 ( p) ；
在协差阵未知时，构造如下统计量：
(n
−1)
−
p
+1 T
2
~
F( p, n
−
p)
，其中 T 2