数字图象处理 第5章 图像复原

这里Hi 是1个N×N循环矩阵。因为H中的每一块 是循环标注的，所以这里H是块循环矩阵。
1.2 图像的退化模型
例：设
1 4 f 2 5 3 6
1 2 3 4 ，h 5 6 7 8
若忽略噪声，
求退化模型。 解：周期延拓M＝4，N＝5
1 2 fe 3 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0
第五章 图像复原


图像复原（恢复）是图像处理的主要内容之 一，目的在于消除或减轻在图像获取及传输 过程中造成的图像品质下降即退化现象，恢 复图像的本来面目。 退化包括由成像系统光学特性造成的畸变以 及噪声和相对运动造成的模糊等情况。恢复 图像的质量，不仅根据人的主观感觉来判断， 也可以用一些客观标准来衡量。
2 ˆ ||2 ( g Hf ) T ( g Hf ) ˆ ˆ J ( f ) || n || || g Hf
为最小
2.1无约束最小二乘方恢复
ˆ ˆ ˆ J ( f ) ( g Hf )T ( g Hf ) ˆ )T ( g Hf ) 2 H T ( g Hf ) 0 ˆ ˆ 2 ( g Hf ˆ ˆ ˆ f f f
第五章 图像复原



在一个图像系统中存在着许多退化源。一些 退化因素只影响一幅图像中某些个别点的灰 度，称为点退化。 而另外一些退化因素则可以使一幅图像的一 个空间区域变得模糊，称为空间退化。 此外还有数字化器、显示器、时间、彩色、 以及化学作用引起的退化。
第五章 图像复原



在宇航、遥感、天文和侦察照片中，退化可 能是由大气扰动、光学系统的象差、相机和 对象之间的相对运动等引起的； 电子显微图片中的退化，常常是由电子透镜 的球面象差引起的； 医学射线图片的退化，是由射线图像系统本 身特性所导致的低分辨率和低灰对比度引起 的。
（注①：若a(x),b(x) 为m维列向量，X为n维列
d daT dbT T 向量，那么： (a b) b a dX dX dX
注②：
dX T I dX
dX I T dX
）
ˆ 那么： f H 1 g
ˆ 若H已知，则可根据上式求出 f 。
2.2逆滤波（频域恢复方法）

ˆ 可以证明，对 f H 1 g 两边分别取傅立叶变换，
1.2 图像的退化模型
根据这个模型恢复图像就是要在给定g(x,y) 和代表退化的H的基础上得到对f(x,y)的某个 近似的过程。
1.2 图像的退化模型
1-D情况下： 假设对两个函数f(x)和h(x) 进行均匀采样， 其结果放在尺寸为A和B的两个数组。我们借 助卷积计算g(x)。为了保证卷积后的结果不 发生重叠，将f(x)和h(x)延拓，延拓后的f(x) 和h(x)的周期均为M，周期M≥A+B-1，用fe(x) 和he(x)表示，它们的卷积为：
第五章 图像复原
图像复原所包括的主要内容如图所示
图像复原
代数恢复方法 ●无约束最小二乘法 ●有约束最小二乘法 －能量约束 －平均约束 －均方误差最小 （维纳滤波） －最大熵约束
频域恢复 ●逆滤波 ●维纳滤波 ●功率谱均衡 ●几何平均
其它 ● 卡尔曼滤波 ● 运动模糊恢复 ● 几何畸变消除
第五章 图像复原
g e ( x ) f e ( x ) he ( x ) f e ( m)he ( x m)
m 0 M 1
1.2 图像的退化模型
用矩阵表示：
g e (0) he (0) g (1) h (1) e e g Hf g e ( M 1) he ( M 1) he ( 1) he (0) he ( M 1) f e (0) he ( M 2) f e (1) he (0) f e ( M 1)
he ( M 2)
1.2 图像的退化模型
根据he(x)的周期性he(x)＝he(x＋M)，所以
he (0) h (1) H e he ( M 1) he ( M 1) he (0) he ( M 2) he (1) he (2) he (0)
H2=H3=0
2.无约束恢复方法
在这一节我们要利用线性代数的方法，根据 退化模型
g Hf n
，在假定具备关于g、 H和
n的某些知识的情况下，寻求估计原图像f的 某些方法。这种方法应在预先选定的最佳准 则下，具有最优的性质。
2.无约束恢复方法

我们将集中讨论在均方误差最小意义下，原图 像f的最佳估计，因为它是各种可能准则中最 简单易行的（其他准则例如：图像g和原图像f 的最大绝对误差max|f-g|最小；平均绝对误差
1.1 物理退化模型
(a)图表示一般的点的非线性退化。在拍摄照
片时，由于曝光量和感光密度的非线性关系，
就可以引起这种非线性退化。（由于曝光不
足或过分引起饱和，引起显影的显著模糊。）
1.1 物理退化模型
(b)是一种空间模糊退化模型。对许多实用的
光学成像系统来说，由于孔径衍射产生的退
化可用这种模型表示。
1.2 图像的退化模型
h( 2) h(1) h(0) h(1) h(0) h ( 2) h( 2) h(1) h(0) H h( 2) h(1) h(0) h( 2) h(1) h(0) h( 2) h(1) h(0)
其中未列出的元素均为零。
)
2.2逆滤波（频域恢复方法）

对
ˆ (u, v ) G (u, v ) ，若H(u,v)在uv平面上取零 F H ( u, v )
或很小，就会带来计算上的困难。

另一方面，噪声还会带来更严重的问题。
1.1 物理退化模型
(c)表示了由于旋转运动引起的退化的模型。
事实上，运动还可以是平移或二者兼之。
1.1 物理退化模型
(d)表示了由随机噪声引起的退化的模型。
1.1 物理退化模型
其中，除了第四种是随机的外，其余3种都
是确定的。4种中，除第一种仅具有移不变
性(模糊情况不因图像空间位臵和作用时间 而改变)外，其余3种均是线性、移不变的 [ 若x(t)->y(t)，那么x(t-t0)->y(t-t0) ]。 为了用数学方法研究图像的恢复问题，下面 我们进一步建立退化图像的数学模型。
5 6 H 1 7 8 0 0 8 7 6 5 0 8 7 6 5 0 8 7 6 5 0 8 7 6 5
其中：
1 2 H 0 3 4 0
0 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 4 3 2 1
其中H为MN×MN维矩阵。
1.2 图像的退化模型
每个Hi是由扩展函数he(x,y)的第i行循环构成
he (i,0) h (i,1) Hi e he (i, N 1) he (i, N 1) he (i,0) he (i, N 2) he (i,1) he (i,2) he (i,0)
1.2 图像的退化模型
将结果推广到2-D：
f ( x, y ) f e ( x, y ) 0 0 x A 1和0 y B 1 A x M 1或B y N 1
h ( x , y ) he ( x, y ) 0
M 1 N 1 m 0 n 0
1.2 图像的退化模型
图像的退化和恢复模型如下图所示。
n( x, y )
f ( x, y )
h( x, y)
＋
g ( x, y )
图像的退化由系统特性和噪声两部分引起。在这个 模型中，图像退化过程被模型化为一个作用在输入 图像f(x,y)上的系统H。它与一个加性噪声n(x,y)的 联合作用导致产生退化图像g(x,y)。
1 5 he 0 0 2 3 4 0 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1.2 图像的退化模型
H 0 H 1 H H 2 H 3 H 3 H 2 H1 H0 H3 H2 H1 H 0 H 3 H 2 H1 H 0
可以得出：
G ( u, v ) ˆ F ( u, v ) H ( u, v )
这就是逆滤波法。所以逆滤波法是无约束最小二
乘法的频域解。
ˆ 对 F (u, v) 取傅立叶反变换，就可求出恢复后的图
像。
2.2逆滤波（频域恢复方法）

（根据图像退化模型： g( x, y) h( x, y) * f ( x, y) n( x, y)
1.2 图像的退化模型
考虑到噪声，将延拓为M×N的噪声项加上，上式变为：
g e ( x, y )
m 0 M 1 N 1 n 0
f
e
(m, n )he ( x m, y n ) ne ( x, y )
令f、g和n代表MN×1维的列向量，这些列向量分别是 M×N维的fe(x,y) 、ge(x,y)和 ne(x,y)的各个行堆积 而来的,例如f的第一组N个元素是由fe(x,y)的第一行 元素。上面卷积可表示为：
g Hf n
1.2 图像的退化模型
用矩阵表示为：
H 0 H g Hf n 1 H M 1 H M 1 H0 H M 2 H 1 f e (0,0) ne (0,0) n (0,1) H 2 f e (0,1) e H 0 f e ( M 1, N 1) ne ( M 1, N 1)
G(u, v ) H (u, v )F (u, v ) N (u, v )
两边取傅立叶变换,有 由此可得：
G ( u, v ) N ( u, v ) F ( u, v ) H ( u, v ) H ( u, v )
在噪声未知和不可分离的情况下，可近似取
ˆ ( u, v ) G ( u, v ) F H ( u, v )
本章主要内容： 1 . 退化模型 2 . 无约束恢复 3 .有约束恢复 4 . 图像的几何校正 5. 由投影重建图像
1、退化模型
1.1 物理退化模型 要去掉退化，首先必须清楚和退化相 关的某些知识，然后用相反的过程去 掉它。就是说，首先要建立退化图像 的数学模型，并了解使原图像退化的 等效系统模型。常见退化的物理模型 一般分为4种：
| f g | dxdy 最小；f和g互相关为最大等等。
2.1无约束最小二乘方恢复

由退化模型g=Hf+n，其中f,g为堆叠向量。如 果关于n我们一无所知，那么我们寻找f的一个 估计值
f
，使
Hf
在最小二乘意义上近似于g。
在无约束条件下，就是n无条件的小。这一问 题等效地看为求准则函数：
这里H是一个循环阵（每行最后1项等于下1行 最前1项，最后1行最后1项等于第1行最前1项）
1.2 图像的退化模型
例：1—D退化系统计算示例：
退化系统由H决定，这里H为一个循环矩阵。 对A＝4和B＝3，可取M＝6。这时需要在f(x) 后补2个为零的元素，在h(x) 后补3个为零的 元素。H为6×6的矩阵。x＝3，4，5时，有 he(x)＝0，x＝0，1，2时，有he(x)＝h(x)。
0 x C 1和0 y D 1 C x M 1或D y N 1
则它们的离散卷积定义为：
g e ( x, y )
f
e
(m, n )he ( x m, y n )
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x=0,1,…,M-1,y=0,1,…,N-1 式中：M=A+C-1；N=B+D-1