3.4.1函数与方程 学案(含答案)

3.4.1函数与方程学案（含答案）

3.4函数的应用

3.4.1函数与方程学习目标

1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程的解的关系.

2.会求函数的零点.

3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数知识点一函数的零点概念1一般地，我们把使函数yfx的值为0的实数x称为函数yfx的零点2方程.函数.图象之间的关系方程fx0有实数根函数yfx有零点函数yfx的图象与x轴有交点提示函数的零点不是点，而是一个实数，当自变量取零点时，函数值为零知识点二零点存在性定理一般地，若函数yfx在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且fafb0，则函数yfx在区间a，b上有零点提示定理要求具备两条函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；fafb0.知识点三一元二次方程根的分布设x1，x2是一元二次方程ax2bxc0a，b，cR，且a0的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表m，n，p为常数，且mnp根的分布图象满足的条件x1x2m两根都小于mmx1x2两根都大于mx1mx2一根大于m，一根小于mfm0x1，x2m，n 两不等实根位于m，n之间mx1nx2p两根分别位于m与n，n与p 之间只有一根在m，n内，另一根不与m，n重合或fmfn0题型一求函数的零点例11求函数fx的零点；2已知函数fxaxba0的零点

为3，求函数gxbx2ax的零点解1当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2lnx0，解得xe

2.所以函数fx的零点为3和e

2.2由已知得f30即3ab0，即b3a.故gx3ax2axax3x1a0令

gx0，即ax3x10，解得x0或x.所以函数gx的零点为0和.反思感悟函数零点的求法1代数法求方程fx0的实数根2几何法对于不能用求根公式的方程fx0，可以将它与函数yfx的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪训练1函数

fxlgx2lgx的零点为______________________________________考点函数零点的概念题点求函数的零点答案x1或x10解析由

lgx2lgx0，得lgxlgx10，lgx0或lgx1，x1或x

10.题型二判断函数零点所在区间例21函数fxlnx1的零点所在的大致区间是A3,4B2，eC1,2D0,1答案C解析因为f1ln20，

f2ln310，且函数fx的图象在0，上连续，所以函数的零点所在区间为1,2故选

C.2根据表格内的数据，可以断定方程exx30的一个根所在区间是x10123ex0.37

12.7

27.39

20.08x323456

A.1,0B0,1C1,2D2,3答案C解析构造函数fxexx3，由上表可得f

10.37

21.630，f01320，f

12.72

41.280，f

27.39

52.390，f3

20.086

14.080，f1f20，所以方程的一个根所在区间为1,2故选

C.反思感悟判断函数零点所在区间的三个步骤1代入将区间端点值代入函数求出函数的值2判断把所得的函数值相乘，并进行符号判断3结论若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点跟踪训练2若函数fxxaR在区间1,2上有零点，则a 的值可能是A2B0C1D3答案A解析fxxaR的图象在1,2上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a2时，f11210，f22110，故fx在区间1,2上有零点，同理，其他选项不符合，选

A.题型三函数零点个数问题例3求函数fx2xlgx12零点的个数解方法一f010210，f12lg220，又fx2xlgx12在1，上为单调增函数，fx在0,1上必定存在零点故函数fx有且只有一个零点方法二在同一坐标系下作出hx22x和gxlgx1的草图由图象知gxlgx1的图象和hx22x的图象有且只有一个交点，即fx2xlgx12有且只有一个零点反思感悟判断函数零点个数的方法1可以利用零点存

在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数2利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数跟踪训练3求函数fxlnx2x6零点的个数解方法一由于f20，f30，且fx在区间2,3内连续，又f2f30，说明这个函数在区间2,3内有零点又因为函数fx在定义域0，内是单调增函数，所以它仅有一个零点方法二通过作出函数ylnx，y2x6的图象，观察两图象的交点个数得出结论也就是将函数fxlnx2x6的零点个数转化为函数ylnx与

y2x6的图象交点的个数由图象可知两函数有一个交点，即函数fx 有一个零点例4已知函数fxx22ax4，在下列条件下，求实数a的取值范围1一个零点大于1，一个零点小于1；2一个零点在0,1内，另一个零点在6,8内解1函数fxx22ax4的一个零点大于1，一个零点小于1，设fxx22ax4，结合二次函数的图象与性质及零点的存在性定理得f152a0，解得a.2函数fxx22ax4的一个零点在0,1内，另一个零点在6,8内，结合二次函数的图象与性质及零点的存在性定理得解得a.反思感悟讨论一元二次方程的根在区间的分布情况一般需从四个方面考虑判别式；开口方向；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置跟踪训练4若函数

fxx22mx2m1在区间1,0和1,2内各有一个零点，则实数m的取值范围是________答案解析函数fxx22mx2m1的零点分别在区间1,0和1,2内，即函数fxx22mx2m1的图象与x轴的交点一个在1,0内，一个在1,2内，根据图象列出不等式组解得m，实数m的取值范围是.1方程fxgx的根是函数fx与gx的图象交点的横坐标，也

是函数yfxgx的图象与x轴交点的横坐标2在函数零点存在性定

理中，要注意三点1函数是连续的；2定理不可逆；3至少存在一个零点3解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种1用定

理；2解方程；3用图象4函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础1下列函数没有零点的是

Afx0Bfx2Cfxx21Dfxx答案B解析对于选项B，fx2表示对任意实数x，函数值都等于2，不存在x使fx0，fx2无零点2方程x3x10的一个根存在的区间可能是A0,1B1,2C2,3D3,4答案A解析原方程可化为x3x1，由yx3与yx1的图象图略知两函数图象的交点在0,1

之间，故原方程的一个根在0,1之间3函数fx2x2ax3有一零点为，则f1________.答案0解析是fx的零点，22a30，a5，

fx2x25x3，f

10.4若fxxb的零点在区间0,1内，则b的取值范围为

________答案1,0解析fxxb是增函数，又fxxb的零点在区间0,1内，1b0.5已知函数fxx2x2a.1若a1，求函数fx的零点；2若fx 有零点，求实数a的取值范围解1当a1时，fxx2x

2.令fxx2x20，得x1或x

2.即函数fx的零点为1和

2.2要使fx有零点，则18a0，解得a，所以a的取值范围是.

一.选择题1下列图象表示的函数中没有零点的是答案A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x