江苏省沭阳县建陵高级中学2014届高三上学期第一次质量检测数学试题 Word版含答案

F
E
D 1
C 1
B 1B C
D
A 1A
建陵中学2013—2014学年度上学期高三年级第一次质量检测
数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．
2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 参考公式：
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑，其中1
1n i i x x n ==∑．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合}{|1A x x =≤，}{
|0B x x =>，则A B =___▲___.
2．已知)0,2
(π
α-
∈，53cos =
α，则=+)4
tan(π
α ▲ ． 3．设复数z 满足i 12i z =+（i 为虚数单位），则||z =___▲___.
4．已知)2,1(=→
a ，)log ,2(2m
b -=→
，若→
→→→=⋅b a b a ，则正数m 的值等于 ▲ ．
5．样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝___▲___.
6．已知双曲线2
2
1(0)y x m m
-=>的离心率为2，则m 的值为 ___▲___． 7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为___▲___.
8．已知函数n m
y x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．
9．已知实数x ，y 满足不等式组0,0,26,312
x y x y x y ⎧⎪⎪
⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则2z x y =+的最大值是 ▲ ．
10．已知函数2
,
0,()2,0
x x f x x x x -⎧=⎨
->⎩≤，则满足()1f x <的x 的取值范围是___▲___． 11．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，
点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，11
3CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥
E B -
和F ABD -的体积比
E BCD
F ABD
V V --= __▲__.
12．已知P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C
：
T ←1
i ←3
While T <10
T ←T +i i ←i +2 End While
Print i
E
F
A
B
C
D
P
2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ▲ ．
13．设函数22(0)
()log (0)
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数[()]1y f f x =-的零点个数为 ▲ ．
14．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲___. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写
在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C
所对的边，且a =3b =，sin 2sin C A =． （1）求边c 的值； （2）求sin(2)3
A π
-的值．
16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P ABCD -
的底面为矩形，AB ，1BC =，,E F 分别是,AB PC 的中点，
DE PA ⊥．
（Ⅰ）求证：EF
平面PAD ；
（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．
17．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足：121,(0),a a a a ==>数列{}n b 满足：*2()n n n b a a n N +=∈ （1）若数列{}n a 是等差数列，且345b =，求a 的值及数列{}n a 通项公式； （2）若数列{}n a 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18．（本小题满分16分）
已知向量33(cos
,sin )22a x x = ，(cos ,sin )22x x b = -，且0,2x π⎡⎤∈ ⎢⎥⎣
⎦， 求：（1）a b ∙及a b +； （2）若()2f x a b a b λ=∙-+的最小值是3
2
-，求λ的值.
19．（本小题满分16分）
如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知60AB m =，80BC m =，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α． （Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．
20．（本小题满分16分） 已知函数2()ln ,a
f x x a x
=+
∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．
l 2
l 1
数学 （ 附加题） 2013.10
注意事项：
1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．
2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 21．【选做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
已知矩阵A =2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，B =1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵1
-A B ．
姓名 学号 线 答 题 ）
C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X 为选取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．
23．（本小题满分10分）
如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边4AB =，点D 在线段AC 上，DE ⊥
AB 于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图（2））．
（Ⅰ）求证：PB ⊥
DE ； （Ⅱ）若PE ⊥
BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为0
30，求PE 长．
一卷数学参考答案及评分标准 2013.10
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．(0,1] 2．71-
3
4．161 5．3.2 6．3 7．9 8．1
3
9．425 10
．(1,1- 11．32
12．2 13．2 14．54
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分） 解：（1）根据正弦定理，
A a C c sin sin =，所以522sin sin ===a a A
C
c ……………… 5分 （2）根据余弦定理，得5
5
22cos 222=-+=bc a b c A ……………………… 7分
于是5
5
cos 1sin 2
=-=A A ……………………… 8分 从而54cos sin 22sin =
=A A A ……… 10分，5
3sin cos 2cos 2
2=-=A A A ……12分
所以
3
343
sin
2cos 3
cos
2sin )3
2sin(-=
-=-
π
π
π
A A A …………………… 14分
16．（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，
因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点， 所以FG ∥CD ，且1
2
FG CD =． ……… 2分
又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形． … 5分 所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，
故EF ∥平面PAD ． ……… 7分 （Ⅱ）设AC
DE H =，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得
1
2AG AE CG CD ==， 又因为AB =，1BC =，所以AC =，13AG AC ==．
所以AG AB AE AC ==
，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆． 所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． ……… 10分 又DE PA ⊥，PA
AC A =，
所以DE ⊥平面PAC ． ……… 12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． …… 14分 17．解 （1）因为{}n a 是等差数列，1d a =-， 1(1)(1)n a n a =+--…………2分
[12(1)][14(1)]45a a +-+-=，解得3a =或7
4
a -=
（舍去），…………5分 21n a n =-．……………7分
（2）因为{}n a 是等比数列，q a =，1n n a a -=，2n n b a =．…………9分 当1a =时，1n b =，n S n =；…………11分
当1a ≠时， 222
(1)
1n n a a S a -=-．………………………14分
18. （本小题满分16分）
解：(1)x x
x x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos
=⋅-⋅=⋅ …………………………2分 x x x x x 2
22cos 22cos 22)2
sin 23(sin )23cos 23(cos ||=+=-++=+……… 6分
x b a x x cos 2||],1,0[cos ],2
,
0[=+∴∈∴∈π
………………………………8分
⑵2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即 ………………… 10分
.1cos 0],2
,0[≤≤∴∈x x π
①当0<λ时，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾；11分
②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得
2
1
,23212=-=--λλ解得；13分
③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ 时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得3
142
λ-=- 解得85=
λ，这与1>λ相矛盾，15分综上所述，2
1
=λ为所求.………… 16分 注意：没分类讨论扣2分
19．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得4
(0tan )3
MEF αα∠=≤≤，
故有60tan MF α=，60
cos EF α=
，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分 所以60(8060tan )12cos W αα
=-⨯+
⨯ … 5分 sin 18060120cos cos ααα
=-+ sin 28060cos αα-=-． ………… 8分
（Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=（其中004
0,tan )23πααα<=≤≤，
则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f ααααα
ααα
----'==．………… 10分
令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6
π
α=． ………… 11分
列表
所以当6
α=
时有max ()f α=min 80W =+ 15分
答：排管的最小费用为80
+6
π
α=． ……… 16分
20．
（本小题满分16分） 解：（1）∵2()ln a f x x x =+
，∴212()a
f x x x
'=-．……………………1分 ∵()f x 在[2,)+∞上是增函数，
l 2
l 1
∴212()a
f x x x
'=
-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x 在[2,)+∞上恒成立．………………… 4分
令()2x
g x =，则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞．
∵()2
x
g x =在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g ==． ∴
1≤a ．所以实数a 的取值范围为(,1]-∞． …………………7分 （2）由（1）得2
2()x a
f x x -'=，[1,]x e ∈．
①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．
所以()min
(1)23f x f a ===⎡⎤⎣⎦，解得32
a =（舍去）． ………………10分 ②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =．当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)a 上是减函数，当2a x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a e 上是增函数． 所以()()min
2ln(2)13f x f a a ==+=⎡⎤⎣⎦，解得2
2
e a =（舍去）．……………13分
③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数． 所以()()min 213a
f x f e e ==+=⎡⎤⎣⎦，所以a e =．
综上所述，a e =． …………………16分
附加题
21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B ．选修4—2：矩阵与变换
解：设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， ………………… 1分 即22a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， …………… 4分 故1,0,0,12a b c d ====，从而A 的逆矩阵为1
-A =10201
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
． ……… 7分
所以1
-A B =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1
1222
5⎡⎤-⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
． …… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程
解：由225ρ=得曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． …………… 2分
由4cos ρθ=得曲线C '的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． …… 5分
曲线C 表示以()0,0为圆心，5为半径的圆；曲线C '表示以()2,0为圆心，2为半径的圆．
因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………… 8分 所以圆C 和圆C '的位置关系是内含． ……………10分
…………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
依题意，X 所有取值0，1，2． P （X=0）=，P （X=1）=
=，P （X=2）=
=
．
X 的分布列为：
EX=
．
，
，
的法向量
∴
是面∵
∴，即，或的长为。