多重网格算法

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• 将上式变形得：
1 1 2 1 n n+1 1 1 2 1 n n ∆s − 2 ∇ + 2 ωi, j qi, j = ∆s + 2 ∇ − 2 ωi, j qi, j
• 即： Lq
n +1 i, j
= f
1 1 2 1 n •其中： L = − ∇ + ωi, j ∆s 2 2 1 1 2 1 n n f = + ∇ − ωi, j qi, j 2 ∆s 2
一、发展过程
• 80年代，多重网格算法基本成熟，只是收 敛性证明远远落后于实际计算的效果，尤 其对于比较复杂的问题。 • 进入 年代后，由于 进入90年代后，由于O.Widlund，J.Bramble ， 等人的努力，视所有迭代方法为子空间校 正，将多重网格算法融入新的理论框架中， 从而使得传统多重网格技术焕发出强大生 命力和应用前景。
•多次重复1、2过程直至结果收敛。
谢 谢。
三、基本思想—三大支柱
• 细网格松弛 • 粗网格校正 • 套迭代技术
四、多重网格方法的计算步骤
• 二维扩散方程：
∂q 2 = ∇ q − ωq ∂s
• 差分式：
q
n +1 i, j
−q
n i, j
∆s
1 2 n+1 1 2 n n +1 = ∇ qi, j − ωi, j + ∇ qi, j − ωin, j 2 2
一、发展过程
• 参考文献：
[1]J.Bramble , J.Pasciak ,J.Xu . Parallel Multilevel put.,1990,55(191):1-22. [2]A.Brandt . Multilevel adaptive solutions to boundary value put.,1997,31. [3] J.Xu . Iternative methods by space decomposition and subspace correction，SIAM Reveiem,1992,34(4):581-613
• 1、设定初值
(n) 对 Lhuh=fh作1～2次迭代，得近似解： h
u
(n) h
u
h
H
两层“ 循环多重网格方法 两层“V”循环多重网格方法
两层V循环多重网格方法的计算步骤
2、粗网格修正：
Lhuh=fh
a.计算细网格上的亏损量：
d = fh − Lh u
n h
n h
Lh (uh − u ) = LhVh
n h
b.从细网格到粗网格转移亏损量：
d =I d
n H
H n h h
两层V循环多重网格方法的计算步骤
c.在粗网格上精确求解修正量：
n n H H H d.由粗网格到细网格转移修正量：
n h n h H H e.计算细网格修正后的量：
L V =d
V =I V
n h n h
ˆ u = u +V
n h
多重网格算法
全广艳 2012年 2012年5月10日 10日
一、发展过程 二、已取得的成果和待扩充领域 三、基本思想 四、多重网格方法的计算步骤
一、发展过程
• 多重网格算法是一种迭代方法。它兴起于最 近20年，最初可追溯到Southwell的两层网格 松驰方法，然后Fedorenko和Bachvalov将其 推广到多层，并指出潜在的快速收敛性。 • 进入70年代中期，A.Brandt和W.Hackbusch 的工作才标志着多重网格算法研究的全面 开始。
多重网格方法的计算步骤
M M-1 M-2 M-3 M-4
两层“ 循环 两层“V”循环 多重网格方法
多层“ 循环 多层“V”循环 多重网格方法
完全多重网 格方法
两层V循环多重网格方法的计算步骤
• 设网格步长分布为H和h 且 H=2h, 求解的方程为： Lhuh=fh
h H
两层V循环多重网格方法的计算步骤
二、已取得的成果和待扩充领域
• 多重网格算法经过近20年的研究，在经典 应用领域—线性和非线性、标量和非标量 椭圆型问题取得了丰硕的成果。 • 八十年代开始已深入到计算流体力学 （CFD），时间相关问题、波动方程、积 分方程等领域。
二、已取得的成果和待扩充领域
• 多重网格算法也其他领域也取得大量成果， 如统计物理中的快速Monte-Carlo方法、 积分变换、图象处理等等。 • 多重网格技术与别的领域中高效方法结合， 产生了许多新方法，如高精度谱多重网格 算法、处理非规则问题的代数多重网格方 法等等。