高等数学中常见的变量替换

目 录

引言………………………………………………………………(1) 一 极限运算中变量替换的应用………………………………………(1) (一) 对于

00(或∞

∞

)型极限………………………………………………(2) (二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限x

y n +∞→lim 的求法 (3)

(四) 求数列的极限...............................................................(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换 .......................................(6) (一) 三角函数代换............................................................(6) (二) 倒数代换..................................................................(7) (三) 指数代换..................................................................(8) (四) 不定积分⎰dx y f )(的计算，其中y 是由方程0),(=y x F 所确定的x 的函数.................................................................................(8) 三 定积分运算中常用的变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算...............(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。...................................................(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换..............................(12) 四 解微分方程中变量替换的应用技巧.................................(14) (一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用........................(14) (二) 求解齐次方程 中变量替换的应用 (15)

(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用 (15)

五重积分中变量替换的应用 (16)

(一) 二重积分计算中的变量替换 (16)

(二) 利用直角坐标系计算 (18)

(三) 利用柱面坐标系计算 (19)

(四) 利用球面坐标系计算 (19)

结束语 (19)

参考文献 (20)

高等数学中常见的变量替换

鲁友栋

（数学系 辽宁 中国）

摘要 变量替换是解决高等数学问题的重要手段。深入了解变量替换可以培养学生利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。本文通过几个实例详细介绍了“

”型，“∞-∞”型，数列等几种极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用。

关键词 变量替换 积分 极限

引言

在各种各样的数学运算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果，此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏”。作为未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求达到的目标。以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性。

一 极限运算中变量替换的应用

(一) 对于00（或∞

∞）型极限

若用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑用变量替换求解，常作的替换是令,...)2,1(,1

==

k x

t k 例1，求下列极限：

（1）100

1

02

lim

x e x

x -→ （2）dt e x

e x x t x

x ⎰++→101

02

2

11arctan lim 解：（1）直接用洛必达法则，得

原式102

109931

02

2

lim 5011002lim x e x x e x x x x -→→=⋅

= 此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！

考虑变量替换2

1

x u =

，得 原式0!

50lim ...50lim lim 4950=====+∞→+∞→+∞→u u u u u u e

e u e u ； （2）解：令x

u 1=，得 原式⎰⎰⎰+=+++=+=+∞→+∞→+∞→u u t u u u u t u u u

t u u ue

dt e ue ue dt e ue u dt

e u e u 0

20

2

22222

2

2

2lim 211lim arctan lim

2)1(2)21(2lim

242lim

2

2

2

2

2

2

2

2

222=++=+++=+∞

→+∞

→u u u u u u u u x e

u e u e

u e

e

e u e .

(二) 对于∞－∞型极限

此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必达法则求解，或用“抓大头”求解。（所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于＋∞最快的项）。但是对于一些特殊的例子，应用变量替换。[1]