高等数学中常见的变量替换
高等数学中常见的变量替换
目 录引言………………………………………………………………(1) 一 极限运算中变量替换的应用………………………………………(1) (一) 对于 00(或∞∞)型极限………………………………………………(2) (二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xy n +∞→lim 的求法 (3)(四) 求数列的极限...............................................................(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换 .......................................(6) (一) 三角函数代换............................................................(6) (二) 倒数代换..................................................................(7) (三) 指数代换..................................................................(8) (四) 不定积分⎰dx y f )(的计算，其中y 是由方程0),(=y x F 所确定的x 的函数.................................................................................(8) 三 定积分运算中常用的变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算...............(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。
考研数学：变量替换法
版权所有翻印必究/考研数学：变量替换法同学们都知道，在考研数学中极限的计算占有很大一部分比重，每年分值在10-15分之间，而在极限的计算中有一种非常重要的方法，即变量替换法——等价无穷小的替换，在这里我们就讲常见的等价无穷小替换公式及其证明方法为大家做一个整体呈现。
常见公式：当0x →时，sin arcsin tan arctan ln(1)1x x x x x x x e +- 21(1)1,1cos 2a x ax x x +-- ，以上公式就是我们在使用等价无穷小替换的时候常见的8个公式，大家一定要进行牢固的记忆，并且对于基本公式的证明也要熟记于心，以加强对变量替换法的理解，下面就给出大家完整的证明。
对于8个公式的证明首先需要用到高等数学中的两个重要极限，分别是100sin lim 1,lim(1),x x x x x e x→→=+=根据这两个公式就可以进行证明，首先1）先证明，当0x →时，sin arcsin x x x ：由于0sin lim1x x x →=，根据等价无穷小的定义知，sin x x ，又令arcsin t x =，则sin x t =，因此有00sin lim lim 1sin x t arc x t x t→→==，故得证arcsin x x 。
2）再证明，当0x →时，tan arctan x x x ：由于00000tan sin 1sin 1sin limlim lim lim lim 1cos cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→→==== ，根据等价无穷小的定义知，tan x x 。
又令arctan t x =，则tan x t =，因此有00arctan lim lim 1tan x t x t xt →→==，故得证arctan x x 。
3）再证明，当0x →时，ln(1)1xx x e +- ：这对公式的证明需要用到10lim(1),x x e →+=对等式的两端同时取对数，得100ln(1)limln(1)ln lim 1x x x x x e x→→++=⇒=，根据等价无穷小的定义知，ln(1)x x + ， 版权所有翻印必究又令1xt e =-，则ln(1)x t =+，因此有001lim lim 1ln(1)x x t e t x t →→-==+，故得证1x x e - 。
高考数学中的变量替换技巧与方法
高考数学中的变量替换技巧与方法高考是每个学生人生中最重要的考试之一，数学作为其中比较重要的科目之一，也让许多学生感到头疼。
当然，其中较为复杂的内容也让许多人深感困惑，很多学生认为数学涉及大量的公式和计算，而不是具有灵活性的思考方式。
然而，在数学中，变量替换技巧可以提高问题的解决效率，使数学的学习变得更加有趣和深入。
本文将为大家详细介绍高考数学中的变量替换技巧与方法。
I、变量替换的基本概念变量替换通常是以形式代数学为代表，其将问题转化为符合一般规律的表达式。
它不仅可以在求解过程中简化计算，而且可以让人们更好地理解数学的基本概念。
比如，把一个含有平方项的式子用变量替换成一个无平方项的式子，从而使问题变得更容易掌握。
因此，变量替换是数学学习中非常重要的内容。
II、变量替换的常见方法1、有理化分式在有理化分式中，一些常用的变量替换技巧可以让掌握的知识得到更灵活的使用。
例如，通过将分母用一次项代替 $x^2$，从而减少计算时的出错概率。
具体地说，对于一个含有$\frac{1}{x^2}$ 的式子，我们可以将其变为 $\frac{1}{x(x+1)} -\frac{1}{(x+1)^2}$ 的形式，这样通过变量替换可以让问题的简化力度得到提高。
2、配方法在配方中，变量替换的方法也经常被使用。
实际上，通过代入优化或变量替换的方法来求解问题是非常方便的。
例如，当解一个关于 $y$ 的方程时，我们经常会碰到类似于 $y^2+2y+1$ 的式子，这时我们不妨把 $y+1$ 替换为一个新的变量 $z$，即 $z = y+1$，也就是让 $y$ 用一个新的变量来表示，这样便可以转化为一元二次方程，方便计算。
3、三角函数变量替代对于三角函数的表达式，我们可以通过变量替换的方法来使其变得更加容易计算。
例如，对于 $\sin2x$ 这种形式的表达式，我们可以通过将 $2x$ 替换成一个新的变量 $z$，即 $z = 2x$，这样问题就可以转化为一个不包含三角函数的形式，更加符合人类思维逻辑，也更加容易解决。
高等数学中的多重积分计算技巧
多重积分在高等数学中是一个重要的概念和计算技巧。
它涉及到对多元函数在多个变量上的积分，是对一元函数积分的扩展和推广。
在计算多重积分时，可以运用一些技巧来简化计算和提高效率。
首先，需要了解多重积分的概念和性质。
多重积分可以分为定积分和不定积分。
定积分是指在一定的范围内对给定的函数进行积分。
不定积分是指对给定的函数进行积分，但没有具体的范围和上下限。
对于定积分，可以利用变量代换来简化计算。
变量代换即将积分变量换成其他变量，使得原来的积分变得更容易求解。
常用的变量代换方法有直角坐标系与极坐标系的转换、直角坐标系与球坐标系的转换、直角坐标系与柱坐标系的转换等。
通过适当选择不同的坐标系，可以消去一些变量，从而简化积分的计算。
对于不定积分，可以通过分部积分法、换元积分法等技巧进行计算。
分部积分法适用于需要对一个函数的乘积进行积分的情况，可以将乘积的积分变成两个函数的积分相减。
换元积分法可以通过适当的变量代换将原来的不定积分转化为一个更容易求解的形式。
另外，多重积分中还可以使用对称性等性质来简化计算。
如果被积函数具有对称性，可以将积分区域进行适当的对称分割，从而减少多重积分的计算步骤。
此外，还可以利用积分的可加性性质，将多重积分拆解成多个单重积分的和。
在实际应用中，多重积分经常用于计算物体的体积、质量、重心等物理量。
在计算这些物理量时，可以根据物体的几何形状选择适当的坐标系，并利用多重积分技巧进行求解。
总之，高等数学中的多重积分是一个重要的概念和计算技巧。
在计算多重积分时，可以利用变量代换、分部积分法、换元积分法等技巧进行简化和提高效率。
通过合理选择坐标系和利用对称性等性质，可以进一步简化计算。
多重积分在物理和工程等领域中有广泛的应用，可以用来求解物体的体积、质量、重心等物理量。
数学分析 重积分的变量替换变量替换公式
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:重积分的变量替换公式;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;球面坐标变换.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).一般的变量替换现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).断言:ϕ(∂A)为零测集,从而∂ϕ(A)亦然,于是ϕ(A)可求体积.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).为了研究ϕ(A)的体积,我们将ϕ线性化并做误差估计.引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .证明.在Bδ(x)中考虑函数F(y)=ϕ(y)−ϕ(x)−Jϕ(x)(y−x),则F(x)=0,JF(y)=Jϕ(y)−Jϕ(x).根据拟微分中值定理,存在ξ=x+θ(x −x)(0<θ<1),使得F(x ) = F(x )−F(x) ≤ Jϕ(ξ)−Jϕ(x) x −x ,由Jϕ在K上的一致连续性即可完成证明.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.证明.考虑仿射变换L(y)=[Jϕ(x)]−1(y−ϕ(x))+x,则L◦ϕ(x )=[Jϕ(x)]−1F(x )+x ,于是当x ,x ∈Bη(x)时L◦ϕ(x )−L◦ϕ(x ) ≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε] x −x .由B⊂Bη(x)可得ν(L◦ϕ(B))≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε]nν(B).再由仿射变化的体积变化公式即可完成证明.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.证明.不妨设A为矩形,且f非负.任给A的分割π={A ij},我们有ϕ(A)f=ijϕ(A ij)f≤ij[supϕ(A ij)f]ν(ϕ(A ij))证明(续).当分割充分细时,由之前的引理可得ϕ(A)f≤ijsupA ij[f◦ϕ]|det Jϕ(ξij)|ν(A ij)+O(ε),由Riemann和与积分之间的关系可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|+O(ε),令ε→0可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|.根据反函数定理,ϕ:D→ϕ(D)可逆.如果对ϕ−1重复上述论证就可得到另一边的不等式.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.解.积分区域是一个曲边的四边形,为了简化,我们令y 2/x =u ,xy =v ,则(u ,v )关于(x ,y )的Jacobi 行列式为∂(u ,v )∂(x ,y )= −y 2/x 22y /x y x =−3y 2/x =−3u ,因此(x ,y )关于(u ,v )的Jacobi 行列式为−(3u )−1.在这个变换下,积分区域变为矩形[p ,q ]×[a ,b ],因此I =q p d u b a v −(3u )−1 d v =16(b 2−a 2)ln q p.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.尽管如此,由于此变换在(0,+∞)×(0,2π)上是一一的且非退化,因此将前面的证明略作改动即知,积分的变量替换公式对这个变换仍然成立.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.解.作所谓的广义极坐标变换x=ar cosθ,y=br sinθ,r∈[0,1],θ∈[0,2π],其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=a cosθ−ar sinθb sinθbr cosθ=abr,因此所求面积为10d r2πabr dθ=πab.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π].我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.球面坐标和伸缩变换结合起来称为广义球面坐标变换.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.在一般的欧氏空间R n中也有类似的(广义)球面坐标变换.。
用变量替换法求解某些类型微分方程问题
用变量替换法求解某些类型微分方程问题高等数学的常微分方程这部分内容，许多类型题目求解都需要变量替换这一重要工具，下面就运用变量替换方法解几种类型的常微分方程。
一、在求解一阶显式微分方程中的应用一阶显式微分方程如果能化成可分离变量方程，求解问题就解决了，很多类型的一阶方程可以通过适当的变量替换化为可分离变量方程。
（1）齐次方程，通过变量替换，化为以为未知函数的可分离变量方程。
（2）准齐次方程，其中为常数，且，至少有一个不为零。
如果由方程构成的方程组的解为，则同时作函数与自变量的替换，将其化为以为函数，以为自变量的齐次方程，然后再将齐次方程化为可分离变量方程，达到求解齐次方程的目的。
（3）一阶线性方程，其中为已知函数。
该方程对应的齐次方程的通解为，作替换，以此作为原方程的解，代入原方程中得从中解出，进而完成原方程求解。
（4）伯努力方程，其中n≠0，1作替换，将方程化为以z为未知函数的线性方程然后再按线性方程作替换求解。
（5）黎卡堤方程。
若已知它的一个解为，则作代换，代入原方程化为以u 为未知函数的伯努力方程。
对黎卡堤方程，其中都是常数，且a≠0，则当m=0，－2，（k＝1，2…）时，可经过适当的变量替换化为可分离变量方程。
（6）其它形式的一阶方程对其他形式的某些一阶微分方程，可以根据方程自身特点，适当选取灵活的替换方法，将其化为可分离变量方程，例如：对方程；令对方程；令对方程二、在求解某些类型高阶微分方程中的应用在求解某些类型高阶方程时，可以通过变量替换化为较低阶微分方程，进而达到求解目的。
（1）形如的高阶方程。
如能从中解出，则有，分离变量积分，如解出次，可求得方程通解。
如不能解出可通过替换引进参数t，将都写成t的函数，即将原方程写成参数方程。
然后由关系式，求出方程的参数形式通解。
（2）形如的方程作替换，方程化为新未知函数阶方程，如能求得该方程的通解再积分k次，便得原方程的通解。
（3）的方程作替换，视y为自变量，则可将方程化为关于新未知函数的阶方程，从而可能求出原方程的解，特别是二阶方程，＝0，通过上述替换可化为一阶方程，再利用一阶方程求解的某些方法求解。
高数极限知识点总结大一学生
高数极限知识点总结大一学生高数极限知识点总结在大一学生学习高等数学的过程中，极限是一个重要的概念和知识点。
理解和掌握极限的概念对于后续学习微积分等相关内容非常重要。
本文将对大一学生需要掌握的高数极限知识点进行总结和概述。
一、极限的定义极限是数学中的重要概念，指的是当一个变量趋近于某个值时，函数在这个值附近的表现。
对于一般函数，极限的定义如下：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的ε（ε>0），都存在一个对应的δ（δ>0），使得当0 < |x-x0| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立，那么就称函数f(x)在x0处的极限为L。
二、极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)在点x0处存在极限，则该极限唯一。
2. 局部有界性：若函数f(x)在点x0处存在极限，则必然存在着它的一个去心邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界。
3. 局部保号性：若函数f(x)在点x0处存在极限且极限为L>0（或L<0），那么存在一个去心邻域，使得函数f(x)在该邻域内保持符号不变。
三、求解极限的方法1. 函数极限性质：函数的基本运算，包括四则运算、乘方运算、复合运算等。
2. 两个重要极限：〖lim〗_(x→∞) ((1+1/x)^x)=e 〖lim〗_(x→0) ((sinx)/x)=13. 无穷小量和无穷大量的关系：对于函数f(x)，当x趋近于某个值x0时，若f(x)的极限为0，则称f(x)是x→x0时的无穷小量。
四、常见的极限1. 基本初等函数极限：常数函数极限、幂函数极限、指数函数极限、对数函数极限、三角函数极限等。
2. 不定式极限：0/0型极限、∞/∞型极限、0*∞型极限、1^∞型极限等。
3. 复合函数极限：由若干个函数的运算和复合而成的函数的极限。
4. 变量替换法：常用的变量替换有有理函数的分子分母分别用t替换，指数函数与对数函数互为反函数等。
变量代换在高等数学中的应用
毕业论文（设计）论文（设计）题目：变量代换在高等数学中的应用姓名王中山学号 ***********院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级 12级应数一班指导教师翟鹏翔2016年04月20日新乡学院本科毕业论文（设计）目录1摘要变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一，属于数学方法的一种，变量代换就是把困难的问题先进行变量代换，使它转化成容易的问题。
变量代换在高等数学里是一项十分重要的实用方法，它不仅仅是一种解题技巧，也是一种非常重要的数学思维方法，这种方法几乎贯穿了高等数学的全部内容，它具有灵活性和多样性的特点。
本文通过对变量代换法在高等数学里面函数、极限、微分、积分以及级数运算中的应用进行了总结，对变量代换法的应用进行深入探讨与研究，分析了它的特点和技巧，以便科学地、准确地来解决在学习过程中遇到的一些数学问题，同时也能够让学生在学习高等数学的过程中充分地把握并能够熟练、灵活运用好变量代换这种方法，提高学生的解题能力以及应变能力。
关键词：变量代换法；函数；极限；微分；积分；级数AbstractVariable substitution method is one way to study and solve math problems, a mathematical transformation method belongs, that is going to solve the problem is not easy to be the first variable substitution to make the conversion. It's in the process of learning mathematics is a very important practical methods, not only is an important problem-solving skills, mathematical thinking is an important approach that has permeated the entire contents of the higher mathematics, with flexible Features and diversity. Based on the method of calculation of variable substitution in various sections of higher mathematics are summarized in the application of variable substitution method in the application of certain aspects of higher mathematics in-depth discussion, analysis of the characteristics and skills, in order to science, accurately apply this method to solve math problems, while allowing students to fully grasp in learning mathematics and proficient, flexible use of this method is good to improve students' problem-solving abilitiesKey words：Variable substitution method;function;limitation；differential；integral；series引言目前在高等数学中所提到变量替代法,实质就是将所得到的某些高数当中的式子看作是一个完整的有机整体,然后再使用一个其它的变量来进行代换,从而使将遇到的复杂问题变成简单的问题,换言之,就是用其去变量代换一串比较复杂的式子从而使将代数式的运算变得简单一些,其实这也就是我们在初高中学习的过程中经常使用曾经使用的一种方法----换元法。
高等数学万能代换公式
高等数学万能代换公式高等数学是大学数学的一门重要课程，其中万能代换公式是解决复杂数学问题的一种常用方法。
本文将对万能代换公式进行详细阐述，介绍其基本原理和常见应用。
一、什么是万能代换公式万能代换公式是一种在高等数学中解决复杂问题的常用方法，它通过巧妙地引入新的变量，将原问题转化为更简单的形式。
这种方法可以极大地简化数学问题的求解过程，提高解题的效率。
二、万能代换公式的基本原理万能代换公式的基本原理是通过引入新的变量，将原问题转化为一个更简单的形式。
在代换过程中，我们需要选择合适的新变量，使得原问题可以转化为一个更易于解决的形式。
三、万能代换公式的常见应用1. 三角代换三角代换是万能代换公式中常见的一种方法。
在解决涉及三角函数的问题时，我们可以通过引入新的三角函数变量，将原问题转化为一个更简单的三角函数问题。
2. 指数代换指数代换是万能代换公式中常见的另一种方法。
在解决涉及指数函数的问题时，我们可以通过引入新的指数变量，将原问题转化为一个更简单的指数函数问题。
3. 对数代换对数代换是万能代换公式中常见的又一种方法。
在解决涉及对数函数的问题时，我们可以通过引入新的对数变量，将原问题转化为一个更简单的对数函数问题。
4. 倒代换倒代换是万能代换公式中的一种特殊方法。
在解决一些特殊问题时，我们可以通过引入倒代换，将原问题转化为一个更易于解决的形式。
四、万能代换公式的优点和局限性万能代换公式的优点是可以将原问题转化为一个更简单的形式，从而简化解题过程，提高解题效率。
它可以应用于各种数学问题，包括微积分、线性代数等领域。
然而，万能代换公式也有一定的局限性。
首先，选择合适的新变量需要一定的经验和技巧，对于初学者来说可能比较困难。
其次，万能代换公式并非适用于所有数学问题，对于一些复杂的问题可能并不能得到有效的解决。
五、结语万能代换公式是高等数学中一种常用的解题方法，通过引入新的变量，将原问题转化为一个更简单的形式。
分析高中数学变量代换解题方法
分析高中数学变量代换解题方法高中数学中，变量代换是解题的一种重要方法。
当遇到复杂的方程或不等式问题时，通过变量代换可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
本文将从几个具体的例子出发，介绍高中数学中变量代换的解题方法，并分析其应用技巧。
我们来看一个典型的例子：例1：已知方程组\[ \begin{cases}x+y=3 \\x^2+y^2=5\end{cases}\]求 x 和 y 的值。
在这个例子中，我们可以通过变量代换来简化方程组的求解过程。
我们用 \( x+y \) 和 \( x^2+y^2 \) 的关系进行代换。
我们知道 \( x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \)，因此\( x^2+y^2=3^2-2xy=9-2xy \)。
将这个结果代入到第二个方程中，得到 \( 9-2xy=5 \)，即 \( xy=2 \)。
现在，我们得到了 \( x+y=3 \) 和 \( xy=2 \) 两个方程，可以用代数法或者直接列出可能的组合来求解。
我们可以列出 \( x=1,y=2 \) 或 \( x=2,y=1 \) 两种可能的解。
这样，通过变量代换，我们简化了原方程组的求解过程，快速得到了方程解。
例2：已知不等式 \( x^4+6x^2+9\geq0 \)，求 x 的取值范围。
在这个例子中，我们可以通过变量代换来简化不等式的求解。
我们可以令 \( x^2=y \)，则原不等式可以转化为 \( y^2+6y+9\geq0 \)，这是一个一元二次不等式，可以很快地求得其解。
解得 \( y\geq3 \)。
再将 \( x^2=y \) 代回原不等式，得到 \( x^2\geq3 \) 或 \( x^2\leq-3 \)。
这样，我们通过变量代换，将原问题简化为一个易于求解的形式，得到了不等式的解集。
通过以上两个具体例子，我们可以总结出变量代换的解题方法：1. 选择合适的代换变量。
在选择代换变量时，应该注意选择一个能够简化问题的代换，同时要考虑代换后问题的求解难度。
变量替换法应用
“变量替换法”在各类计算中的应用下面通过各类计算中的典型例子加以具体阐述“变量替换法”在高等数学教学中适用的各种运算问题类型。
1 在极限运算中的应用例1 求11110lim x x x x x e e e e +-→-+-． 分析：该极限看上去形式比较复杂，需要作化简处理，将函数中的一个单元(子函数1x e )作为一个整体进行变量替换，令1x eu =，该极限就变成为容易求解的等价极限形式，可使问题迎刃而解。
解：令1x e u =，则11x e u-=，且当0x +→时，x →+∞，于是 2211=lim lim 111u u u u u u u u →+∞→+∞++==--原式 例2 求 01lim x x a x→-． 分析：该极限看起来形式简单，但没有直接可利用的公式套用，需要进行变量替换，若令1x a u -=，可转化为对数形式的函数极限101lim log (1)u ua u →+，即可联系到第二个重要极限的结果来计算。
例3 求2222(,)(0,0)sin()lim (3)()x y x y xy x y →+++. 解：令22x y u +=，则(,)(0,0)x y =时，即0u →，于是(,)(0,0)01sin 11=lim lim (3)033x y u u xy u =→==++原式 这里，所引入的变量表示了一个二元函数。
2 在导数运算中的应用在导数运算中变量替换法主要用于复合函数(包括隐函数)的求导问题，根据链式法则，通过对复合函数复合关系的分析，引入中间变量，将复合函数拆成几个简单函数，使求导运算得以顺利进行。
这里所引入的变量表示的都是函数，且它们只起中间变量的作用，即在求导过程中，需要时引进来，求导完之后要回代，需要注意的是清楚地分析复合函数的复合关系、恰当地引入中间变量且弄清每个中间变量所表示的函数是运用该方法熟练进行求导的关健所在。
例4 求ln cos(1)y x =+的导数解：令cos(1)u x =+,1v x =+,则ln y u =，cos u y =，1v x =+ 于是''1sin(1)'(ln )(cos )(sin )tan(1)cos(1)u v x y u v v x u x -+==-==++ 注意：复合函数中间变量换元要分层次，引入不同的中间变量。
考研数学：变量替换法
版权所有翻印必究/考研数学：变量替换法同学们都知道，在考研数学中极限的计算占有很大一部分比重，每年分值在10-15分之间，而在极限的计算中有一种非常重要的方法，即变量替换法——等价无穷小的替换，在这里我们就讲常见的等价无穷小替换公式及其证明方法为大家做一个整体呈现。
常见公式：当0x →时，sin arcsin tan arctan ln(1)1x x x x x x x e +- 21(1)1,1cos 2a x ax x x +-- ，以上公式就是我们在使用等价无穷小替换的时候常见的8个公式，大家一定要进行牢固的记忆，并且对于基本公式的证明也要熟记于心，以加强对变量替换法的理解，下面就给出大家完整的证明。
对于8个公式的证明首先需要用到高等数学中的两个重要极限，分别是100sin lim 1,lim(1),x x x x x e x→→=+=根据这两个公式就可以进行证明，首先1）先证明，当0x →时，sin arcsin x x x ：由于0sin lim1x x x →=，根据等价无穷小的定义知，sin x x ，又令arcsin t x =，则sin x t =，因此有00sin lim lim 1sin x t arc x t x t→→==，故得证arcsin x x 。
2）再证明，当0x →时，tan arctan x x x ：由于00000tan sin 1sin 1sin limlim lim lim lim 1cos cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→→==== ，根据等价无穷小的定义知，tan x x 。
又令arctan t x =，则tan x t =，因此有00arctan lim lim 1tan x t x t xt →→==，故得证arctan x x 。
3）再证明，当0x →时，ln(1)1xx x e +- ：这对公式的证明需要用到10lim(1),x x e →+=对等式的两端同时取对数，得100ln(1)limln(1)ln lim 1x x x x x e x→→++=⇒=，根据等价无穷小的定义知，ln(1)x x + ， 版权所有翻印必究又令1xt e =-，则ln(1)x t =+，因此有001lim lim 1ln(1)x x t e t x t →→-==+，故得证1x x e - 。
浅谈变量代换法在高等数学中的应用
① 第 一 类换 元 积 分法
定 理 １ 设 ＿ ） 连 续 函 数 ， ＝ （ 及 其 妒 （ 存 在 厂 是 （ ） ）
的一 阶 微 分方 程 ， 一 步 可 求解 ． 种通 过 变量 代 换使 微 分方 进 这 程 降 阶的解 法还 适 用Ｙ ＝ （ ， 这类 方 程 ． 种情 形 仍 令 Ｙ ＝ ＿ｙＹ） 厂 此
法” 提高解题能力 ， ， 以求 科 学 、 确 地 应 用 此 方 法 解 决 数 学 准
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专 题 研 究
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浅谈变量伐换浚在 高等数学咿 庭
◎毛 海 勤 （ 州师 范大 学钱 江 学 院 杭 ３０ １ ） １０２
【 要 】 量 代 换 法 是 高 等 数 学 中一 种 重 要 的 数 学 方 摘 变
法．它 不仅 是 一种 重 要 的解 题 技 巧 ， 是 一 种 重 要 的 数 学 思 也 维 方 法． 文 对其 在 高 等 数 学 中的 应 用 作 一 探 讨 ， 析 其 特 本 分
用变量代换法解决问题的能力．
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【 考文献 】 参
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育 出 版 社 ，０ ７：５ ２ ０ ２ ９—３ ８ ０．
点 和 技 巧 ， 分 把 握 并 能 熟 练 、 活 地 运 用 好 “变 量 代 换 充 灵
变量替换 高等数学
变量替换高等数学
高等数学中的变量替换是一种常用的方法，它可以简化复杂的计算过程，加速求解的效率。
变量替换是将问题中的变量用新的符号表示，从而达到简化计算的目的。
例如，在计算某个函数的导数时，我们可以将函数中的自变量用新的符号表示，然后求导后再将新的符号替换回原来的自变量。
这样做的优点是，有时候用新的符号表示后，问题的形式会更加简单，导数也更容易求解。
变量替换的方法很灵活，可以根据问题的需要选择不同的符号进行替换。
通常情况下，我们会选择一些简单且易于处理的符号，比如常数、指数函数、三角函数等等。
需要注意的是，变量替换虽然可以简化计算过程，但也可能会引入新的困难。
因此，在进行变量替换时，要慎重考虑，避免出现错误。
同时，还要保持良好的思维习惯，不断练习和积累，才能更好地运用这种方法解决问题。
- 1 -。
高等数学中常见的变量替换
目 录引言………………………………………………………………(1) 一 极限运算中变量替换得应用………………………………………(1) (一) 对于00(或∞∞)型极限………………………………………………(2) (二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式,极限xy n +∞→lim 得求法 (3)(四) 求数列得极限...............................................................(4) 二 不定积分运算中常用得变量替换 .......................................(6) (一) 三角函数代换............................................................(6) (二) 倒数代换..................................................................(7) (三) 指数代换..................................................................(8) (四) 不定积分⎰dx y f )(得计算,其中y 就是由方程0),(=y x F 所确定得x 得函数.................................................................................(8) 三 定积分运算中常用得变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数得积分得微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数得定积分得计算...............(10) (三) 由三角有理式与其她初等函数通过四则运算或有限次复合而成得被积函数定积分得计算。
高等数学等价替换公式泰勒公式
应用高等数学等价替换公式1、无穷小量：设0）x （g lim ）x （f lim 0x x x x ==→→*1）若0）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 高阶 无穷小*2）若∞=→）x （g ）x （f limx x ，f （x ）是g （x ）的 低阶 无穷小*3）若c ）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 同阶 无穷小*4）若1）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 等价 无穷小*5）若0）x （g ）x （f limkx x 0=→，f （x ）是g （x ）的 k 阶 无穷小 2、等价替换：若x →x 0，f （x ）~ f 1（x ），g （x ）~ g 1（x ） 则=→）x （g ）x （f limx x ）x （g ）x （f lim 11x x 0→6、常用等价形式：当f （x ）→0时*1）sinf （x ）~ f （x ） *2）arc sinf （x ）~ f （x ） *3）tanf （x ）~ f （x ） *4）arc tanf （x ）~ f （x ） *5）In （1+f （x ））~ f （x ） *6）ef （x ）-1~ f （x ）*7）1-cosf （x ）~ 2）x （f 2*8）（1+f （x ））α-1~ αf （x ）二、函数的连续： 1、间断点：*1）第一类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点： f -（x 0）≠f +（x 0） ⑵可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0） *2）第二类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个为 ∞ ⑵振荡间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个 振荡不存在 三、导数：1、定义：）x （f '= x△）x （f -）x △x （f lim 000x △+→2、导数的常见形式： *1） 00x x 0x -x ）x （f -）x （f lim）x （f 0→='*2） h ）x （f -）h x （f lim）x （f 000h +='→*3） h）h x （f -）x （f lim）x （f 000h -='→3、切线方程：若曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 0'（x-x 0） 注：*1）如果）x （f 0'=∞，则 x=x 0 *2）如果）x （f 0'=0，则 y=y 0 4、法线方程：若直线过点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 10'-（x-x 0）5、基本公式：*1）='）C （ 0 *2）1-a a ax ）x （=' *3）Ina a ）a （x x ='*4）x x e ）e （=' *5）xIna 1）x log （a ='*6）x 1 ）Inx （='*7）cosx ）sinx （=' *8）sinx - ）cosx （=' *9）x sec ）tanx （2=' *10）x csc - ）cotx （2=' *11）tanx secx ）secx (⋅=' *12）cotx cscx - ）cscx （⋅=' *13）2x -11 ）sinx arc （=' *14）2x -11-）cosx arc （='*15）2x 11）tanx arc （+=' *16）2x11- ）cotx arc （+=' 6、四则运算：νμ和都有导数*1）νμνμ'±'='± ）( *2）μμ'='c ）c （ *3）νμνμνμ'+'='⋅ ）( *4）)0( )(2≠'-'='νννμνμνμ推论：*1）μμ'='c ）c （*2）w w w w '+'+'='μννμνμμν ）（ *3）s w s w ws ws ws '+'+'+'='μνμννμνμμν ）（ 7、反函数求导法则：设y=f （x ）与x=ϕ（y ）（ϕ'（y ）≠0）则）y （1）x （f ϕ'=' 或xy '= y x 1' 8、n 次导的常见公式：*1））n （）sinx （= ）2nx （sin π+*2））2nx （cos ）cosx （）n （π+=*3）()()n [In 1x ]+= n1-n ）x 1（!）1-n （）1-（+ 9、参数方程求导：设函数）t （y ），t （x ），且b t a （）t （y ）t （x ψϕψϕ==≤≤⎩⎨⎧==都可导，其中x=）t （ϕ'≠0，则函数的导数）t （）t （ dtdx dt dydx dy ϕψ''== 10、复合函数求导：若y=f （u ），u=ϕ（x ），且f （u ）及ϕ（x ）都可导，则复合函数y=f[ϕ（x ）]的导数）x （）x （f dxdyϕ'⋅'= 11、隐函数求导：*1）方程F （x ，y ）=0两边求导，解出y 或dx dy'*2）公式法：由F （x ，y ）=0，则yx F F dx dy''-=*3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出dxdy注：y 是x 的函数 12、对数求导：将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形式），化简，然后两边两边求导，最后两边乘以y （x ）注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u （x ）v （x ）） 13、高阶导数：*1）二阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △'+'=''→ *2）三阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △''+''='''→*4）n 阶导数：x△）x （f -）x △x （f lim）x （f）1-n （）1-n （0x △）1-n （+=→ 14、中值定理：*1）拉格朗日定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得a-b ）a （f -）b （f）（f ='ξ推论1：如果函数f （x ）在区间（a ，b ）内任意一点的导数）x （f '都等于零，你们函数f （x ）在（a ，b ）内是一个常数推论2：如果函数f （x ）与g （x ）在区间（a ，b ）内每一点的导数）x （f '与）x （g '都相等，则这两个函数在区间（a ，b ）内至多相差一个常数，即：f （x ）= g （x ）+C ，x ∈（a ，b ）*2）罗尔定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且f （a ）=f （b ），则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得='）（f ξ 0 *3）柯西定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且0）x （g ≠'，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得）a （g -）b （g ）a （f -）b （f = ）（g ）（f ξξ''15、洛必达法则：*1）0型：设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴==→→）x （g lim ）x （f lim 0x x x x 0⑵在点x 0的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0⑶）x （g ）x （f lim 0x x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*2）∞∞型： 设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴∞==→→ ）x （g lim ）x （f lim 0x x x x⑵在点x 0=的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0 ⑶）x （g ）x （f limx x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*3）其他未定型：⑴0·∞型：f （x ）·g（x ）转化成）x （f 1）x （g 或 ）x （g 1）x （f ，一般将In 、arc 留在分子上⑵∞-∞型：通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为0型或∞∞型 ⑶0、0、1∞∞∞型：f （x ）g （x ）= e g （x ）Inf （x ） = ）x （g 1）x （Inf e16、函数单调性判定：设函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）内可导*1）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f >'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 增 ；*2）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f <'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 减 ； 17、函数的极值：*1）如果函数y=f （x ）在点x 0及其左右近旁有定义，且对于x 0近旁的任何一点x （x ≠x 0）的函数值f （x ）均有：⑴f （x ）<f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极大值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极大值点⑵f （x ）>f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极小值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极小值点 *2）驻点：='）x （f 0 0 的点 *3）极值第一充分条件：设点x 0是f （x ）可能的极值点（0）x （f 0='或）x （f 0'不存在）⑴当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00>'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00<'+∈δ,则x 0为极大值点⑵当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00<'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00>'+∈δ,则x 0为极小值点⑶当⋃∈）x ，-x （x 00δ）x ，x （00δ+，）x （f ' 同号 ，则x 0不是极值点 *4）极值的第二充分条件：设y=f （x ）在点x 0处有一、二阶导数，且）x （f 0'= 0⑴如果）x （f 0'' > 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最小值f （x 0） ⑵如果）x （f 0'' < 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最大值f （x 0） 18、曲线凹凸性：*1）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f >''，则曲线在（a ，b ）上为 凹 ，用符号“ ⋂ ” 表示*2）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f <''，则曲线在（a ，b ）上为 凸 ，用符号“ ⋃ ” 表示 6、曲线拐点：设f （x ）在x 0的某个邻域内二阶可导，且=''）x （f 0 0 ，若x 0两侧）x （f 0'' 改变 符号，则 （x 0，f （x 0）） 为曲线的拐点 19、曲线的渐近线：*1）水平渐近线：如果函数y=f （x ）的定义域是无穷区间，且b ）x （f lim x =∞→，则y= b*2）垂直渐近线：如果函数y=f （x ）在x=x 0处间断，且∞=→）x （f lim 0x x ，则x=x 0*3）斜渐近线：如果函数y=f （x ）定义在无穷区间，且a x）x （f limx =∞→，b ax]-）x （[f lim x =∞→，则y= ax+b20、经济学与导数：*1）利润：L （Q ）= R （Q ）-C(Q) *2）边际利润：）Q （C -）Q （R Q)（L ''=' *3）函数弹性：）x （f ）x （f xEx Ey '=*4）需求弹性（供给函数）：）p （Q ）Q(p p）p （0000'=η 注：⑴当|η| < 1时，为低弹性，此时需求变动幅度 小于 价格变动幅度。
交换二次积分次序的步骤
交换二次积分次序的步骤交换二次积分次序的步骤二次积分是高等数学中常见的一种积分形式，其求解过程往往需要交换积分次序。
本文将介绍交换二次积分次序的步骤。
一、变量替换首先，我们需要进行变量替换，将原来的两个自变量转化为一个自变量。
假设我们有以下的二重积分：$$\iint_D f(x,y)dxdy$$我们可以将其中一个自变量进行替换，得到：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^b\left(\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy\right)dx$$其中$c(x)$和$d(x)$是与$x$有关的函数。
二、画出积分区域接下来，我们需要画出积分区域$D$。
这样可以帮助我们更好地理解积分范围，并且有助于后续计算。
三、确定新的积分范围根据画出来的图形，我们可以确定新的积分范围。
对于上述例子中的二重积分，新的积分范围为：$$a\leq x \leq b, c(x)\leq y \leq d(x)$$四、交换积分次序现在，我们已经完成了变量替换和确定新的积分范围，可以开始交换积分次序了。
根据Fubini定理，我们可以交换积分次序，得到：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^b\left(\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)dy\right)dx=\int_{c}^{d}\left(\int_{a(y)} ^{b(y)}f(x,y)dx\right)dy$$其中$a(y)$和$b(y)$是与$y$有关的函数。
五、计算新的积分最后，我们需要计算新的积分。
根据上述公式，我们可以将二次积分转化为两个一次积分，然后依次进行计算即可。
总结交换二次积分次序的步骤包括变量替换、画出积分区域、确定新的积分范围、交换积分次序以及计算新的积分。
通过这些步骤，我们可以将二重积分转化为两个一重积分，并且更方便地进行求解。
微积分中的变量替换与积分技巧公式整理
微积分中的变量替换与积分技巧公式整理微积分是数学的一个重要分支，研究函数的变化率与总变化量，积分是微积分的核心概念之一。
在求解积分时，有时会遇到复杂的函数和难以直接积分的情况，这时候，我们可以通过变量替换和一些积分技巧公式来简化计算过程。
一、变量替换1. 基本变量替换：对于有理函数、三角函数、指数函数等常见函数，我们可以通过变量替换来简化积分。
常见的变量替换有以下几种：a) 三角替换：当出现平方根中含有平方项时，可以尝试利用三角函数进行替换。
例如，当出现平方根中含有 x^2 时，可以令x = a sinθ或x = a cosθ 进行变量替换。
b) 指数替换：当出现平方根中含有平方项且指数为偶数时，可以尝试使用指数函数进行替换。
例如，当出现平方根中含有 x^2 且指数为偶数时，可以令 x = a e^t 进行变量替换。
c) 有理替换：当出现有理函数无法直接积分时，可以尝试使用有理函数进行替换。
例如，当遇到 x^n + a^n 的形式时，可以令 x = a t 进行变量替换。
2. 特殊变量替换：对于特殊函数，如反三角函数、对数函数等，也可以通过变量替换来简化积分。
常见的变量替换有以下几种：a) 反三角替换：当出现 a^2 - x^2 的形式时，可以尝试使用反三角函数进行替换。
例如，当遇到 a^2 - x^2 的形式时，可以令x = a sinθ 进行变量替换。
b) 对数替换：当出现 a^2 + x^2 或 a^2 - x^2 的形式时，可以尝试使用对数函数进行替换。
例如，当遇到 a^2 + x^2 或 a^2 - x^2 的形式时，可以令x = a tanθ 或x = a secθ 进行变量替换。
二、积分技巧公式整理1. 分部积分法：分部积分法是求解乘积函数积分的一种常用技巧。
其公式为：∫u dv = uv - ∫v du其中，u 为可微函数，dv 为可积函数。
2. 声明变量法：当需要将一个复杂的积分转换为一个简单的积分时，可以使用声明变量法。
微积分中的变量替换技巧
微积分中的变量替换技巧在微积分中，变量替换技巧是非常重要的一种工具。
它可以将原本看似复杂的函数变换成更简单的形式，从而更方便地进行求导、积分等运算。
本文就来介绍一些常见的变量替换技巧。
1. 回顾基本的变量替换首先来回顾一下基本的变量替换。
对于一个形如 $y = f(x)$ 的函数，我们可以通过“替换变量” 的方式将其变换成 $y = g(u)$ 的形式，其中 $u$ 是一个新的自变量。
具体来说，变量替换的步骤如下：1. 设有一个函数 $y=f(x)$ 以及一个新的自变量 $u = h(x)$；2. 将原函数中的 $x$ 用 $h(x)$ 替换，即令 $y=f(h^{-1}(u))$；3. 通过链式法则求出 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$，从而得到 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 或进行积分等运算。
例如，我们想要对函数 $y=e^{2x}$ 进行积分。
由于$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(e^u) = e^u$，因此我们可以采用 $u=2x$ 的替换方法，将其变换成 $y = e^u$ 的形式，进而得到$$\int e^{2x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int e^u\,\mathrm{d}u =\frac{1}{2}e^u+C = \frac{1}{2}e^{2x}+C$$2. 常见的变量替换技巧除了上述的基本方法外，还有很多其他的变量替换技巧。
下面我们就来介绍一些常见的技巧。
2.1. 正弦（余弦）代换当我们遇到 $\sqrt{a^2-x^2}$ 或 $\sqrt{a^2+x^2}$ 这样的形式时，正弦（余弦）代换是非常有用的一种技巧。
具体来说，我们可以采用以下的方法：设 $x = a\sin\theta$（或 $x = a\cos\theta$），则有 $\mathrm{d}x = a\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$（或 $\mathrm{d}x = -a\sin\theta\,\mathrm{d}\theta$），从而有$$\int \sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x = \int a\cos\theta\cdota\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{a^2}{2}\left(\theta +\sin\theta\cos\theta\right)+C$$（或$$\int \sqrt{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x = \int a\sin\theta\cdota\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{a^2}{2}\left(\theta +\sin\theta\cos\theta\right)+C$$）。
变量转换的名词解释
变量转换的名词解释在数据分析和统计学中，变量转换是指通过对原始数据进行操作和处理，使得数据在形式上或数值意义上发生改变的过程。
变量转换有多种形式和目的，它可以在数据分析和统计推断过程中发挥重要作用。
本文将对变量转换的概念、方法和应用进行解释和探讨。
一、变量转换的概念变量转换是指通过适当的数学运算、函数或操作，对收集到的数据进行转换，以达到更好的分析和解释效果的过程。
变量转换可以改变数据的尺度、分布形态、线性关系等方面，使数据更符合分析和模型构建的要求。
二、常见的变量转换方法2.1. 线性变换线性变换是最简单且常用的变量转换方法之一。
它通过乘以一个常数或加上一个常数，将数据的尺度进行调整，使其更易于理解和比较。
线性变换可以将数据从一个单位转换到另一个单位，或者将数据进行缩放，以便更好地展示数据的特征。
2.2. 对数变换对数变换是一种常见的非线性变换方法，它将正数变换为对应的对数值。
对数变换可以改变数据的分布形态，将严重偏斜或者非正态分布的数据，转换为近似正态分布的形式。
对数变换对于偏态数据的处理非常有效，能够减小异常值的影响，使数据更适合进行统计推断和建模分析。
2.3. 幂次变换幂次变换是一种常见的非线性变换方法，它将数据的指数幂作为转换的方式。
幂次变换可以改变数据的分布形态，通过调整幂次的值，可以使数据更加符合线性关系或者更好地满足其他模型的假设条件。
幂次变换常用于数据的平滑和归一化处理。
2.4. 标准化标准化是一种常用的线性变换方法，它将数据的均值平移到0，标准差调整为1。
标准化可以将数据转换为标准正态分布的形式，使得数据更容易与其他变量进行比较和分析。
标准化还可以降低数据尺度的影响，使得不同尺度的变量在分析过程中具有可比性。
2.5. 分类转换分类转换是一种将定性变量转换为定量变量的方法。
它将非数字型的变量转换为数字型的变量，以便进行统计分析和建模。
分类转换可以采用虚拟变量编码的方式，将一个有多个类别的变量转换为多个二值变量，每个变量代表一个类别。
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目 录引言………………………………………………………………(1) 一 极限运算中变量替换的应用………………………………………(1) (一) 对于00(或∞∞)型极限………………………………………………(2) (二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xy n +∞→lim 的求法 (3)(四) 求数列的极限...............................................................(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换 .......................................(6) (一) 三角函数代换............................................................(6) (二) 倒数代换..................................................................(7) (三) 指数代换..................................................................(8) (四) 不定积分⎰dx y f )(的计算，其中y 是由方程0),(=y x F 所确定的x 的函数.................................................................................(8) 三 定积分运算中常用的变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算...............(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。
...................................................(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换..............................(12) 四 解微分方程中变量替换的应用技巧.................................(14) (一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用........................(14) (二) 求解齐次方程 中变量替换的应用 (15)(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用 (15)五重积分中变量替换的应用 (16)(一) 二重积分计算中的变量替换 (16)(二) 利用直角坐标系计算 (18)(三) 利用柱面坐标系计算 (19)(四) 利用球面坐标系计算 (19)结束语 (19)参考文献 (20)高等数学中常见的变量替换鲁友栋（数学系 辽宁 中国）摘要 变量替换是解决高等数学问题的重要手段。
深入了解变量替换可以培养学生利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。
因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。
本文通过几个实例详细介绍了“”型，“∞-∞”型，数列等几种极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用。
关键词 变量替换 积分 极限引言在各种各样的数学运算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。
变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。
在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果，此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。
因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏”。
作为未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求达到的目标。
以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性。
一 极限运算中变量替换的应用(一) 对于00（或∞∞）型极限若用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑用变量替换求解，常作的替换是令,...)2,1(,1==k xt k 例1，求下列极限：（1）100102limx e xx -→ （2）dt e xe x x t xx ⎰++→10102211arctan lim 解：（1）直接用洛必达法则，得原式102109931022lim 5011002lim x e x x e x x x x -→→=⋅= 此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！考虑变量替换21x u =，得 原式0!50lim ...50lim lim 4950=====+∞→+∞→+∞→u u u u u u ee u e u ； （2）解：令xu 1=，得 原式⎰⎰⎰+=+++=+=+∞→+∞→+∞→u u t u u u u t u u ut u u uedt e ue ue dt e ue u dte u e u 020222222222lim 211lim arctan lim2)1(2)21(2lim242lim22222222222=++=+++=+∞→+∞→u u u u u u u u x eu e u eu eee u e .(二) 对于∞－∞型极限此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必达法则求解，或用“抓大头”求解。
（所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于＋∞最快的项）。
但是对于一些特殊的例子，应用变量替换。
[1]例1，求)]11ln([lim 2xx x x +-+∞→解：令xu 1=得原式uu u u u u u uu u u 2111lim)1ln(lim )]1ln(11[lim 02020+-=+-=+-=→→→ 21)1(21lim )1(2lim00=+=+=→→u u u u u u . 例2：求)(lim656656x x x x x --++∞→ 解：令xu 1=得 原式31661)1(61)1(61lim 11lim65650660=1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=--+=--→→++u u u u u x u . (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xyx +∞→lim 的求法。
解题方法：① 将隐函数0),(=y x F 化为参数式⎩⎨⎧==)()(t y y t x x② 将x y x ∞→lim 化为)()(limt x t y t t →的形式，0t 可由观察法得出。
[2] 例：设有方程)0(0333>=-+a axy y x ，求(1) 曲线的渐近线方程 (2)求出与渐近线平行的切线。
解：令tx y =，则t ax t x x 23333=+，进而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3231313t at y t at x (1) 1lim 3113lim lim 13321-==++==-→-→∞→t at t t at x y A t t x []a t t t t at t at t at Ax x f B t t x -=+-++=+++=-=-→-→∞→)1)(1()1(3lim )1313(lim )(lim 213321 故斜渐近线为：a x B Ax y --=+=，即0=++a y x(2) 方程0333=-+axy y x 的斜率为：22yax ayx y --=' 而渐近线的斜率：1-='y ，因为切线与渐近线平行，所以它们斜率相等，即122-=--y ax ayx ，即)())((y x a x y x y -=+-，解得x y =或a x y -=+，将a x y -=+代入方程得0=a (矛盾)，所以x y =。
将其代入0333=-+axy y x ，得切点)23,23(),0,0(a a . 故所求的切线方程：)0)(1(0--=-x y ，即0=+y x . 或者)23)(1(23a x a y --=-，即03=-+a y x . (四) 求数列的极限解题方法：① 先作出与数列同类形的连续变量x 的函数;②再求该函数当+∞→x 时的极限，该极限即为数列的极限。
例1求下列数列的极限：(1)nnn ab )11(lim -+∞→，其中0,0>>b a ; (2))1(lim -∞→n n a n ，0>a .解：(1)显然1=b 时，原极限为1当1≠b 时，先求xxx ab )11(lim1-++∞→。
由于22111111)1(ln lim 11lim 11lim )1(lim-+∞→-+∞→-+∞→+∞→--=-=-=-x x b b a x b a x a b a b x xx x x xx xx , 则aab x xx b e ab 1ln 1)11(lim ==-++∞→，故a nnn b ab 1)11(lim =-+∞→. (2)先求)1(lim 1-+∞→xx a x .a x x a a x a a x xx xx xx ln )1(ln lim1lim)1(lim 221111=--=-=--+∞→-∞→+∞→.故a a n n n ln )1(lim =-∞→. 例2：设数列{}n x 由下式给出：),2,1(,,21211 =+==+n x x x x n n n . 试求)111111(lim 21++++++∞→n n x x x . 解：易知{}n x 为正项数列，所以由n n n n nn x x x x x x >+=+=+)1(21 知{}n x 递增，于是0211≠=≥x x n 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1递减，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1有下界0，从而知⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1有极限.从)1(1+=+n n n x x x 知 1111211111+++++-=-===+n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ① 于是,有11111121++++++=n n x x x S )11()11()11(13221+-++-+-=n n x x x x x x 1111211++-=-=n n x x x ② 设A x nn =∞→1lim，由①式变形为111111+-=+n n nn x x x x ，两边取∞→n 时的极限有001=⇒=-=+A A A AA所以由②式得2)12(lim lim 1=-=+∞→∞→n n n n x S例3：设)(21),(x y f x y x F -=，52),1(2+-=y y y F ，任选 00>x ，作)2,(001x x F x =)2,(112x x F x = ),2,(223x x F x =……,)2,(1n n n x x F x =+，……,证明：n n x ∞→lim 存在并求值。