人教版高中数学B版高中数学必修一《函数与方程、不等式之间的关系》函数(第1课时)

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(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)＜0， 所以原不等式的解集为(－1,5)． (4)原不等式可化为2x－922＜0， 所以原不等式的解集为∅.
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用函数零点法求一元高次不等式的解集
【例 3】 求函数 f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零点，并作出函数图 像的示意图，写出不等式 f(x)≥0 和 f(x)＜0 的解集．
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2．方程 5x2－7x－1＝0 的根所在的区间是( ) A．(－1,0) B．(1,2) C．一个根在(－1,0)上，另一个根在(1,2)上 D．一个根在(0,1)上，另一个根在(－2，－1)上 C [∵ f(－1)·f(0)＜0, f(1)·f(2)＜0，∴选C.]
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3．函数 f(x)＝x－1x零点的个数是( )
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合作探究 提素养
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函数的零点及求法 【例 1】 求函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点． [解] 令 f(x)＝0，即 x3－7x＋6＝0， ∴(x3－x)－(6x－6)＝0， ∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)·(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3) ＝0， 解得 x1＝1，x2＝2，x3＝－3， ∴函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点是 1,2，－3.
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求函数 y＝fx的零点通常有两种方法：一是令 y＝0，根据解方程 fx＝0 的根求得函数的零点；二是画出函数 y＝fx的图像，图像与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.
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1．如图所示是一个二次函数 y＝f(x)的图像．
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(1)写出这个二次函数的零点； (2)试比较 f(－4)·f(－1)，f(0)·f(2)与 0 的大小关系． [解] (1)由图像可知，函数 f(x)的两个零点分别是－3,1. (2)根据图像可知，f(－4)·f(－1)＜0，f(0)·f(2)＜0.
A．0
B．1
C．2
D．3
C
[令x－
1 x
＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1.∴f(x)＝x－
1 x
的零点有两
个. ]
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4．函数 f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________． 4 [f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)． 可知零点为±1，－2,3，共 4 个．]
[解] 函数的零点为－3,1,2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x (－∞，－3) (－3,1) (1,2) (2，＋∞)
f(x)
－
＋－ ＋
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由此可以画出此函数的示意图如图． 由图可知，f(x)≥0的解集为[－3,1]∪[2，＋∞)，f(x)＜0的解集为 (－∞，－3)∪(1,2)．
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2．根据表格中的数据，可以断定方程 ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一
个根所在的区间是( )
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
A.(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
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C [令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0， f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－ (x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．]
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2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 (1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的零点 ． (2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使 f(x)＝ax2＋bx＋c 的函数值为 _正__数____的自变量 x 的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是使 f(x) ＝ax2＋bx＋c 的函数值为 负数 的自变量 x 的取值集合．
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(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2， 即9x2－12x＋4＞0. 解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝23. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知， 原不等式的解集为－∞，23∪23，＋∞.
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利用函数求不等式解集的基本步骤 1把一元二次不等式化成一般形式，并把 a 的符号化为正； 2计算其对应一元二次方程的根的判别式 Δ； 3求其对应一元二次方程的根； 4写出解集大于取两边，小于取中间.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x (－∞，－2) (－2,1) (1,2) (2，＋∞)
f(x) ＋
－＋ －
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由此可以画出此函数的示意图如图． 由图可知，f(x)≥0的解集为(－∞，－2]∪[1,2]，f(x)＜0的解集为 (－2,1)∪(2，＋∞)．
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1．方程 f(x)＝g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图像交点的横坐标，也 是函数 y＝f(x)－g(x)的图像与 x 轴交点的横坐标．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 (1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的零点． (2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使 f(x)＝ax2＋bx＋c 的函数值为 正数的自变量 x 的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是 f(x)＝ax2 ＋bx＋c 的函数值为负数的自变量 x 的取值集合．
又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.
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(2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52 ＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根，x1＝4－ 13 ， x2＝4＋ 13.
又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下， 所以原不等式的解集为(4－ 13，4＋ 13)．
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解题步骤：1求出零点；2拆分定义域；3判断符号；4写出 解集.注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区 间内为正，然后往左依次负正相间.
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3．求函数f(x)＝(1－x)(x－2)(x＋2)的零点，并作出函数图像的示 意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函数的零点为－2,1,2.
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3．图像法解一元二次不等式的步骤 (1)解一元二次不等式对应的一元二次方程； (2)求出其对应的二次函数的零点； (3)画出二次函数的图像； (4)结合图像写出一元二次不等式的解集．
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当堂达标 固双基
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1．下列图像表示的函数中没有零点的是( ) A [B，C，D 的图像均与 x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图 像与 x 轴没有交点，故函数没有零点．]
《函数与方程、不等式之间 的关系》函数(第1课时)
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学习目标
核心素养
1.理解函数零点的概念以及函数的 1.借助函数零点概念的理解，培养
零点与方程的根之间的关系．(难 数学抽象的素养．
点)
2．通过函数与方程、不等式之间
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二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
【例 2】 利用函数求下列不等式的解集： (1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0； (3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．
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[解] (1)方程 x2－5x－6＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－5x－6 的图像知， 原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞)． (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0. 方程(x－2)(x＋3)＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－3. 结合二次函数 y＝(x－2)(x＋3)的图像知， 原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
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3．图像法解一元二次不等式的步骤 (1)解一元二次不等式对应的一元二次方程； (2)求出其对应的二次函数的 零点 ； (3)画出二次函数的 图像 ； (4)结合图像写出一元二次不等式的 解集 ．
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1．函数 y＝1＋1x的零点是( )
A．(－1,0)
B．x＝－1
C．x＝1
D．x＝0
B [令1＋1x＝0解得x＝－1， 故选B.]
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3．若 f(x)＝－x2＋mx－1 的函数值有正值，则 m 的取值范围是
() A．m＜－2 或 m＞2
B．－2＜m＜2
C．m≠±2
D．1＜m＜3
A [∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值， ∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m ＜－2.]
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4．不等式11＋－xx≥0的解集为________． [－1,1) [原不等式等价于(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，∴－ 1≤x＜1.]
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2．利用函数求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－x2＋8x－3＞0； (3)x2－4x－5＜0； (4)－4x2＋18x－841＞0.
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[解] (1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞ 0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根，x1＝－3，x2＝ －12.
2．会求函数的零点．(重点)
的关系的学习，提升逻辑推理的素
3．掌握函数与方程、不等式之间 养．
的关系，并会用函数零点法求不等 3．利用零点法求不等式的解集，
式的解集．(重点、难点)
培养数学运算的素养.
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自主预习 探新知
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1．函数的零点 (1)函数零点的概念：一般地，如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的函数 值 等于零 ，即 f(α)＝0 ，则称实数 α 为函数 y＝f(x)的零点． (2)三者之间的关系： 函数 f(x)的零点⇔函数 f(x)的图像与 x 轴有交点⇔方程 f(x)＝ 0__有__实__数__根____．